2nd – Exercices – Equations cartésiennes

Équations cartésiennes de droites

2nd – Exercices corrigés

Dans tous les exercices le plan est muni d’un repère $\left(O;I,J\right)$.

Exercice 1

Dans chacun des cas, dire si le point $A$ appartient à la droite $d$.

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Une équation cartésienne de $d$ est $2x+4y-5=0$ et $A(-1;2)$.
    $\begin{align*} 2\times (-1)+4\times 2-5&=-2+8-5 \\
    &=8-7\\
    &=1\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $d$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de $d$ est $3x-2y+4=0$ et $A(-2;-1)$.
    $\begin{align*} 3\times (-2)-2\times (-1)+4&=-6+2+4 \\
    &=-6+6\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne de $d$ est $-x+3y+1=0$ et $A(4;1)$.
    $\begin{align*} -4+3\times 1+1&=-4+3+1 \\
    &=-4+4\\
    &=0\end{align*}$
    Le point $A$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne de $d$ est $6x-y-2=0$ et $A(2;12)$.
    $\begin{align*} 6\times 2-12-2&=12-12-2\\
    &=-2\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $A$ n’appartient pas à la droite $d$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Représenter, en justifiant, chacune des droites suivantes :

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x+3y-1=0$.
    Si $y=0$ alors $2x+0-1=0 \ssi 2x=1 \ssi x=0,5$ : le point $A(0,5;0)$ appartient à la droite $d_1$
    Si $x=2$ alors $4+3y-1=0 \ssi 3y=-3 \ssi y=-1$ : le point $B(2;-1)$ appartient à la droite $d_1$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-3x+y-2=0$.
    Si $x=0$ alors $0+y-2=0 \ssi y=2$ : le point $C(0;2)$ appartient à la droite $d_2$.
    Si $y=-4$ alors $-3x-4-2=0\ssi -3x=6 \ssi x=-2$ : le point $D(-2;-4)$ appartient à la droite $d_2$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $2x+5y=0$.
    Si $x=0$ alors $0+5y=0 \ssi y=0$ : le point $E(0;0)$ appartient à la droite $d_3$.
    Si $y=2$ alors $2x+10=0 \ssi 2x=-10 \ssi x=-5$ : le point $F(-5;2)$ appartient à la droite $d_3$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{5}x-y-4=0$.
    Si $x=0$ alors $0-y-4=0 \ssi y=-4$ : le point $G(0;-4)$ appartient à la droite $d_4$
    Si $x=5$ alors $3-y-4=0 \ssi y=-1$ : le point $H(5;-1)$ appartient à la droite $d_4$.
    $\quad$


$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer un vecteur directeur à coordonnées entières pour chacune de ces droites.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

On utilise la propriété qui dit qu’un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

  1. $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-5y+1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(5;3)$.
    $\quad$
  2. $d_2$ dont une équation cartésienne est $-7x+9y+4=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-9;-7)$.
    $\quad$
  3. $d_3$ dont une équation cartésienne est $4x+3y-2=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}(-3;4)$.
    $\quad$
  4. $d_4$ dont une équation cartésienne est $\dfrac{3}{4}x-2y-1=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(2;\dfrac{3}{4}\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=4\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(8;3)$.
    $\quad$
  5. $d_5$ dont une équation cartésienne est $2x+\dfrac{2}{3}y-5=0$.
    Un vecteur directeur est $\vec{u}\left(-\dfrac{2}{3};2\right)$.
    On souhaite que les coordonnées soient entières. Un vecteur directeur est donc $\vec{v}=3\vec{u}$. Il a pour coordonnées $(-2;6)$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    $\quad$
Correction Exercice 4

Il existe au moins deux méthodes différentes pour répondre à ce type de questions. On va utiliser, de manière alternée, chacune d’entre elles ici.

  1. $A(-2;3)$ et $\vec{u}(4;5)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $5x-4y+c=0$
    Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite donc :
    $5\times (-2)-4\times 3+c=0 \ssi -10-12+c=0 \ssi c=22$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $5x-4y+22=0$.
    $\quad$
  2. $A(1;-4)$ et $\vec{u}(-2;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-1;y+4)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x-1)-(-2)(y+4)=0$
    $\ssi 3x-3+2y+8=0$
    $\ssi 3x+2y+5=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+2y+5=0$
    $\quad$
  3. $A(-3;-1)$ et $\vec{u}(7;-4)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4x-7y+c=0$
    Le point $A(-3;-1)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times (-3)-7\times (-1)+c=0 \ssi 12+7+c=0 \ssi c=-19$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4x-7y-19=0$.
    $\quad$
  4. $A(2;0)$ et $\vec{u}(-3;-8)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x-2;y)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi -8(x-2)-(-3)(y)=0$
    $\ssi -8x+16+3y=0$
    $\ssi -8x+3y+16=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-8x+3y+16=0$
    $\quad$
  5. $A(3;2)$ et $\vec{u}(4;0)$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc de la forme $-4y+c=0$
    Le point $A(3;2)$ appartient à cette droite donc :
    $-4\times 2+c=0 \ssi -8+c=0 \ssi c=8$.
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est par conséquent $-4y+8=0$.
    $\quad$
  6. $A(-4;1)$ et $\vec{u}(0;3)$
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+4;y-1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $d$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0$
    $\ssi 3(x+4)-0(y-1)=0$
    $\ssi 3x+12=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $3x+12=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer, dans chacun des cas, une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    $\quad$
Correction Exercice 5

On va utiliser les deux mêmes méthodes que dans l’exercice précédent.

  1. $A(4;5)$ et $B(-1;2)$
    On a $\vect{AB}(-5;-3)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$.
    Le point $A(4;5)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $-3\times 4+5\times 5+c=0 \ssi -12+25+c=0 \ssi c=-13$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $-3x+5y-13=0$.
    $\quad$
  2. $A(-2;3)$ et $B(7;1)$
    On a $\vect{AB}(9;-2)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+2;y-3)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi -2(x+2)-9(y-3)=0$
    $\ssi -2x+4-9y+27=0$
    $\ssi -2x-9y+23=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $-2x-9y+23=0$
    $\quad$
  3. $A(0;-2)$ et $B(3;4)$
    On a $\vect{AB}(3;6)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $6x-3y+c=0$.
    Le point $A(0;-2)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Ainsi $6\times 0-3\times (-2)+c=0 \ssi 6+c=0 \ssi c=-6$
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est par conséquent $6x-3y-6=0$.
    $\quad$
    Remarque : En divisant les deux membres de l’équation par $3$ on obtient l’équation $2x-y-2=0$.
    $\quad$
  4. $A(-6;-1)$ et $B(3;0)$
    On a $\vect{AB}(9;1)$.
    On appelle $M(x;y)$ un point du plan.
    $\vec{AM}(x+6;y+1)$
    $\phantom{\ssi}$ Le point $M$ appartient à la droite $(AB)$
    $\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
    $\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
    $\ssi (x+6)-9(y+1)=0$
    $\ssi x+6-9y-9=0$
    $\ssi x-9y-3=0$
    Une équation cartésienne de la droite $d$ est $x-9y-3=0$
    $\quad$

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$\quad$