Coordonnées et milieux

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des repères $(O;I,J)$, placez les points suivants :

$$A(1;2) \quad B(-2;1) \quad C(-2;3) \quad D(-1,-2)$$

Correction Exercice 1

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$\quad$

Exercice 2

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

Dans chacun des cas, déterminez les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont fournies.

$A(2;3)$ et $B(5;-1)$
$\quad$
$C(-1;-2)$ et $D(-4;3)$
$\quad$
$E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4}\right)$ et $F\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{5}\right)$
$\quad$
$I$ et $J$
$\quad$

Correction Exercice 2

On va utiliser la propriété suivante :

Propriété 2 : On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d’un repère $(O;I,J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$.

Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.

On appelle $M_1$ le milieu de $[AB]$.
$\begin{cases} x_{M_1} = \dfrac{2+5}{2} = \dfrac{7}{2} \\\\y_{M_1} = \dfrac{3+(-1)}{2} = 1\end{cases}$
Donc $M_1\left(\dfrac{7}{2};1\right)$.
$\quad$
On appelle $M_2$ le milieu de $[CD]$.
$\begin{cases} x_{M_2} = \dfrac{-1+(-4)}{2} = -\dfrac{5}{2} \\\\y_{M_2} = \dfrac{-2+3}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
Donc $M_2\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
On appelle $M_3$ le milieu de $[EF]$.
$\begin{cases} x_{M_3} = \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{2} = \dfrac{\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}}{2} =\dfrac{7}{12}\\\\y_{M_1} = \dfrac{\dfrac{5}{4}+\left(-\dfrac{2}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{25}{20}-\dfrac{8}{20}}{2}=\dfrac{17}{40}\end{cases}$
Donc $M_3\left(\dfrac{7}{12};\dfrac{17}{40}\right)$.
On appelle $M_4$ le milieu de $[IJ]$.
$\begin{cases} x_{M_4} = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_{M_1} = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}$
Donc $M_4\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

On considère les points $A(-2;3)$ et $B(1;-4)$.

Déterminez par le calcul les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$.
$\quad$
Déterminez par le calcul les coordonnées du point $S$ symétrique du point $A$ par rapport au point $B$.
$\quad$

Correction Exercice 3

On a $x_K=\dfrac{-2+1}{2} = -\dfrac{1}{2}$ et $y_K=\dfrac{3+(-4)}{2} = -\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent $K\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
$S\left(x_S;y_S\right)$ est le symétrique de $A$ par rapport au point $B$. Cela signifie donc que $B$ est le milieu de $[AS]$.
Par conséquent $x_B=\dfrac{x_A+x_S}{2}$ et $y_B=\dfrac{y_A+y_S}{2}$
Donc $1=\dfrac{-2+x_S}{2}$ soit $2=-2+x_S$ d’où $x_S=4$
et $-4=\dfrac{3+y_S}{2}$ soit $-8=3+y_S$ d’où $y_S=-11$.
Finalement $S(4;-11)$.

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$\quad$

Exercice 4

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

On considère les points $A(5;2)$ et $B(-3;7)$.

Déterminez les coordonnées du point $C$ tel que $B$ soit le milieu de $[AC]$.
$\quad$

Correction Exercice 4

$B$ est le milieu de $[AC]$ par conséquent $x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ et $y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}$.
Soit $-3=\dfrac{5+x_C}{2}$ et $7=\dfrac{2+y_C}{2}$
D’où $-6=5+x_C$ et $14=2+y_C$
Donc $x_C=-11$ et $y_C=12$

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$\quad$

Exercice 5

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

On considère les points $E(6;-1)$, $F(-4;3)$ et $G(1;5)$.

Déterminez les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 5

$EFGH$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu.
On appelle $M$ le milieu de la diagonale $[EG]$.

Ainsi $x_M = \dfrac{6+1}{2} = \dfrac{7}{2}$ et $y_M=\dfrac{-1+5}{2} = 2$.

$M$ est aussi le milieu de $[FH]$. Par conséquent :

$$\begin{align*} \begin{cases} x_M=\dfrac{x_F+x_H}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_F+y_H}{2}\end{cases} &\ssi \begin{cases} \dfrac{7}{2}=\dfrac{-4+x_H}{2}\\\\2=\dfrac{3+y_H}{2}\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} 7=-4+x_H \\\\4=3+y_H\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} x_H=11\\\\y_H=1\end{cases}
\end{align*}$$

Ainsi $H(11;1)$

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$\quad$

Exercice 6

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

On considère les points $A(3;4)$, $B(6;6)$ et $C(4;-1)$.

Calculer les coordonnées de $D$ et $E$ tels que $ABDE$ soit un parallélogramme de centre $C$.
$\quad$

Correction Exercice 6

$C$ est le milieu des deux diagonales $[AD]$ et $[BE]$

Pour $[AD]$

$\begin{align*} \begin{cases} x_C=\dfrac{x_A+x_D}{2}\\\\y_C=\dfrac{y_A+y_D}{2}\end{cases} &\ssi
\begin{cases} 4=\dfrac{3+x_D}{2}\\\\-1=\dfrac{4+y_D}{2}\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} 8 = 3+x_D\\\\-2=4+y_D\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x_D=5\\\\y_D=-6\end{cases}
\end{align*}$
Donc $D(5;-6)$.

$\quad$

Pour $[BE]$

$\begin{align*} \begin{cases} x_C=\dfrac{x_B+x_E}{2}\\\\y_C=\dfrac{y_B+y_E}{2}\end{cases} &\ssi
\begin{cases} 4=\dfrac{6+x_E}{2}\\\\-1=\dfrac{6+y_E}{2}\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} 8 = 6+x_E\\\\-2=6+y_E\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x_E=2\\\\y_E=-8\end{cases}
\end{align*}$
Donc $E(2,-8)$.

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$\quad$

Exercice 7

On suppose le plan muni d’un repère $(O;I,J)$.

On considère les points $A(-1;2,5)$, $B(-4;-1,5)$ et $C(2;-2)$.

Déterminez les coordonnées du milieu $D$ de $[AB]$.
$\quad$
La droite parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe $[AC]$ en $E$.
Déterminez les coordonnées de $E$.
$\quad$

Correction Exercice 7

$D$ est le milieu de $[AB]$. Par conséquent :
$$\begin{cases} x_D=\dfrac{-1+(-4)}{2} = -\dfrac{5}{2}\\\\y_D=\dfrac{2,5+(-1,5)}{2} = \dfrac{1}{2}\end{cases}$$
Donc $D\left(-\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
$\quad$
Dans le triangle $ABC$, $D$ est le milieu de $[AB]$, $E$ appartient à $[AC]$ et $(DE)$ est parallèle à $(BC)$.
Par conséquent, d’après le théorème des milieux, $E$ est le milieu de $[AC]$.
Ainsi :
$$\begin{cases} x_E=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\\\\y_E=\dfrac{2,5+(-2)}{2} = \dfrac{1}{4}\end{cases}$$
Donc $E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$.

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