2nd - Exercices - Coordonnées et vecteurs -

Exercice 1

Construire un représentant de chaque vecteur à partir du point indiqué :

$\vec{v_1}(4;-3)$ à partir de $A$.
$\quad$
$\vec{v_2}(2;-5)$ à partir de $B$.
$\quad$
$\vec{v_3}(-6;1)$ à partir de $C$.
$\quad$

Correction Exercice 1

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$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$?
$\quad$

Correction Exercice 2

Première méthode : avec les produits en croix

Pour $\vec{u}(-2;3)$ et $\vec{v}(4,2;-6,3)$.

$-2 \times (-6,3)-3\times 4,2 = 12,6-12,6 = 0$.

Donc les deux vecteurs sont colinéaires.

$\quad$

Pour les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

$-2 \times 7,4-3 \times 5 = -14,8-15 = -29,8 \neq 0$.

Donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

$\quad$

Deuxième méthode : en cherchant un coefficient de proportionnalité

Pour $\vec{u}(-2;3)$ et $\vec{v}(4,2;-6,3)$.

$\dfrac{4,2}{-2} = -2,1$ et $\dfrac{-6,3}{3} = -2,1$.

Les deux vecteurs sont proportionnels et $\vec{v}=-2,1\vec{u}$.

$\quad$

Pour les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

$\dfrac{5}{-2} = -2,5$ et$ \dfrac{7,4}{3}=\dfrac{37}{15}$.

Les deux rapports sont différents. Par conséquent les vecteurs ne sont pas colinéaires.

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$\quad$

Exercice 3

Représenter les points $A(-1;3)$, $B(1;2)$, $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$ dans un repère $\Oij$.
$\quad$
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
$\quad$
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
On a $A(-1;3)$ et $B(1;2)$
Donc $\overrightarrow{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\overrightarrow{AB}(2;-1)$.
$\quad$
On a $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$
Donc $\overrightarrow{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\overrightarrow{CD}(6;-3)$.
$\quad$
Regardons si ces deux vecteurs sont colinéaires.
$\overrightarrow{AB}(2;-1)$ et $\overrightarrow{CD}(6;-3)$
Or $2 \times (-3) -(-1) \times 6 = -6+6=0$
Par conséquent $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires et les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
$\quad$
Remarque : On pouvait également constater que $\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AB}$

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$\quad$

Exercice 4

On donne les points $M(-2;-1)$, $B(1;0)$ et $F(6;1)$.
Les points $M,B$ et $F$ sont-ils alignés?
$\quad$

Correction Exercice 4

Déterminons dans un premier temps les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MF}$.

$\overrightarrow{MB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ donc $\overrightarrow{MB}(3;1)$

$\overrightarrow{MF}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ donc $\overrightarrow{MF}(8;2)$

On constate que $\dfrac{8}{3} \neq \dfrac{2}{1}$.

Par conséquent les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $M$, $B$ et $F$ ne sont pas alignés.

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$\quad$

Exercice 5

Dans un repère $\Oij$ on donne les points $M(0;-3)$, $N(2;3)$, $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$.

Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{NA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MQ}$.
$\quad$
Démontrer que les points $P$, $A$ et $B$ sont alignés.
$\quad$

Correction Exercice 5

On a $\overrightarrow{NA}\left(x_A-2;y_A-3\right)$ et $\overrightarrow{MN}\left(2-0;3-(-3)\right)$ soit $\overrightarrow{MN}(2;6)$.
On veut que $\overrightarrow{NA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}$.
Par conséquent $\begin{cases} x_A-2=\dfrac{1}{2} \times 2\\\\y_A-3=\dfrac{1}{2} \times 6\end{cases} \ssi \begin{cases}x_A-2=1\\\\y_A-3=3\end{cases} \ssi \begin{cases}x_A=3\\\\y_A=6\end{cases}$.
$\quad$
On a $\overrightarrow{MB}\left(x_B-0;y_B-(-3)\right)$ soit $\overrightarrow{MB}\left(x_B;y_B+3\right)$ et $\overrightarrow{MQ}\left(-1-0;-1-(-3)\right)$ soit $\overrightarrow{MQ}(-1;2)$.
On veut que $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MQ}$.
Par conséquent $\begin{cases} x_B=3 \times (-1)\\\\y_B+3=3\times 2\end{cases} \ssi \begin{cases}x_B=-3\\\\y_B=3\end{cases}$.

