Statistiques – Écart-type

2nd – Exercices corrigés

Arrondir, si nécessaire, les résultats au centième

Exercice 1

Déterminer l’écart-type de la série statistique suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline\text{Caractère}&~~6~~&~8~&~~10~~&~~11~~&~15~ \\
\hline\text{Effectif}&~~2~~&~13~&~~9~~&~~5~~&~~1~~\\
\hline\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

La moyenne de cette série statistique est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{6\times 2+8\times 13+\ldots+15\times 1}{2+13+\ldots+1}\\
&=\dfrac{276}{30} \\
&=9,2\end{align*}$

L’écart-type de cette série est :
$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\dfrac{2(6-9,2)^2+13(8-9,2)^2+1\times(15-9,2)^2}{30}} \\
&=\sqrt{\dfrac{94,8}{30}} \\
&=\sqrt{3,16} \\
&\approx 1,78\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

\medskip

Déterminer l’écart-type de la série statistique suivante:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline\text{Caractère}&~~-7~~&~2~&~~15~~&~~20~~&~25~ \\
\hline\text{Effectif}&~~14~~&~~7~~&~~14~~&~~7~~&~~8~~\\
\hline\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

La moyenne de cette série statistique est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{-7\times 14+2\times 7+\ldots+25\times 8}{14+7+\ldots+8} \\
&=\dfrac{466}{50}\\
&=9,32\end{align*}$

L’écart-type de cette série statistique est :
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{14(-7-9,32)^2+7(2-9,32)^2+\ldots+8(25-9,32)^2}{50}} \\
&=\sqrt{\dfrac{7320,88}{50}}\\
&=\sqrt{146,417~6} \\
&\approx 12,10\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

\medskip

Voici les notes obtenues à un devoir par un groupe de $20$ élèves.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Notes}&8&9&12&15&16&18\\
\hline
\textbf{Effectif}&4&8&6&4&2&1\\
\hline
\end{array}$$

Déterminer l’écart-type des notes obtenues.

$\quad$

Correction Exercice 3

La moyenne à ce devoir est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{4\times 8+8\times 9+\ldots +1\times 18}{4+8+\ldots+1} \\
&=\dfrac{286}{25}\\
&=11,44\end{align*}$

L’écart-type des notes est :
$\begin{align*} \sigma &=\sqrt{\dfrac{4(8-11,44)^2+8(9-11,44)^2+\ldots+1\times (18-11,44)^2}{25}} \\
&=\sqrt{\dfrac{232,16}{25}}\\
&=\sqrt{9,286~4}\\
&\approx 3,05\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 4

\medskip

Les températures en (°C) relevées dans $15$ villes différentes sont les suivantes
: $$\begin{array}{ccccc}
25& 28& 26& 28& 30\\
32& 25& 27& 28& 30\\
31& 32& 26& 31& 33 \end{array}$$

Déterminer l’écart-type des températures.

$\quad$

Correction Exercice 4

La température moyenne est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{25+28+\ldots +33}{15} \\
&=\dfrac{432}{15} \\
&=28,8\end{align*}$

L’écart-type des températures est :
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{(25-28,8)^2+(28-28,8)^2+\ldots+(33-28,8)^2}{15}} \\
&=\sqrt{\dfrac{100,4}{15}}\\
&\approx 2,59\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 5

\medskip

Voici les prix en euros d’un même article observés dans différents magasins.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Prix}&30&32&35&40&50\\
\hline
\textbf{Effectif}&2&1&4&2&1\\
\hline
\end{array}$$

Déterminer l’écart-type des prix.
$\quad$
Tous les magasins décident de baisser leur prix de $2$ euros. Quel est le nouvel écart-type des prix?
$\quad$

Correction Exercice 5

Le prix moyen est :
$\begin{align*} \conj{x}&=\dfrac{2\times 30+1\times 32+\ldots+1\times 50}{2+1+4+2+1} \\
&=\dfrac{362}{10}\\
&=36,2\end{align*}$
L’écart-type des températures est :
$\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{2(30-36,2)^2+1\times (32-36,2)^2+\ldots+1\times (50-36,2)^2}{10}} \\
&=\sqrt{\dfrac{319,6}{10}} \\
&=\sqrt{31,96}\\
&\approx 5,65\end{align*}$
$\quad$
Si les prix baissent de $2$ euros alors la moyenne baisse également de $2$ euros.
Le nouvel écart-type est alors :
$\begin{align*} \sigma’&=\sqrt{\dfrac{2\left(30-2-(36,2-2)\right)^2+\ldots+1\times \left(50-2-(36,2-2)\right)^2}{10}} \\
&=\sqrt{\dfrac{2(30-36,2)^2+1\times (32-36,2)^2+\ldots+1\times (50-36,2)^2}{10}} \\
&=\sigma\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$