2nd - Exercice - Equations

Exercice

Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude.

$\dfrac{4}{3}x – \dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12}$
$\quad$
$\dfrac{4x – 1}{x – 4} = 0$
$\quad$
$x – 3 + 2(x^2 – 9) + (x – 3)(2x + 6) = 0$
$\quad$
$x – 2 – \dfrac{1 – 5x}{6} = 2x – \dfrac{3}{4}(x – 1)$
$\quad$
$\dfrac{x + 1}{3} – \dfrac{x – 4}{5} = \dfrac{8x – 7}{15}$
$\quad$
$\dfrac{x^2 – 5}{x – 5} = 1$
$\quad$
$(x^2 + 1)(x + 2)(x – 3) = 0$
$\quad$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0$
$\quad$
$(x + 1)(x + 3) = 4x^2 – 4$
$\quad$
$(x + 1)^2 = 16$
$\quad$
$\dfrac{2x + 1}{2x – 1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3}$
$\quad$
$\dfrac{1}{x + 1} = 0$
$\quad$
$(x – 3)^2 – (2x + 1)^2 = 0$
$\quad$
$\dfrac{3}{x – 1} – 4 = \dfrac{4x}{2 – x}$
$\quad$
$x^2 – 6 = 0$
$\quad$
$\dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{1}{x – 1} = \dfrac{-2}{x^2 – 1}$
$\quad$
$(x + 1)^3 = (2x – 5)^2(x+ 1)$
$\quad$
$x^2 = -5x$
$\quad$
$\dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4}$
$\quad$
$x^2 – 2x + 1 = (x – 3)^2$

