2nd – Exercices – Autour des fonctions affines

Autour des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Calculatrice interdite

Exercice 1

Tracer, en justifiant, la représentation graphique de chacune des fonctions suivantes dans un repère différent.

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x-6$.
    $f$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=1$ alors $f(1)=2\times 1-6=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(1;-4)$.
    – Si $x=4$ alors $f(4)=2\times 4-6=8-6=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(4;2)$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x+1$.
    $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $g(-3)=-(-3)+1=3+1=4$
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;4)$.
    – Si $x=5$ alors $g(5)=-5+1=-4$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;-4)$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x+3$.
    $h$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $h(-4)=-4+3=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;-1)$.
    – Si $x=2$ alors $h(2)=2+3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;5)$.$\quad$
  4. La fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(x)=-2x-3$.
    $i$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-4$ alors $i(-4)=-2\times (-4)-3=8-3=5$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-4;5)$.
    – Si $x=2$ alors $i(2)=-2\times 2-3=-4-3=-7$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(2;-7)$.$\quad$
  5. La fonction $j$ définie sur $\R$ par $j(x)=\dfrac{1}{3}x-2$.
    $j$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-3$ alors $j(-3)=\dfrac{1}{3}\times (-3)-2=-1-2=-3$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-3;-3)$.
    – Si $x=3$ alors $j(3)=\dfrac{1}{3}\times 3-2=1-2=-1$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(3;-1)$.$\quad$
  6. La fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x+4$.
    $k$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
    – Si $x=-5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times (-5)+4=2+4=6$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(-5;6)$.
    – Si $x=5$ alors $k(-5)=-\dfrac{2}{5}\times 5+4=-2+4=2$.
    La droite passe par le point de coordonnées $(5;2)$.$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, dans chacun des cas, l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que :

  1. $f(2)=3$ et $f(4)=-7$
    $\quad$
  2. $f(-1)=2$ et $f(3)=5$
    $\quad$
  3. $f(3)=0$ et $f(-1)=2$
    $\quad$
  4. $f(-2)=4$ et $f(-5)=-3$
    $\quad$
  5. $f(-40)=7$ et $f(30)=8$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(2)-f(4)}{2-4}=\dfrac{3-(-7)}{-2}=\dfrac {3+7}{-2}=-\dfrac{10}{2}=-5$.
    Ainsi $f(x)=-5x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(2)=3 &\ssi -5\times 2+b=3 \\ \ssi -10+b=3 \\ \ssi b=13\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-5x+13$.
    Vérification : $f(4)=-5\times 4+13=-20+13=-7 \checkmark$
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-1)-f(3)}{-1-3}=\dfrac{2-5}{-4}=\dfrac {-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{3}{4}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-1)=2 &\ssi \dfrac{3}{4}\times (-1)+b=2 \\ \ssi -\dfrac{3}{4}+b=2 \\ \ssi b=2+\dfrac{3}{4}\\ \ssi b=\dfrac{11}{4}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{4}$
    Vérification : $f(3)=\dfrac{3}{4}\times 3+\dfrac{11}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}=\dfrac{20}{4}=5 \checkmark$
    $\quad$
  3. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{0-2}{3+1}=\dfrac {-2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(3)=0 &\ssi -\dfrac{1}{2}\times 3+b=0 \\ \ssi -\dfrac{3}{2}+b=0 \\ \ssi b=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
    Vérification : $f(-1)=-\dfrac{1}{2}\times (-1)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \checkmark$
    $\quad$
  4. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-2)-f(-5)}{-2-(-5)}=\dfrac{4-(-3)}{-2+5}=\dfrac {4+3}{3}=\dfrac{7}{3}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{7}{3}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-2)=4 &\ssi \dfrac{7}{3}\times (-2)+b=4 \\ \ssi -\dfrac{14}{3}+b=4 \\ \ssi b=4+\dfrac{14}{3}\\ \ssi b=\dfrac{26}{3}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{7}{3}x+\dfrac{26}{3}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{7}{3}\times (-5)+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{35}{3}+\dfrac{26}{3}=-\dfrac{9}{3}=-3 \checkmark$
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction affine.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)=ax+b$.
    Donc $a=\dfrac{f(-40)-f(30)}{-40-30}=\dfrac{7-8}{-70}=\dfrac {-1}{-70}=\dfrac{1}{70}$.
    Ainsi $f(x)=\dfrac{1}{70}x+b$.
    Or :
    $\begin{align*}f(-40)=7 &\ssi \dfrac{1}{70}\times (-40)+b=7 \\ \ssi -\dfrac{4}{7}+b=7 \\ \ssi b=7+\dfrac{4}{7}\\ \ssi b=\dfrac{53}{7}\end{align*}$
    Finalement $f(x)=\dfrac{1}{70}x+\dfrac{53}{7}$
    Vérification : $f(-5)=\dfrac{1}{70}\times 30+\dfrac{53}{7}=\dfrac{3}{7}+\dfrac{53}{7}=-\dfrac{56}{7}=8 \checkmark$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Dire dans chacun des cas si le point $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=3x-5$ et $A(1;-2)$
    $f(1)=3\times 1-5=3-5=-2$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x+1$ et $A(-2;-3)$
    $f(-2)=-2\times (-2)+1=4+1=5 \neq -3$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. $f(x)=2x+4$ et $A(-1;-2)$
    $f(-1)=2\times (-1)+4=-2+4=2\neq -2$
    Donc $A$ n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}$ et $A(4;5)$
    $f(4)=\dfrac{2}{3}\times 4+\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{15}{3}=5$
    Donc $A$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$