1. Les diviseurs de $18$ sont :
   $-18$, $-9$, $-6$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$.
   $\quad$
   Les diviseurs de $24$ sont :
   $-24$, $-12$, $-8$, $-6$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$.
   $\quad$
2. $102=17\times 6$ donc $102$ est un multiple de $17$.
   $\quad$
3. $24=4\times 6$ donc $4$ est diviseur de $24$ mais $24$ n’est pas un diviseur de $24$.
   Remarque : On pouvait également dire que puisque $24$ est strictement supérieur à $4$ il ne peut pas être un de ses diviseurs.
   $\quad$

$20$ n’est divisible que par $2$, $5$ et $10$.
$\quad$ $20=2\times 10$ et $20=4\times 5$
$\quad$ La somme des chiffres de $20$ est $2$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $20$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$85$ n’est divisible que par $5$
$\quad$ $85=5\times 17$
$\quad$ $85$ n’est pas pair. Donc $85$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ La somme des chiffres de $85$ est $13$ qui n’est ni un multiple de $3$, ni un multiple de $9$. Donc $85$ n’est divisible ni par $3$, ni par $9$.

$231$ n’est divisible que par $3$
$\quad$ $231=3\times 77$
$\quad$ $231$ n’est pas pair. Donc $231$ n’est pas divisible par $2$.
$\quad$ Le chiffre des unités de $231$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $231$ n’est pas divisible par $5$.
$\quad$ La somme des chiffres de $231$ est $6$ qui n’est pas un multiple de $9$. Donc $231$ n’est pas divisible par $9$.

$972$ n’est divisible que par $2$, $3$ et $9$
$\quad$ $972=2\times 486$, $972=3\times 324$ et $972=9\times 108$
$\quad$ Le chiffre des unités de $972$ n’est ni $0$, ni $5$. Donc $972$ n’est pas divisible par $5$.

$\quad$

1. Les premiers multiples positifs de $a$ sont $18$, $36$, $54$, $72$, $90$, $108$, $126$, $144$.
   Les premiers multiples positifs de $b$ sont $24$, $48$, $72$, $96$, $120$, $144$.
   Donc deux multiples communs à $a$ et $b$ sont $72$ et $144$.
   On aurait pu aussi prendre $72$ et $-72$. Il existe une infinité de multiples communs. Ce ne sont donc évidemment pas les seules possibilités.
   $\quad$
2. D’après les listes des multiples de $a$ et de $b$, le plus petit multiple positif commun à $a$ et $b$ est $72$.
   $\quad$

Trois entiers consécutifs peuvent s’écrire : $n$, $n+1$ et $n+2$ où $n$ est un entier relatif.
Ainsi leur somme vaut :
$\begin{align*} S&=n+(n+1)+(n+2)\\
&=3n+3\\
&=3(n+1)\end{align*}$

Par conséquent $S$ est un multiple de $3$.
$\quad$

On considère deux multiples de $2$notés $a$ et $b$.
Il existe donc deux entiers relatifs $n$ et $m$ tels que $a=2n$ et $b=2m$.
Leur produit est alors :
$\begin{align*} P&=ab\\
&=(2n)\times (2m) \\
&=4nm\end{align*}$

Par conséquent $P$ est un multiple de $4$.
$\quad$

Les diviseurs positifs de $28$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$ et $28$.
De plus $1+2+4+7+14=28$
Donc $28$ est un nombre parfait.

$\quad$

Pour que le nomre $4a3b$ soient divisibles par $12$, il faut qu’il soit divisibles par $3$ et par $4$.
$4a3b$ est divisibles par $4$ si le nombre $3b$ est divisible par $4$.
Par conséquent $b$ ne peut donc prendre comme valeur que $2$, $6$.

$4a3b$ est divisible par $3$ si la somme de ces chiffres est un multiple de $3$.

• Si $b=2$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+2=9+a$
  $9+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $0$, $3$, $6$ ou $9$
• Si $b=6$ alors la somme des chiffres vaut $4+a+3+6=13+a$
  $13+a$ est divisible par $3$ que si $a$ prend les valeurs $2$, $5$ ou $8$

Finalement, seuls les nombres $4~032$, $4~332$,$4~632$ , $4~932$, $4~236$, $4~536$ et $4~836$ sont divisibles par $12$.

On a $(n+1)^2=n^2+2n+1$
Donc
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2n+2\\
&=(n+1)^2-2(n-1)\end{align*}$

$n+1$ est divisible par $4$. Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n+1=4k$
Par conséquent $n-1=n+1-2=4k-2=2(2k-1)$
Ainsi :
$\begin{align*} n^2+3&=(n+1)^2-2(n-1) \\
&=(4k)^2-2\times 2(2k-1) \\
&=16k^2-4(2k-1)\\
&=4\left(4k^2-(2k-1)\right)
\end{align*}$

Donc $n^2+3$ est divisible par $4$.
$\quad$