Somme de vecteurs

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

$ABCDEF$ est un hexagone régulier de centre $O$.

Recopier et compléter les égalités suivantes en n’utilisant que des noms de points présents sur la figure :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\ldots$
$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\ldots$
$\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{DO}=\ldots$
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=\ldots$
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}=\ldots$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}=\ldots$
$\quad$
On note $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$.
Exprimer les vecteurs suivants à l’aide des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ uniquement : $\overrightarrow{CD}$;$\overrightarrow{CB}$;$\overrightarrow{AB}$;$\overrightarrow{DB}$;$\overrightarrow{DF}$.
$\quad$

Correction Exercice 1

Remarque : Certaines réponses ne sont pas uniques.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AO}$
$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}$
$\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{FA}$
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CF}$
$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BE}$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}$
$\quad$
$\overrightarrow{CD}=-\vec{v}$
$\overrightarrow{CB}=\vec{u}$;
$\overrightarrow{AB}=-\vec{u}+\vec{v}$;
$\overrightarrow{DB}=\vec{u}+\vec{v}$;
$\overrightarrow{DF}=-\vec{v}+2\vec{u}$.

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$\quad$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle. Construire les points $M,N,P$ et $Q$ définis par :

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Correction Exercice 2

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$\quad$

Exercice 3

Construire un triangle $ABC$ puis les points $D,E$ et $F$ tels que :

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}$

Correction Exercice 3

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$\quad$

Exercice 4

Construire les vecteurs $\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}$ et $\overrightarrow{BC}=\vec{w}+\vec{x}$.

Correction Exercice 4

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$\quad$

Exercice 5

Dessiner un représentant de :

$2\vec{u}+\vec{v}$
$\quad$
$\vec{u}-\vec{3v}$

Correction Exercice 5

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$\quad$

Exercice 6

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3$ cm.

Construire (sur $3$ schémas différents):

$M$ tel que $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
$\quad$
$N$ tel que $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
$\quad$
$P$ tel que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

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$\quad$

Exercice 7

Simplifier au maximum l’écriture du vecteur
$$\vec{v}=\vect{CA}-\vect{BI}+\vect{RC}+\vect{SI}-\vect{RB}$$

$\quad$

Correction Exercice 7

$$\begin{align*} \vec{v}&=\vect{CA}-\vect{BI}+\vect{RC}+\vect{SI}-\vect{RB} \\
&=\vect{CA}+\vect{IB}+\vect{RC}+\vect{SI}+\vect{BR} \\
&=\vect{SI}+\vect{IB}+\vect{BR}+\vect{RC}+\vect{CA} \\
&=\vect{SA} \quad \text{(Relation de Chasles)}\end{align*}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Simplifier au maximum l’écriture des vecteurs suivants.

$$\begin{align*} \vec{u}&=\vect{HF}+\vect{SU}+\vect{RS}+\vect{UH} \\
\vec{v}&=\vect{OC}-\vect{OB}+\vect{AB}\end{align*}$$

$\quad$

Correction Exercice 8

$$\begin{align*}
\vec{u}&=\vect{HF}+\vect{SU}+\vect{RS}+\vect{UH} \\
&=\vect{RS}+\vect{SU}+\vect{UH}=\vect{HF}\\
&=\vect{RF} \quad \text{(Relation de Chasles)}\\
\\
\vec{v}&=\vect{OC}-\vect{OB}+\vect{AB}\\
&=\vect{OC}+\vect{BO}+\vect{AB}\quad \left(\text{ car } -\vect{OB}=\vect{BO}\right)\\
&=\vect{AB}+\vect{BO}+\vect{OC}\\
&=\vect{AC} \quad \text{(Relation de Chasles)}
\end{align*}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

Soient $[AC]$ et $[BD]$ deux diamètres d’un cercle $\mathscr{C}$.

Démontrer que $\vect{AD}+\vect{AB}=\vect{AC}$.

$\quad$

Correction Exercice 9

$[AC]$ et $[BD]$ sont donc les diagonales du quadrilatère $ABCD$.
Puisque ce sont des diamètres du cercle $\mathscr{C}$, ces diagonales se coupent en leur milieu.
Par conséquent $ABCD$ est un parallélogramme (les diamètres ayant la même longueur, on peut ajouter que c’est un rectangle).

D’après la règle du parallélogramme $\vect{AD}+\vect{AB}=\vect{AC}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

Soit $I$ le milieu d’un segment $[AB]$ et $M$ un point n’appartenant pas à la droite $(AB)$.

Construire les points $C$ et $D$ tels que
$$\vect{IC}=\vect{IA}+\vect{IM} \qquad \text{et} \qquad \vect{ID}=\vect{IB}+\vect{IM}$$
$\quad$
Quelle est la nature des quadrilatères $AIMC$ et $IBDM$?
$\quad$
Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$.
$\quad$
Démontrer que $\vect{IC}=\vect{BM}$.
$\quad$
Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$.
Démontrer que $\vect{IC}+\vect{ID}=\vect{IE}$.
$\quad$

Correction Exercice 10

On obtient la figure suivante :

