$27+15=42=2\times 21$ est pair

$5^2=25=2\times 12+1$ est impair

$\sqrt{36}=6=2\times 3$ est pair

$\dfrac{378}{3}=126=2\times 63$ est pair

$15^2-8=225-8=217=2\times 108+1$ est impair

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre pair $n$. Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
Ainsi :
$\begin{align*} n^2&=(2k)^2 \\
&=4k^2\\
&=2\times 2k^2\end{align*}$
Par conséquent $n^2$ est pair.

$\quad$

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

• Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
  Ainsi $n(n+1)=2k(n+1)$ est pair.
• Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
  Par conséquent $n+1=2k+1+1=2k+2=2(k+1)$.
  Ainsi $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ est pair.

$\quad$

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

1. $A=2n+6=2(n+3)$ est pair
   $B=6n+8=2(3n+4)$ est pair
   $C=40n+1=2\times 20n+1$ est impair
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} A+C&=2n+6+40n+1 \\
   &=42n+7 \\
   &=7\times 6n+7\times 1\\
   &=7(6n+1)\end{align*}$
   Donc $A+C$ est un multiple de $7$.
   $\quad$

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

• On suppose que $n$ est impair.
  D’après le cours, on sait que si $n$ est impair alors $n^2$ est également impair.
  Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a+1$ et $n^2=2b+1$.
  Ainsi :
  $\begin{align*} 5n^2+3n&=5(2b+1)+3(2a+1) \\
  &=10b+5+6a+3\\
  &=10b+6a+8 \\
  &=2(5b+3a+4)\end{align*}$
  Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
• On suppose que $n$ est pair.
  On a montré à l’exercice 2, que si $n$ est pair alors $n^2$ est également pair.
  Il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $n=2a$ et $n^2=2b$.
  Ainsi :
  $\begin{align*} 5n^2+3n &=5(2b)+3(2a) \\
  &=2(5b+3a)\end{align*}$
  Par conséquent $5n^2+3n$ est pair.
  $\quad$

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Deux entiers consécutifs s’écrivent, par exemple, sous la forme $n$ et $n+1$.

• Si $n$ est pair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
  Ainsi :
  $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+(2k+1)\\
  &=4k+1\\
  &=2\times 2k+1\end{align*}$
  Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
• Si $n$ est impair, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
  Ainsi :
  $\begin{align*} n+(n+1)&=2k+1+(2k+1+1)\\
  &=4k+3\\
  &=4k+2+1\\
  &=2\times (2k+1)+1\end{align*}$
  Par conséquent $n+(n+1)$ est impair.
  $\quad$

Le produit et la somme de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.

• Si $k$ est pair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n$. Ainsi $k+1=2n+1$
  $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+1)^2-(2n)^2 \\
  &=4n^2+4n+1-4n^2\\
  &=4n+1\\
  &=2\times 2n+1\end{align*}$
  Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
• Si $k$ est impair. Il existe un entier naturel $n$ tel que $k=2n+1$. Ainsi $k+1=2n+2$
  $\begin{align*} (k+1)^2-k^2&=(2n+2)^2-(2n+1)^2 \\
  &=4n^2+8n+4-\left(4n^2+4n+1\right)\\
  &=4n+1+8n+4-4n^2-4n-1\\
  &=4n+3\\
  &=4n+2+1\\
  &=2\times (2n+1)+1\end{align*}$
  Donc $(k+1)^2-k^2$ est impair.
  $\quad$

La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels impairs. Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=2n+1$ et $b=2m+1$.
$\begin{align*} N&=a^2+b^2+6 \\
&=(2n+1)^2+(2m+1)+6\\
&=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1+6\\
&=4n^2+4n+4m^2+4m+8\\
&=4n(n+1)+4m(m+1)+8\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc deux entiers naturels (car $n$ et $m$ sont des entiers naturels) $p$ et $q$ tels que :
$n(n+1)=2p$ et $m(m+1)=2q$.
Ainsi :
$\begin{align*} N&=4n(n+1)+4m(m+1)+8 \\
&=4\times 2p+4\times 2q+8\\
&=8p+8q+8\times 1\\
&=8(p+q+1)\end{align*}$
Le nombre $N$ est donc divisible par $8$.
$\quad$

Le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

On considère un nombre impair $a$. Il existe donc un entier relatif $n$ tel que $a=2n+1$.
Ainsi :
$\begin{align*}a^2&=(2n+1)^2\\
&=4n^2+4n+1\\
&=4n(n+1)+1\end{align*}$
D’après l’exercice 3, le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Il existe donc un entier relatif $p$ tel que $n(n+1)=2p$.
Ainsi :
$\begin{align*} a^2&=4n(n+1)+1 \\
&=4\times 2p+1 \\
&=8p+1\end{align*}$
Or $0\pp 1<8$.
Ainsi le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $8$ est $1$.
$\quad$