Correction

Exercice

On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} \dfrac{4}{3}x – \dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12} & \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x – x = \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{16}{12} \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{4}{3} \\\\
& \Leftrightarrow x = 4
\end{align}$
La solution de l’équation est $4$.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x – 4 = 0$. Par conséquent l’intervalle d’étude est $\R\setminus \{4\} = ]-\infty;4[\cup]4;+\infty[$.
Pour $x \ne 4$
$\dfrac{4x – 1}{x – 4} = 0$ $ \Leftrightarrow 4x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 4x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$
La solution de l’équation est $\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} x – 3 + 2(x^2 – 9) + (x – 3)(2x + 6) = 0 & \Leftrightarrow x – 3 + 2(x – 3)(x + 3) + (x – 3)(2x + 6) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x – 3) \left[1 + 2(x + 3) + (2x + 6)\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x – 3) (1 + 2x + 6 + 2x + 6) \\\\
& \Leftrightarrow (x – 3)(4x + 13)
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
$x – 3 = 0 \qquad$ ou $\qquad 4x + 13 = 0$
$x = 3 \qquad$ ou $\qquad x = -\dfrac{13}{4}$
Les solutions de l’équation sont $3$ et $-\dfrac{13}{4}$.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
Pour ne pas être embêté par les dénominateurs, on multiplie par $12$ (multiple commun à $6$ et $4$ ) les deux membres.
$\begin{align} x – 2 – \dfrac{1 – 5x}{6} = 2x – \dfrac{3}{4}(x – 1) & \Leftrightarrow 12x – 24 – 2(1 – 5x) = 24x – 3 \times 3(x – 1) \\\\
& \Leftrightarrow 12x – 24 – 2 + 10x = 24x – 9x + 9 \\\\
& \Leftrightarrow 22x – 26 = 15x + 9 \\\\
& \Leftrightarrow 22x – 15x = 9 + 26 \\\\
& \Leftrightarrow 7x = 35 \\\\
& \Leftrightarrow x = \dfrac{35}{7} \\\\
& \Leftrightarrow x = 5
\end{align}$
La solution de l’équation est $5$.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
Pour simplifier un peu les calculs, on va multiplier les deux membres de l’équation par $15$.
$\begin{align} \dfrac{x + 1}{3} – \dfrac{x – 4}{5} = \dfrac{8x – 7}{15} &\Leftrightarrow 5(x + 1) – 3(x – 4) = 8x – 7 \\\\
& \Leftrightarrow 5x + 5 – 3x + 12 = 8x – 7 \\\\
& \Leftrightarrow 2x + 17 = 8x – 7 \\\\
& \Leftrightarrow 17 + 7 = 8x – 2x \\\\
& \Leftrightarrow 24 = 6x \\\\
& \Leftrightarrow x = \dfrac{24}{6} \\\\
& \Leftrightarrow x = 4
\end{align}$
La solution de l’équation est $4$.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x – 5 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R\setminus\{5\} = ]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$.
Pour $x \ne 5$
$\begin{align} \dfrac{x^2 – 5}{x – 5} = 1 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2 – 5}{x – 5} – 1 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 – 5 – (x – 5)}{x – 5} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 – x}{x – 5 } = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x(x – 1)}{x – 5} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x(x – 1) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x = 0 \qquad$ ou $\qquad x – 1 = 0$
$x = 0 \qquad$ ou $\qquad x = 1$
Les solutions de l’équation sont $0$ et $1$.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$(x^2 + 1)(x + 2)(x – 3) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x^2 + 1 =0 \qquad$ ou $x + 2 = 0 \qquad$ ou $x – 3 = 0$
$x = – 2 \qquad$ ou $\qquad x = 3$
Les solutions de l’équation sont $-2$ et $3$.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x=0$ et $x+1=0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1;0\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
Si $x \ne 0$ et $x \ne -1$
$\begin{align} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0 & \Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x(x + 1)} + \dfrac{x}{x(x + 1)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}
\end{align}$
La solution de l’équation est $- \dfrac{1}{2}$
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} (x + 1)(x + 3) = 4x^2 – 4 & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x^2 – 1) \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x + 1)(x – 1) \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) – 4(x + 1)(x – 1) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)\left[(x + 3) – 4(x – 1)\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3 – 4x + 4) = 0\\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(-3x + 7) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad -3x + 7 = 0$
$x = -1 \qquad$ ou $\qquad -3x = -7$
$x = -1 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{7}{3}$
Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{7}{3}$
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} (x + 1)^2 = 16 &\Leftrightarrow (x + 1)^2 – 16 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)^2 – 4^2 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \left[(x + 1) – 4\right] \left[(x + 1) + 4\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x – 3)(x + 5) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x – 3 = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
$x = 3 \qquad$ ou $\qquad x = -5$
Les solutions de l’équation sont $-5$ et $3$.
Remarque : on pouvait aussi dire dès le départ : $x+1 = 4$ ou $x + 1 = -4$ en utilisant la propriété sur les égalités des carrés.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $2x – 1 =0$ et que $2x + 3 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \left\{ \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
