2nd – Exercices – Aires et volumes

Aires et volumes

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Recopier et compléter les égalités suivantes :

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = \ldots ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = \ldots~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = \ldots~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = \ldots ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = \ldots ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000 \ldots$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000\ldots$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = \ldots \text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = \ldots \text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = \ldots \text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = \ldots \text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = \ldots \text{cm}^3$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Aires

  • $0,032 ~\text{km}^2 = 32~000 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $57~\text{m}^2 = 0,005~7 ~\text{hm}^2$
    $\quad$
  • $3,5~\text{m}^2 = 3~500~000~ \text{mm}^2$
    $\quad$
  • $725~\text{dm}^2 = 0,072~5~\text{dam}^2$
    $\quad$
  • $850~\text{cm}^2 = 0,085 ~\text{m}^2$
    $\quad$
  • $0,02~\text{m}^2 = 200 ~\text{cm}^2$
    $\quad$
  • $82 ~\text{m}^2 = 820~000~ \text{cm}^2$
    $\quad$
  • $3~\text{km}^2 = 30~000~\text{dam}^2$

$\quad$

Volumes

  •  $5,765~\text{dm}^3 = 5~765~000 ~\text{mm}^3$
    $\quad$
  • $0,025~7 ~\text{dam}^3 = 25~700~\text{l}$
    $\quad$
  • $5,7~\text{hl} = 570~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$
  • $0,072~\text{cm}^3 = 0,007~2 ~\text{cl}$
    $\quad$
  • $5~700~\text{l} = 5,7 ~\text{m}^3$
    $\quad$
  • $4,75~\text{m}^3 = 4~750~000 ~\text{cm}^3$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $\mathscr{S}$ une sphère de entre $O$ et de rayon $4$ cm.

Calculer son aire et son volume (valeurs exactes et arrondies à $10^{-1}$ près).

$\quad$

Correction Exercice 2

Aire : $4\pi \times R^2 = 4 \pi \times 4^2 $ $= 64\pi \approx 201,1 \text{cm}^2$

Volume : $\dfrac{4}{3} \pi \times R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \times 4^3 $ $= \dfrac{256\pi}{3} \approx 268,1 \text{cm}^3$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$SABCD$ est un pyramide de base carrée $ABCD$ et de sommet $S$. On appelle $O$ le centre du carré.

On a $SO = 8$ m et $AB = 12$ m.

Calculer l’aire latérale et le volume de $SABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 3

pyramide ex4

$SABCD$ est une pyramide régulière. Donc $[SO]$ est la hauteur.
On appelle $I$ le milieu de $[BC]$.
$SOI$ est donc un triangle rectangle en $O$.

D’après le théorème de Pythagore on a alors :
$\begin{align*} SI^2 &= SO^2 + OI^2 \\
&=8^2 + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2\\
& = 100\\
SI &= 10
\end{align*}$

$\quad$

La pyramide étant régulière, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles et les médianes issues de $S$ sont aussi des hauteurs.

L’aire du triangle $SBC$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A} &= \dfrac{SI \times BC}{2} \\
& = \dfrac{10 \times 12}{2} \\
& = 60 \text{m}^2\end{align*}$

L’aire latérale de la pyramide est $4 \times 60 = 240 \text{m}^2$.

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$\quad$

Exercice 4

Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.
Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon $3$ cm et une autre boule pour le corps dont le rayon est $2$ fois plus grand.

  1. a. Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. En déduire que le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
    $\quad$
  2. Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de neige.
    Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à $2$ cm de son centre.
    Quelle est l’aire de la surface d’assemblage de la tête et du corps? Arrondir le résultat au cm$^2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
    b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
    Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
    $\quad$
  2. Voici une représentation de la situation :
    DNB-amérique du sud-dec2015-ex7
    On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
    $3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
    Par conséquent $r^2=5$.
    L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un récipient cylindrique de rayon $2$ cm et de hauteur $4,5$ cm, on verse de l’eau jusqu’à atteindre une hauteur de $3$ cm. On pose dans ce verre une bille métallique de $1$ cm de rayon.

