Calcul numérique et littéral

Exercice 1

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$A=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8} \qquad B = \dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right) \qquad C = \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}} \qquad D = \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{6} $

$\quad$

Correction Exercice 1

$\begin{align} A&=\dfrac{4}{3} – \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{8}\\\\
&= \dfrac{4}{3} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{32}{24} – \dfrac{10}{24}\\\\
&=\dfrac{22}{24}\\\\
&=\dfrac{11}{12}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} B&=\dfrac{5}{18} \times \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} \right)\\\\
&= \dfrac{5}{18} \times \dfrac{11}{15}\\\\
&=\dfrac{5 \times 11}{18 \times 3 \times 5}\\\\
&=\dfrac{11}{54}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} C&= \dfrac{-\dfrac{1}{2} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{2} – \dfrac{2}{3}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}}{\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}}\\\\
&=\dfrac{-\dfrac{7}{6}}{\dfrac{5}{6}}\\\\
&=-\dfrac{7}{6} \times \dfrac{6}{5} \\\\
&=-\dfrac{7}{5}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} F&=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}}{\dfrac{6}{15}-\dfrac{20}{15}} \\\\
&=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{-\dfrac{14}{15}}\\\\
&=-\dfrac{2}{15} \times \dfrac{15}{14}\\\\
&=-\dfrac{1}{7}
\end{align}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer les fractions suivantes. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles :

$$E=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \qquad F=\dfrac{\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{5} – \dfrac{4}{3}} \qquad G = \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \qquad H= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right)$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align} E&=\dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{7}}{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}} \\\\
&= \dfrac{-\dfrac{21}{28}+\dfrac{20}{28}}{\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}} \\\\
&=\dfrac{-\dfrac{1}{28}}{\dfrac{17}{12}}\\\\
&=-\dfrac{1}{28} \times \dfrac{12}{17} \\\\
&=-\dfrac{3}{119}
\end{align}$

$\quad$

$\begin{align} G &= \dfrac{3,9 \times \left(10^{-2} \right)^2}{3 \times 10^{-5}} \\\\
&= \dfrac{3,9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} \\\\
& = \dfrac{3,9}{3} \times \dfrac{10^{-4}}{10^{-5}} \\\\
&= 1,3 \times 10 \\\\
&=13
\end{align}$

$\begin{align} H &= \left(2 + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} \right) \\\\
&= \left(\dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{12}{15} – \dfrac{10}{15} \right) \\\\
&=\dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{15} \\\\
&=\dfrac{8}{3} \times \dfrac{15}{2} \\\\
&=20
\end{align}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On donne l’expression $A = (x-3)(x+3)-2(x-3)$.

Factoriser $A$.
$\quad$
Développer et réduire $A$.
$\quad$
En choisissant l’expression $A$ la plus adaptée parmi celles trouvées aux questions 1. et 2., déterminer la valeur de $A$ pour $x=-1$ et pour $x=0$.

$\quad$

Correction Exercice 3

$\quad$
$\begin{align} A &=(x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
& = (x-3) \left[(x+3) – 2\right] \\\\
&= (x-3)(x+1)
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} A & = (x-3)(x+3)-2(x-3) \\\\
&= x^2-3^2 – 2x + 6 \\\\
&= x^2 – 9 – 2x + 6 \\\\
&= x^2-2x – 3
\end{align}$
$\quad$
Pour $x=-1$, on choisit la forme factorisée.
$A = (-1 – 3)(-1 + 1) = 0$
$\quad$
Pour $x=0$, on choisit la forme développée.
$A = 0^2-2 \times 0 – 3 = -3$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère l’expression $A = (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1)$.

Développer et réduire $A$.
$\quad$
Factoriser $A$.
$\quad$
Résoudre $A=0$.
$\quad$
Calculer $A$ pour $x=-1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$
$\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
&= 9x^2+24x+16 – (-6x^2+3x-8x+4) \\\\
&= 9x^2+24x+16+6x^2-3x+8x-4\\\\
&=15x^2+29x+12
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} A &= (3x+4)^2 – (3x+4)(-2x+1) \\\\
& = (3x+4) \left[(3x+4) – (-2x+1)\right] \\\\
&=(3x+4)(5x+3)
\end{align}$
$\quad$
On utilise l’expression factorisée pour résoudre l’équation $A=0$.
$$(3x+4)(5x+3) = 0$$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$3x+4 = 0$ ou $5x+3=3$
$ x = – \dfrac{4}{3}$ ou $x = – \dfrac{3}{5}$
L’équation possède donc deux solutions : $- \dfrac{4}{3}$ et $- \dfrac{3}{5}$
$\quad$
Si $x=-1$ en utilisant l’expression factorisée on obtient :
$$A=(3\times (-1) + 4)(5 \times (-1) + 3) = -2$$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère l’expression $A = (2x -3)^2-(2x -3)(x-2)$.

Développer et réduire $A$.
$\quad$
Factoriser $A$.
$\quad$
Résoudre l’équation $A = 0$.
$\quad$
Calculer $A$ pour $x=-2$.

$\quad$

Correction Exercice 5

$\quad$
$\begin{align} A&=(2x – 3)^2-(2x -3)(x-2) \\\\
&= (2x)^2-2\times 3\times 2x + 3^2 – \left(2x^2-4x-3x+6\right)\\\\
&=4x^2-12x+9-\left(2x^2-7x+6 \right)\\\\
&=2x^2-5x+3
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} A &= (2x -3) \left[ (2x -3) – (x-2) \right] \\\\
&=(2x -3)(x-1)
\end{align}$
$\quad$
On utilise l’expression factorisée pour résoudre $A=0$.
$$(2x -3)(x-1)=0$$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $2x -3=0 $ $\quad$ ou $\quad$ $x-1=0$
soit $2x=3$ $\qquad \quad ~~$ ou $\quad$ $ x=1$
$~~~~x=\dfrac{3}{2}$
L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
On utilise, par exemple, l’expression développée :
Si $x=-2$ alors $A = 2 \times (-2)^2 – 5\times (-2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère l’expression $J = (2 x -7)+4x^2-49$.

Factoriser $J$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
$\quad$
Développer et réduire $J$.
$\quad$
Résoudre $J=0$.
$\quad$
Calculer $J$ pour $x=3$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\quad$
$\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49\\\\
&=(2 x – 7)+ (2x)^2-7^2\\\\
&=(2 x -7) \times 1+(2 x – 7)(2 x + 7) \\\\
&=(2 x – 7)\left[1 + (2 x + 7) \right] \\\\
&=(2 x – 7)(2 x + 8)
\end{align}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} J &= (2 x -7)+4x^2-49 \\\\
&= 2 x – 7 + 4x^2 – 49 \\\\
&=4x^2 + 2 x – 56
\end{align}$
$\quad$
Pour résoudre l’équation $J=0$ on va utiliser la forme factorisée:
$$(2 x – 7)(2 x + 8) = 0$$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$2 x – 7 = 0$ ou $2 x + 8 = 0$
$x=\dfrac{7}{2}$ ou $x = -4$
$\quad$
Pour $x= 3$ on va utiliser l’expression développée :
$$J = 4 \times 3^2 + 2 \times 3 – 56 = -14$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$