$49 = 7^2$ Donc $49$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{59}\approx 7,7$. Si $59$ n’est pas un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $7$.
Or $59$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$ et $7$.
Par conséquent $59$ est un nombre premier.

$\sqrt{123}\approx 11,1$. Si $123$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
On a $123=3\times 41$. Ainsi $123$ n’est pas un nombre premier.

$\sqrt{137} \approx 11,7$. Si $137$ est un nombre premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $11$.
Or $137$ n’est divisible par aucun des nombres premiers suivants : $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
Par conséquent $137$ est un nombre premier.

$\quad$

On a :
$\begin{align*} A&=2\times 84 \\
&=2\times 2\times 42 \\
&=2\times 2\times 2\times 21 \\
&=2^3\times 3\times 7\end{align*}$

$\begin{align*}
B&=260 \\
&=2\times 130 \\
&=2\times 2\times 65 \\
&=2^2\times 5\times 13\end{align*}$

$\begin{align*} C&=375 \\
&=3\times 125 \\
&=3\times 5\times 25 \\
&=3\times 5\times 5\times 5\\
&=3\times 5^3\end{align*}$

$\begin{align*}
D&=3~780 \\
&=2\times 1~890 \\
&=2\times 2 \times 945 \\
&=2^2 \times 3\times 315 \\
&=2^2\times 3\times 3 \times 105 \\
&=2^2\times 3\times 3\times 3 \times 35 \\
&=2^2\times 3^3 \times 5\times 7\end{align*}$

$\quad$

On obtient le crible suivant :

$\quad$

$a$ ne peut pas être pair, sinon le nombre $43a$ est divisible par $2$.
$a$ ne peut pas être égal à $5$, sinon le nombre $43a$ est divisible par $5$.
Il ne nous reste plus comme possibilité que $1$, $3$, $7$ et $9$.

Si $a=1$ alors le nombre est $431$
$\sqrt{431}\approx 20,7$. Si $431$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $431$ est un nombre premier.

Si $a=3$ alors le nombre est $433$
$\sqrt{433}\approx 20,8$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $433$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $433$ est un nombre premier.

Si $a=7$ alors le nombre est $437$
$\sqrt{437}\approx 20,9$. Si $433$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $437$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ et $17$.
En revanche $437=19\times 23$
Par conséquent $437$ n’est pas un nombre premier.

Si $a=9$ alors le nombre est $439$
$\sqrt{439}\approx 20,95$. Si $439$ n’est pas premier alors son plus petit diviseur premier est inférieur ou égal à $20$.
Or $439$ n’est divisible par aucun de ces nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.
Par conséquent $439$ est un nombre premier.

Ainsi $43a$ est premier si, et seulement si, $a=1$ ou $a=3$ ou $a=9$.

$\quad$

Par définition $n^2=n\times n$. Donc $n^2$ possède au moins trois diviseurs positifs : $1$, $n$ et $n^2$.
Par conséquent $n^2$ n’est pas premier.

$\quad$

Nous allons calculer les premiers nombres de Mersenne et regarder s’ils sont premiers ou non.

• Si $n=2$ alors $M_2=2^2-1=3$ est premier.
• Si $n=3$ alors $M_3=2^3-1=7$ est premier.
• Si $n=5$ alors $M_5=2^5-1=31$ est premier.
• Si $n=7$ alors $M_7=2^7-1=127$ est premier.
• Si $n=11$ alors $M_{11}=2^{11}-1=2~047=23\times 89$ n’est pas premier.

Les nombres $M_n$ ne sont donc pas tous premier quand $n$ est premier.

$\quad$