Probabilités

2nd – Exercice corrigé

Une machine fabrique en grande quantité des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts : un défaut d’épaisseur, un défaut de longueur ou un défaut de largeur.

Dans un lot de $1~000$ pièces, fabriquées par cette machine, $90\%$ des pièces n’ont aucun défaut, $0,2\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont comme seul défaut un défaut d’épaisseur. Parmi les $950$ pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur. Parmi les pièces ayant un défaut d’épaisseur, $24\%$ ont un défaut de longueur.

1. a. Compléter les deux tableaux suivants.
   $\quad$
   Pièces n’ayant pas de défaut d’épaisseur
   $\begin{array}{|l|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{lcr}
   &&\text{Longueur}\\
   \\
   \text{Largeur }&&\\
   \end{array}&\begin{array}{l}
   \text{Pièces ayant un}\\
   \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
   \text{Pièces n’ayant pas}\\
   \text{de défaut de }\\
   \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&10& & \\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& & & \\
   \hline
   \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&29&&950\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   $\quad$
   Pièces ayant un défaut d’épaisseur
   $\begin{array}{|l|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{lcr}
   &&\text{Longueur}\\
   \\
   \text{Largeur }&&\\
   \end{array}&\begin{array}{l}
   \text{Pièces ayant un}\\
   \text{défaut de longueur}\end{array}&\begin{array}{l}
   \text{Pièces n’ayant pas}\\
   \text{de défaut de }\\
   \text{longueur}\end{array}&\text{Total} \\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Pièces ayant un défaut}\\ \text{de largeur}\end{array}&& & \\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Pièces n’ayant pas de}\\ \text{défaut de largeur}\end{array}& &26 & \\
   \hline
   \phantom{\dfrac{1}{2}}\text{Total}&&&\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On prélève au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables.
   On définit les événements suivants :
   $\bullet$ $A$: « La pièce possède un seul défaut » ;
   $\bullet$ $B$: « La pièce possède exactement deux défauts ».
   Montrer que $P(A)=0,066$ et $P(B)=0,032$.
   $\quad$
2. On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1~000$ pièces.
   L’issue de cette expérience aléatoire est le nombre de défauts de cette pièce.
   Déterminer, sous forme de tableau, la loi de probabilité de cette expérience.
   $\quad$

$\quad$

$\quad$