Si $x \ne -\dfrac{3}{2}$ et $x \ne \dfrac{1}{2}$
$\begin{align} \dfrac{2x + 1}{2x – 1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3} & \Leftrightarrow (2x + 1)(2x + 3) = (2x – 1)(2x + 5) \\\\
& \Leftrightarrow 4x^2 + 6x + 2x + 3 = 4x^2 + 10x – 2x – 5 \\\\
& \Leftrightarrow 8x + 3 = 8x – 5 \\\\
& \Leftrightarrow 3 = -5
\end{align}$
Cette équation ne possède pas de solution.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
$\dfrac{1}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow 1 = 0$
Cette équation ne possède pas de solution.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$
$\begin{align} (x – 3)^2 – (2x + 1)^2 = 0 &\Leftrightarrow \left[(x – 3) – (2x + 1)\right]\left[(x – 3) + (2x + 1)\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x – 3 – 2x – 1)(x – 3 + 2x + 1) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (-x – 4)(3x – 2) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$-x – 4 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x – 2 = 0$
$x = -4 \qquad$ ou $\qquad 3x = 2$
$x = -4 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{2}{3}$
Les solutions de l’équation sont $-4$ et $\dfrac{2}{3}$
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x – 1 =0$ et $2 – x = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{1;2\} = ]-\infty;1[\cup]1;2[\cup]2;+\infty[$.
Si $x \ne 1$ et $x \ne 2$
$\begin{align} \dfrac{3}{x – 1} – 4 = \dfrac{4x}{2 – x} & \Leftrightarrow \dfrac{3}{x – 1} – \dfrac{4(x – 1)}{x – 1} – \dfrac{4x}{2 – x} = 0\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{3 – 4x + 4}{x – 1} – \dfrac{4x}{2 – x} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{7 – 4x}{x – 1} – \dfrac{4x}{2 – x} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(7 – 4x)(2 – x) – 4x(x – 1)}{(x – 1)(2 – x)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{14 – 7x – 8x + 4x^2 – 4x^2 + 4x}{(x – 1)(2 – x)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{-11x +14}{(x – 1)(2 – x)}= 0 \\\\
& \Leftrightarrow -11x + 14 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x = \dfrac{14}{11}
\end{align}$
$\quad$
La solution de l’équation est $\dfrac{14}{11}$
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$
$\begin{align} x^2 – 6 = 0 & \Leftrightarrow x^2 – \sqrt{6}^2 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \left(x – \sqrt{6} \right)\left(x + \sqrt{6}\right) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
$x – \sqrt{6} = 0 \qquad$ ou $\qquad x + \sqrt{6} = 0$
$x = \sqrt{6} \qquad$ ou $\qquad x = -\sqrt{6}$
Les solutions de l’équation sont $-\sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $x + 1 =0$ et $x – 1 = 0$ et $x^2 – 1 = 0$.
Or $x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1)$.
L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \{-1;1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;1[\cup]1;+\infty[$.
Pour $x \ne -1$ et $x \ne 1$
$\begin{align} \dfrac{2}{x + 1} – \dfrac{1}{x – 1} = \dfrac{-2}{x^2 – 1} & \Leftrightarrow \dfrac{2(x – 1)}{(x + 1)(x – 1)} – \dfrac{x + 1}{(x – 1)(x + 1)} = \dfrac{-2}{x^2 – 1} \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2x – 2 -(x + 1)}{x^2 – 1} – \dfrac{-2}{x^2 – 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{2x – 2 -x – 1 + 2}{x^2 – 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x – 1}{x^2 – 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x – 1 = 0 \\\\
\end{align}$
Notre ensemble d’étude nous impose que $x – 1 \ne 0$. L’équation ne possède donc pas de solution.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} (x + 1)^3 = (2x – 5)^2(x+ 1) & \Leftrightarrow (x + 1)^3 – (2x – 5)^2 (x + 1) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1)^2 – (2x – 5)^2\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1) – (2x – 5) \right]\left[(x + 1) + (2x – 5) \right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(x + 1 – 2x + 5)(x + 1 + 2x – 5) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (x + 1)(-x + 6)(3x – 4) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
$x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad -x + 6 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x – 4 = 0$
$x = -1 \qquad$ ou $\qquad x = 6 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{4}{3}$
Les solutions de l’équation sont donc $-1$, $\dfrac{4}{3}$ et $6$.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$x^2 = -5x \Leftrightarrow x^2 + 5x = 0 \Leftrightarrow x(x + 5) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
$x = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
$x = 0 \qquad$ ou $\qquad x = -5$
Les solutions de l’équation sont $-5$ et $0$.
$\quad$
$\quad$
Il ne faut pas que $4x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\R \setminus \left\{-\dfrac{1}{4} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{4}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{4};+\infty\right[$
Si $x \ne -\dfrac{1}{4}$
$ \begin{align} \dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4} & \Leftrightarrow 4(x + 8) = 4x + 1 \\\\
& \Leftrightarrow 4x + 32 = 4x + 1 \\\\
& \Leftrightarrow 32 = 1
\end{align}$
Cette équation ne possède donc pas de solution.
$\quad$
$\quad$
On peut résoudre cette équation sur $\R$.
$\begin{align} x^2 – 2x + 1 = (x – 3)^2 & \Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 = x^2 – 6x + 9 \\\\
& \Leftrightarrow -2x + 1 = – 6x + 9 \\\\
& \Leftrightarrow -2x + 6x = 9 – 1 \\\\
& \Leftrightarrow 4x = 8 \\\\
& \Leftrightarrow x = 2
\end{align}$
La solution de l’équation est $2$.