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$\quad$

Exercice 6

On se place dans un repère $\Oij$ du plan.

Soient les points $A(1;0)$, $B(0;-2)$, $C(-3;-8)$, $D(4;1)$ et $E\left(2;-\dfrac{4}{3}\right)$.

$A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
$\quad$
Même question pour $C$, $D$ et $E$.
$\quad$
Démontrer que $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 6

D’une part $\overrightarrow{AB}(0-1;-2-0)$ soit $\overrightarrow{AB}(-1;-2)$.
D’autre part $\overrightarrow{AC}(-3-1;-8-0)$ soit $\overrightarrow{AC}(-4;-8)$.
On constate que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$.
Les deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
$\quad$
D’une part $\overrightarrow{CD}(7;9)$
D’autre part $\overrightarrow{CE}\left(2-(-3);-\dfrac{4}{3}-(-8)\right)$ soit $\overrightarrow{CE}\left(5;\dfrac{20}{3}\right)$.
$7 \times \dfrac{20}{3}-9\times 5 = \dfrac{140}{3}-45=\dfrac{5}{3}\neq 0$.
Par conséquent les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $C, D$ et $E$ ne sont pas alignés.
$\quad$
D’une part $\overrightarrow{AD}(3;1)$
D’autre part $\overrightarrow{BE}\left(2;\dfrac{2}{3}\right)$.
On constate que $3 \times \dfrac{2}{3}-1\times 2 = 2-2=0$.
Par conséquent les vecteurs sont colinéaires et les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
$\quad$
Remarque : On pouvait constater que $\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BE}$.

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$\quad$

Exercice 7

Soit $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ d’un repère $\Oij$.

On appelle $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
$\quad$
On considère les points $P$ et $Q$ définis par : $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
a. Calculer les coordonnées des points $P$ et $Q$.
$\quad$
b. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

Correction Exercice 7

$M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Par conséquent $B$ est le milieu de $[AM]$.
Ainsi : $\begin{cases} -1 = \dfrac{-2+x_M}{2}\\\\4=\dfrac{1+y_M}{2}\end{cases}$ $\ssi\begin{cases} -2=-2+x_M\\\\8=1+y_M\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_M=0\\\\y_M=7\end{cases}$.
Ainsi $M(0;7)$.
$\quad$
$N$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$. Par conséquent $C$ est le milieu de $[AN]$.
Ainsi : $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+x_N}{2}\\\\3=\dfrac{1+y_N}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}4=-2+x_N\\\\6=1+y_N\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_N=6\\\\y_N=5\end{cases}$.
Donc $N(6;5)$.
$\quad$
a. $\overrightarrow{AP}\left(x_P+2;y_P-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}(1;3)$.
On veut que $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$.
Donc $\begin{cases} x_P+2=-3\\\\y_P-1=-9 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_P=-5\\\\y_P=-8\end{cases}$.
$\quad$
$\overrightarrow{AQ}\left(x_Q+2;y_Q-1\right)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2)$.
On veut que $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
Donc $\begin{cases} x_Q+2=-12\\\\y_Q-1=-6 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_Q=-14\\\\y_Q=-5\end{cases}$.
$\quad$
Par conséquent $P(-5;-8)$ et $Q(-14;-5)$.
$\quad$
b. D’une part $\overrightarrow{MN}(6;-2)$
D’autre part $\overrightarrow{PQ}(-9;3)$
Ainsi $6 \times 3-(-2)\times (-9) = 18-18 = 0$.
Les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère trois points $A$, $B$ e $C$ non alignés d’un repère $\Oij$.

Construire les points $E$ et $D$ tels que $\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
$\quad$
On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
$\quad$
b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles?
$\quad$