$\quad$
On a $\vect{IC}=\vect{IA}+\vect{IM}$. D’après la règle du parallélogramme, le quadrilatère $AIMC$ est un parallélogramme.
On a $\vect{ID}=\vect{IB}+\vect{IM}$. D’après la règle du parallélogramme, le quadrilatère $IBDM$ est un parallélogramme.
$\quad$
$AIMC$ est un parallélogramme donc $\vect{CM}=\vect{AI}$.
$IBDM$ est un parallélogramme donc $\vect{IB}=\vect{MD}$
$I$ est le milieu du segment $[AB]$ par conséquent $\vect{AI}=\vect{IB}$.
Ainsi $\vect{CM}=\vect{AI}=\vect{IB}=\vect{MD}$ et $M$ est le milieu du segment $[CD]$.
$\quad$
$\vect{CM}=\vect{IB}$ donc $IBMC$ est un parallélogramme et $\vect{IC}=\vect{BM}$.
$\quad$
$E$ est le symétrique de $I$ par rapport à $M$. Donc $M$ est le milieu du segment $[IE]$.
D’après la question 3. $M$ est également le milieu du segment $[CD]$.
Les diagonales du quadrilatère $IDEC$ se coupent donc en leur milieu. C’est par conséquent un parallélogramme et d’après la règle du parallélogramme on a $\vect{IC}+\vect{ID}=\vect{IE}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 11

Construire un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$.
On appelle $I$ le milieu de $[OC]$.
$\quad$
Construire le symétrique $A’$ de $A$ par rapport à $D$ et le symétrique $O’$ de $O$ par rapport à $B$.
$\quad$
a. Démontrer que $\vect{A’C}=\vect{DB}$.
$\quad$
b. Démontrer que $\vect{DB}=\vect{OO’}$.
$\quad$
$\quad$
c. En déduire que $I$ est le milieu de $[A’O’]$.
$\quad$

Correction Exercice 11

voir figure
$\quad$
On obtient la figure suivante :

$\quad$
a. $A’$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$ donc $D$ est le milieu de $[AA’]$. On a alors $\vect{AD}=\vect{DA’}$.
$ABCD$ est un parallélogramme. Donc $\vect{AD}=\vect{BC}$.
Par conséquent $\vect{DA’}=\vect{AD}=\vect{BC}$ et $DBCA’$ est un parallélogramme.
On a alors $\vect{DB}=\vect{A’C}$.
$\quad$
b. $O$ est le milieu de $[DB]$ donc $\vect{DO}=\vect{OB}$.
$O’$ est le symétrique de $O$ par rapport à $B$ donc $\vect{OB}=\vect{BO’}$.
Ainsi $\vect{DB}=\vect{DO}+\vect{OB}=\vect{OB}+\vect{BO’}=\vect{OO’}$
$\quad$
c. D’après les questions précédentes on a $\vect{A’C}=\vect{DB}=\vect{OO’}$. Cela signifie donc que le quadrilatère $A’CO’O$ est un parallélogramme.
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu et $I$ est le milieu de la diagonale $[OC]$. C’est donc également celui de la diagonale $[A’O’]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 12

On donne un parallélogramme $RSTV$ de centre $I$.

Placer le point $M$ tel que $\vect{RM}=\vect{RV}+\vect{IR}$.
$\quad$
Placer le point $N$ tel que $SITN$ soit un parallélogramme.
$\quad$
Montrer que $\vect{RM}=\vect{IV}$ et que $\vect{SI}=\vect{NT}$.
$\quad$
En déduire que $\vect{RM}=\vect{NT}$ puis la nature du quadrilatère $RMTN$.
$\quad$

Correction Exercice 12

Voir figure
$\quad$
On obtient la figure suivante :

$\quad$
$RSTV$ est un parallélogramme donc $\vect{RV}=\vect{ST}$. $I$ est le centre du parallélogramme $RSTV$ donc $\vect{SI}=\vect{IV}$.
On a donc $\vect{RM}=\vect{RV}+\vect{IR}=\vect{ST}+\vect{TI}=\vect{SI}=\vect{IV}$.
$SITN$ est un parallélogramme donc $\vect{SI}=\vect{NT}$.
$\quad$
Ainsi $\vect{RM}=\vect{IV}=\vect{SI}=\vect{NT}$ et le quadrilatère $RMTN$ est un parallélogramme.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 13

Soient $O,A$ et $B$ trois points non alignés.

Construire $D$ tel que $\vect{OD}=\vect{OA}+\vect{OB}$ et $C$ tel que $\vect{OC}=\vect{AO}+\vect{BO}$.
Montrer que $O$ est le milieu de $[CD]$.
$\quad$
Construire $E$ et $F$ tels que $\vect{OE}=\vect{OA}+\vect{OC}$ et $\vect{OF}=\vect{OB}+\vect{OC}$.
Montrer que $AEFB$ est un parallélogramme.
$\quad$

Correction Exercice 13

$\vect{OD}=\vect{OA}+\vect{OB}=-\vect{AO}-\vect{BO}=-\vect{OC}=\vect{CO}$
Donc $O$ est le milieu de $[CD]$.
$\quad$
$\vect{OE}=\vect{OA}+\vect{OC}$ D’après la règle du parallélogramme $OAEC$ est un parallélogramme et $\vect{AE}=\vect{OC}$.
$\vect{OF}=\vect{OB}+\vect{OC}$ D’après la règle du parallélogramme $OCFB$ est un parallélogramme et $\vect{OC}=\vect{BF}$.
Ainsi $\vect{AE}=\vect{OC}=\vect{BF}$ et $AEFB$ est un parallélogramme.
$\quad$

[collapse]

$\quad$