2nd – Exercice – Probabilités

Exercice – Probabilités

Une machine fabrique en grande quantité des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts : un défaut d’épaisseur, un défaut de longueur ou un défaut de largeur.

Dans un lot de $1~000$ pièces, fabriquées par cette machine, $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut, $0,2\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont comme seul défaut un défaut d’épaisseur. Parmi les $950$ pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur. Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $24\%$ ont un défaut de longueur.

  1. a. Compléter les deux tableaux suivants.
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& & & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&& & \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& &26 & \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&&&\\
    \hline
    \end{array}$$\quad$
    b. On prélève au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables.
    On définit les événements suivants :
    $\bullet$ $A$: « La pièce possède un seul défaut » ;
    $\bullet$ $B$: « La pièce possède exactement deux défauts ».
    Montrer que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces.
    L’issue de cette expérience aléatoire est le nombre de défauts de cette pièce.
    Déterminer, sous forme de tableau, la loi de probabilité de cette expérience.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction

  1. a. On obtient les tableaux suivants :
    $\quad$
    Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10&21 &31 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&19&900&919 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&921&950\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $950-29=921$
    $29-10=19$
    $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut : $\dfrac{90}{100}\times 1~000=900$
    $921-900=21$
    $10+21=31$
    $19+900=919$
    On vérifie que $919+31=950$.
    $\quad$
    Pièces ayant un défaut d’épaisseur
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{lcr}
    &&\text{Longueur}\\
    \\
    \text{Largeur }&&\\
    \end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces ayant un}\\
    \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
    \text{Pièces n’ayant pas}\\
    \text{de défaut de }\\
    \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&2&12 &14 \\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}&10 &26 &36 \\
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&12&38&50\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    Détails :
    $0,2\%$ des pièces ont les trois défauts : $\dfrac{0,2}{100}\times 1~000=2$.
    $1~000-950=50$
    $\dfrac{24}{100}\times 50=12$
    $50-12=38$
    $12-2=10$
    $38-26=12$
    $2+12=14$
    $10+26=36$
    On vérifie que $14+36=50$
    $\quad$
    b. Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $21$ ont un défaut de longueur et $19$ ont un défaut de largeur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $26$ n’ont pas d’autres défauts.
    $P(A)=\dfrac{21+19+26}{1~000}=0,066$
    $\quad$
    Parmi les pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et d’épaisseur.
    Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $10$ ont un défaut de largeur et $12$ ont un défaut de longueur.
    $P(B)=\dfrac{10+10+12}{1~000}=0,032$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé la probabilité qu’il n’y ait aucun défaut est de $90\%$.
    D’après la question précédente, on sait que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
    D’après l’énoncé la probabilité que la pièce possède les trois défaut est de $0,2\%$.
    On obtient donc le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de défauts}&0&1&2&3\\
    \hline
    \text{Probabilité}&\phantom{0}0,9\phantom{0}&0,066&0,032&0,002\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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