1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
   $\begin{align*} 2\times (-1)+4\times 2-5&=-2+8-5 \\
   &=8-7\\
   &=1\\
   &\neq 0\end{align*}$
   Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $d$.
   $\quad$
2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
   $\begin{align*} 3\times (-2)-2\times (-1)+4&=-6+2+4 \\
   &=-6+6\\
   &=0\end{align*}$
   Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
   $\quad$
3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
   $\begin{align*} -4+3\times 1+1&=-4+3+1 \\
   &=-4+4\\
   &=0\end{align*}$
   Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
   $\quad$
4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
   $\begin{align*} 6\times 2-12-2&=12-12-2\\
   &=-2\\
   &\neq 0\end{align*}$
   Le point $A$ n’appartient pas à la droite $d$.
   $\quad$

1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
   Si $y=0$ alors $2x+0-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=0,5$ : le point $A(0,5;0)$ appartient à la droite $d_1$
   Si $x=2$ alors $4+3y-1=0 \ssi 3y=-3 \ssi y=-1$ : le point $B(2;-1)$ appartient à la droite $d_1$.
   $\quad$
2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
   Si $x=0$ alors $0+y-2=0 \ssi y=2$ : le point $C(0;2)$ appartient à la droite $d_2$.
   Si $y=-4$ alors $-3x-4-2=0\ssi -3x=6 \ssi x=-2$ : le point $D(-2;-4)$ appartient à la droite $d_2$.
   $\quad$
3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
   Si $x=0$ alors $0+5y=0 \ssi y=0$ : le point $E(0;0)$ appartient à la droite $d_3$.
   Si $y=2$ alors $2x+10=0 \ssi 2x=-10 \ssi x=-5$ : le point $F(-5;2)$ appartient à la droite $d_3$.
   $\quad$
4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
   Si $x=0$ alors $0-y-4=0 \ssi y=-4$ : le point $G(0;-4)$ appartient à la droite $d_4$
   Si $x=5$ alors $3-y-4=0 \ssi y=-1$ : le point $H(5;-1)$ appartient à la droite $d_4$.
   $\quad$

$\quad$

On utilise la propriété qui dit qu’un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
   Un vecteur directeur est $\vec{u}(5;3)$.
   $\quad$
2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
   Un vecteur directeur est $\vec{u}(-9;-7)$.
   $\quad$
3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
   Un vecteur directeur est $\vec{u}(-3;4)$.
   $\quad$
4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
   Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(2;\dfrac{3}{4}\right)$.
   On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=4\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(8;3)$.
   $\quad$
5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
   Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(-\dfrac{2}{3};2\right)$.
   On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=3\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(-2;6)$.
   $\quad$

Il existe au moins deux méthodes différentes pour répondre à ce type de questions. On va utiliser, de manière alternée, chacune d’entre elles ici.

1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $5x-4y+c=0$
   Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite donc :
   $5\times (-2)-4\times 3+c=0 \ssi -10-12+c=0 \ssi c=22$.
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $5x-4y+22=0$.
   $\quad$
2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
   On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
   $\vec{AM}(x-1;y+4)$
   $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
   $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
   $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
   $\ssi 3(x-1)-(-2)(y+4)=0$
   $\ssi 3x-3+2y+8=0$
   $\ssi 3x+2y+5=0$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+2y+5=0$
   $\quad$
3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4x-7y+c=0$
   Le point $A(-3;-1)$ appartient à cette droite donc :
   $-4\times (-3)-7\times (-1)+c=0 \ssi 12+7+c=0 \ssi c=-19$.
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4x-7y-19=0$.
   $\quad$
4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
   On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
   $\vec{AM}(x-2;y)$
   $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
   $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
   $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
   $\ssi -8(x-2)-(-3)(y)=0$
   $\ssi -8x+16+3y=0$
   $\ssi -8x+3y+16=0$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-8x+3y+16=0$
   $\quad$
5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4y+c=0$
   Le point $A(3;2)$ appartient à cette droite donc :
   $-4\times 2+c=0 \ssi -8+c=0 \ssi c=8$.
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4y+8=0$.
   $\quad$
   Remarque : Une équation réduite de cette droite est $y=2$. La droite est par conséquent à l’axe des abscisses.
   $\quad$
6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
   On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
   $\vec{AM}(x+4;y-1)$
   $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
   $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
   $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
   $\ssi 3(x+4)-0(y-1)=0$
   $\ssi 3x+12=0$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+12=0$
   $\quad$
   Remarque : Une équation réduite de cette droite est $x=-4$. La droite est par conséquent à l’axe des ordonnées.
   $\quad$

On va utiliser les deux mêmes méthodes que dans l’exercice précédent.

1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
   On a $\vect{AB}(-5;-3)$.
   Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$.
   Le point $A(4;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
   Ainsi $-3\times 4+5\times 5+c=0 \ssi -12+25+c=0 \ssi c=-13$
   Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $-3x+5y-13=0$.
   $\quad$
2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
   On a $\vect{AB}(9;-2)$.
   On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
   $\vec{AM}(x+2;y-3)$
   $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
   $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
   $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
   $\ssi -2(x+2)-9(y-3)=0$
   $\ssi -2x+4-9y+27=0$
   $\ssi -2x-9y+23=0$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-2x-9y+23=0$
   $\quad$
3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
   On a $\vect{AB}(3;6)$.
   Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
   Le point $A(0;-2)$ appartient à la droite $(AB)$.
   Ainsi $6\times 0-3\times (-2)+c=0 \ssi 6+c=0 \ssi c=-6$
   Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $6x-3y-6=0$.
   $\quad$
   Remarque : En divisant les deux membres de l’équation par $3$ on obtient l’équation $2x-y-2=0$.
   $\quad$
4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
   On a $\vect{AB}(9;1)$.
   On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
   $\vec{AM}(x+6;y+1)$
   $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
   $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
   $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
   $\ssi (x+6)-9(y+1)=0$
   $\ssi x+6-9y-9=0$
   $\ssi x-9y-3=0$
   Une équation cartésienne de la droite $d$ est $x-9y-3=0$
   $\quad$