Correction Exercice 8

La figure dépend évidemment de l’emplacement des points $A$, $B$ et $C$.
a. Dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ on a :
$A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
Ainsi $\overrightarrow{AB}(1;0)$, $\overrightarrow{AC}(0;1)$$\overrightarrow{CB}(1;-1)$
D’après la relation de Chasles on a :
$\begin{align*}\overrightarrow{AE}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE} \\
&=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\
&=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\end{align*}$
Par conséquent $\overrightarrow{AE}\left(-0+\dfrac{1}{2}\times 1;-1+\dfrac{1}{2}\times 0\right)$ soit $\overrightarrow{AE}(0,5;-1)$.
Ainsi $E(0,5;-1)$.
$\quad$
$\overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
Par conséquent $\overrightarrow{AD}\left(\dfrac{5}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1;\dfrac{5}{2}\times 1+\dfrac{1}{2} \times (-1)\right)$ soit $\overrightarrow{AD}(0,5;2)$.
Ainsi $D(0,5;2)$.
$\quad$.
b. D’une part $\overrightarrow{DE}(0;-3)$
D’autre part $\overrightarrow{CA}(0;-1)$.
On constate donc que $\overrightarrow{DE}=3\overrightarrow{CA}$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
$\quad$

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Exercice 9

Placer dans un repère orthonormé $\Oij$ les points $A(-2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(1;5)$.

La figure sera complétée au fur et à mesure.

Déterminer, en utilisant les vecteurs, les coordonnées du points $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
$\quad$
Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AD]$.
$\quad$
Calculer le rayon du cercle de diamètre $[BC]$.
Quel est son centre? Justifier.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $K$ vérifiant $\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{CB}$.
$\quad$
Soit $M$ le point de coordonnées $(6;m)$.
Déterminer la valeur du réel $m$ pour que les points $C$, $B$ et $M$ soient alignés.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $L$ définis par :
$$\overrightarrow{AL}+2\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CL}=\vec{0}$$
$\quad$

Correction Exercice 9

On veut que $ABDC$ soit un parallélogramme. Par conséquent $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Or $\overrightarrow{AB}(5;3)$ et $\overrightarrow{DC}\left(x_D-1;y_D-5\right)$.
Ainsi $\begin{cases}x_D-1=5\\\\y_D-5=3 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_D=6\\\\y_D=8\end{cases}$.
Donc $D(6;8)$.
$\quad$
$x_I=\dfrac{-2+6}{2}=2$ et $y_I=\dfrac{-1+8}{2}=\dfrac{7}{2}$
Donc $I\left(2;\dfrac{7}{2}\right)$.
$\quad$
$BC=\sqrt{(1-3)^2+(5-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$
Ainsi le rayon du cercle de diamètre $[BC]$ est $R=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
Le centre de ce cercle est le milieu $J$ du segment $[BC]$.
Donc $x_J=\dfrac{1+3}{2}=2$ et $y_J=\dfrac{5+2}{2}=\dfrac{7}{2}$.
Par conséquent $J\left(2;\dfrac{7}{2}\right)$ et $I$ et $J$ sont confondus.
$\quad$
D’une part $\overrightarrow{AK}\left(x_K+2;y_K+1\right)$
D’autre part $\overrightarrow{CB}(2;-3)$.
On veut que $\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{CB}$
Donc $\begin{cases}x_K+2=4 \\\\y_K+1=-6\end{cases}$ soit $\begin{cases}x_K=2\\\\y_K=-7\end{cases}$
D’une part $\overrightarrow{CB}(2;-3)$.
D’autre part $\overrightarrow{CM}(5;m-5)$.
On veut que les points $C, B$ et $M$ soient alignés. Cela signifie donc que les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires.
Par conséquent $2(m-5)-(-3) \times 5 = 0$ $\ssi 2m-10+15=0$ $\ssi 2m = -5$ $\ssi m=-\dfrac{5}{2}$
$\quad$
On a :
$\overrightarrow{AL}\left(x_L+2;y_L+1\right)$
$\overrightarrow{BL}\left(x_L-3;y_L-2\right)$
$\overrightarrow{CL}\left(x_L-1;y_L-5\right)$.
On veut que $\overrightarrow{AL}+2\overrightarrow{BL}+\overrightarrow{CL}=\vec{0}$
Par conséquent $\begin{cases}x_L+2+2\left(x_L-3\right)+x_L-1 = 0\\\\y_L+1+2\left(y_L-2\right)+y_L-5=0 \end{cases}$
$\ssi \begin{cases}x_L+2+2x_L-6+x_L-1=0 \\\\y_L+1+2y_L-4+y_L-5=0\end{cases}$
$\ssi \begin{cases} 4x_L-5=0 \\\\4y_L-8=0 \end{cases}$
$\ssi \begin{cases} x_L=\dfrac{5}{4} \\\\y_L=2\end{cases}$
Donc $L\left(\dfrac{5}{4};2\right)$.

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