2nd – Exercices – Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}} & \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}& \phantom{\dfrac{vrai}{1}}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&&&&&\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{\dfrac{1}{1}}&\N& \Z\ & \D& \Q& \R\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}3\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}& \text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{18}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}2\times 10^{-2}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{22}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\dfrac{28}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{5}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\dfrac{\pi}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}\sqrt{1,44}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}-\sqrt{64}\phantom{\dfrac{1^1}{1_1}}&\text{faux}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\
\hline
\end{array}$$
$2\times 10^{-2}=0,02$

$\dfrac{22}{5}=4,4$

$-\dfrac{28}{4}=-7$

$\sqrt{1,44}=1,2$

$-\sqrt{64}=-8$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.

$$\begin{array}{lllll}
\textbf{a. } \dfrac{125}{5}\phantom{123}&\textbf{b. } \dfrac{7}{5}\phantom{123}&\textbf{c. } \dfrac{21}{12}\phantom{123}&\textbf{d. } -\dfrac{35}{7}\phantom{123} &\textbf{e. } \dfrac{14}{21} \phantom{123}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

a. $\dfrac{125}{5}=25 \in \N$

b. $\dfrac{7}{5}=1,4\in \D$

c. $\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}=1,75\in \D$

d. $-\dfrac{35}{7}=-5\in \Z$

e. $\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}\in \Q$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
    Faux : $\pi$ est un nombre réel qui n’est pas rationnel.
    En revanche, tout nombre rationnel est un nombre réel.
    $\quad$
  2. $0,5$ est un nombre rationnel.
    Vrai : $0,5$ est un nombre décimal et $\D$ est inclus dans $\Q$.
    On pouvait également dire que $0,5=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
    Faux : $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel dont le carré vaut $2$. Or $2$ est un entier naturel donc un nombre rationnel.
    $\quad$
  4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{1}{3}$ est un nombre réel et n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
    Faux : $\dfrac{2}{3}$ est le quotient de deux nombres décimaux non nuls et pourtant ce n’est pas un nombre décimal.
    $\quad$
  6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
    Vrai : L’inverse de $\dfrac{1}{2}$ est $2$ qui est un nombre entier.
    $\quad$
  7.  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
    Vrai : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$ est un nombre entier.
    On pouvait également choisir deux nombres entiers (puisqu’ils sont également rationnels).
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4} \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4} \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5} \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5} \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$$\begin{array}{cccc}
\dfrac{3}{4}=0,75 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{2}=0,5 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{4}=0,25 \phantom{aaa}&\dfrac{9}{4}=2,25 \phantom{aaa} \\\\
\dfrac{3}{5}=0,6 \phantom{aaa}&\dfrac{1}{5}=0,2 \phantom{aaa}&\dfrac{2}{5}=0,4 \phantom{aaa}&\dfrac{13}{5}=2,6 \phantom{aaa}
\end{array}$$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Montrer que $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.

$\quad$

Correction Exercice 5

Supposons que $\dfrac{1}{7}$ soit un nombre décimal.
Il existe donc un entier relatif $a$ non nul et un entier naturel $n$ tels que $\dfrac{1}{7}=\dfrac{a}{10^n}$.

En utilisant les produits en croix on obtient $10^n=7a$.

$7a$ est un multiple de $7$. Cela signifie donc que $10^n$ est également un multiple de $7$.
Par conséquent $7$ est aussi un multiple de $7$ ce qui est absurde puisque les seuls diviseurs positifs de $10$ sont $1$, $2$, $5$ et $10$.

Par conséquent $\dfrac{1}{7}$ n’est pas un nombre décimal.
$\quad$

[collapse]

$\quad$