  1. Quelle est la hauteur d’eau dans le récipient (arrondie au millimètre) après immersion d’une bille?
    $\quad$
  2. Combien de billes peut-on mettre dans le récipient sans le faire déborder?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le volume de la bille est $V_B=\dfrac{4}{3}\pi\times 1^3=\dfrac{4}{3}\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer la hauteur $h$ que ce volume représente dans le récipient.
    On doit donc résoudre l’équation :
    $2^2\pi\times h=\dfrac{4}{3}\pi \ssi 4 h=\dfrac{4}{3} \ssi h=\dfrac{1}{3}$
    Après immersion de la bille, la hauteur d’eau est $3+\dfrac{1}{3}\approx 3,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le volume d’eau du récipient est $V_R=2^2\times \pi\times 4,5=18\pi$ cm$^3$.
    Le volume d’eau est $V_E=2^2\times 3\pi=12\pi$ cm$^3$.
    On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} n\times V_B\pp V_R-V_E &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n \pp 18\pi-12\pi \\
    &\ssi \dfrac{4}{3}\pi\times n\pp 6\pi \\
    &\ssi n\pp \dfrac{6}{~~\dfrac{4}{3}~~} \\
    &\ssi n\pp 6\times \dfrac{3}{4} \\
    &\ssi n \pp 4,5\end{align*}$
    On peut donc mettre au maximum $4$ billes dans le récipient sans le faire déborder.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Enzo et Lucie effectuent des calculs sur une même sphère. Enzo calcule l’aire (en cm$^2$) et Lucie le volume (en cm$^3$). Leurs résultats sont égaux.
Quel est le rayon de la sphère?

$\quad$

Correction Exercice 6

Le volume d’une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi\times R^3$.
L’aire d’une sphère de rayon $R$ est $A=4\pi\R^2$.

On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} V=A&\ssi \dfrac{4}{3}\pi \times R^3=4\pi \R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3=R^2 \\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times R^3-R^2=0\\
&\ssi R^2\left(\dfrac{1}{3}R-1\right)=0\end{align*}$

Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $R^2=0 \ssi R=0$ ou $\dfrac{1}{3}R-1=0 \ssi \dfrac{1}{3}R=1\ssi R=3$.

Le rayon de la sphère est égal à $3$ cm.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35$ m$^2$.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :
$\qquad$ Aire du disque $=\pi \times $ rayon$^2$
$\qquad$ Volume du cylindre $=\pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur
$\qquad$ Volume du cône $=\dfrac{1}{3} \pi \times $ rayon$^2$ $\times $ hauteur

  1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la yourte en m$^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Le rayon de la yourte est $r=\dfrac{7}{2}=3,5$ m.
    La surface au sol de la yourte est $S=\pi r^2=12,25\pi \approx 38,5$ m$^2$ $>35$ m$^2$.
    La surface au sol de l’appartement de Samia est donc inférieure à celle de la yourte.
    $\quad$
  2. Le volume du cylindre de la yourte est $V_1=\pi \times 3,5^2\times 2,5=30,625\pi$ m$^3$.
    Le volume du cône est $V_2=\dfrac{1}{3}\times 3,5^2\times \pi\times (4,5-2,5)=\dfrac{24,5\pi}{3}$ m$^3$.
    Le volume de la yourte est donc $V=30,625\pi+\dfrac{24,5\pi}{3}=\dfrac{931\pi}{24}$ m$^3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Madame Duchemin a aménagé un studio dans les combles de sa maison, ces combles ayant la forme d’un prisme droit avec comme base le triangle $ABC$ isocèle en $C$.

Elle a pris quelques mesures, au cm près pour les longueurs et au degré près pour les angles. Elle les a reportées sur le dessin ci-dessous représentant les combles, ce dessin n’est pas à l’échelle.

Madame Duchemin souhaite louer son studio.
Les prix de loyer autorisés dans son quartier sont au maximum de $20$ € par m$^2$ de surface habitable.
Une surface est dite habitable si la hauteur sous plafond est de plus de $1,80$ m (article R111-2 du code de construction) : cela correspond à la partie grisée sur la figure.
Madame Duchemin souhaite fixer le prix du loyer à $700$ €.
Peut-elle louer son studio à ce prix ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

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