2nd – Exercices – Encadrements

Encadrements

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

Donner un encadrement des nombres suivants :

  1. $\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près
    $\quad$
  2. $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$
  3. $-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près
    $\quad$
  4. $-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. Un encadrement de $\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près est $[0,333~3;0,333~4]$.
    $\quad$
  2. Un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près est $[1,414;1,415]$.
    $\quad$
  3. Un encadrement de $-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près est $[-2,65;-2,64]$.
    $\quad$
  4. Un encadrement de $-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près est $[-0,455,-0,454]$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas déterminer l’amplitude de l’encadrement proposé :

  1. $-2<x<7$
    $\quad$
  2. $-1,23\pp x \pp -1,17$
    $\quad$
  3. $-1,576 < x<2,435$
    $\quad$
  4. $2,45<x<2,58$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. L’amplitude de l’encadrement $-2<x<7$ est $7-(-2)=9$.
    $\quad$
  2. L’amplitude de l’encadrement $-1,23\pp x \pp -1,17$ est $-1,17-(-1,23)=0,06$.
    $\quad$
  3. L’amplitude de l’encadrement $-1,576 < x<2,435$ est $2,435-(-1,576)=4,011$.
    $\quad$
  4. L’amplitude de l’encadrement $2,45<x<2,58$ est $2,58-2,45=0,07$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

 La calculatrice est autorisée pour cet exercice.

On inscrit dans un carré $ABCD$ un cercle d’aire $3$ cm$^2$

Déterminer un encadrement au dixième de millimètre de la longueur de la diagonale $[AC]$.

$\quad$

Correction Exercice 3

L’aire du cercle est $\mathscr{A}=2\pi r^2$. Par conséquent $\pi r^2=3 \ssi r^2=\dfrac{3}{\pi}$.
Or $AB=2r$ par conséquent $AB^2=4r^2$
On a donc $AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=4\times \dfrac{3}{\pi}=\dfrac{12}{\pi}$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2=2\times \dfrac{12}{\pi}=\dfrac{24}{\pi}$
Donc $AC=\sqrt{\dfrac{24}{\pi}}$

À l’aide de la calculatrice, on obtient $2,76<AC<2,77$.

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$\quad$

Exercice 4

On appelle développement décimal d’un nombre sa décomposition selon les puissances de $10$.

On a par exemple : $13,254=1\times 10^1+3\times 10^0+2\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}+4\times 10^{-3}$

Déterminer le développement décimal des nombres suivants :
$$147,23\qquad \dfrac{15}{8} \qquad -0,002~4$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$147,23=1\times 10^2+4\times 10^1+7\times 10^0+2\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}$

$\dfrac{15}{8}=1,875=1\times 10^0+8\times 10^{-1}+7\times 10^{-2}+5\times 10^{-3}$

$-0,002~4=-2\times 10^{-3}-4\times 10^{-4}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Effectuer à la main la division décimale de $1$ par $7$ jusqu’à $7$ chiffres après la virgule.

En déduire la valeur du $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

on a $\dfrac{1}{7}\approx 0,142~857~1$
Dans la division décimale de $1$ par $7$ on va donc retrouver les mêmes chiffres toutes les $6$ décimales.
Or $2~019=6\times 336+3$
Le $3^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est $2$ donc le $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est également un $2$.

$\quad$

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$\quad$