2nd – Exercices – Équations

Équations

Exercice 1    forme $\boldsymbol{ax=b}$

Résoudre les équations suivantes :

  1. $3x=9$
    $\quad$
  2. $2x=3$
    $\quad$
  3. $4x=-16$
    $\quad$
  4. $5x=0$
    $\quad$
  5. $0,5x=1$
    $\quad$
  6. $0,2x=0,3$
    $\quad$
  7. $-3x=8$
    $\quad$
  8. $-2x=-5$
    $\quad$
  9. $\dfrac{1}{3}x=2$
    $\quad$
  10. $\dfrac{2}{7}x=4$
    $\quad$
  11. $\dfrac{2}{5}x=\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
  12. $-\dfrac{1}{4}x=\dfrac{3}{7}$
    $\quad$
  13. $-\dfrac{4}{9}x=-\dfrac{6}{11}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $3x=9$
    $\ssi x=\dfrac{9}{3}$ $\quad$ on divise les deux membres de l’équation par $3$
    $\ssi x=3$
    La solution de l’équation est $3$.
    $\quad$
  2. $2x=3$
    $\ssi x=\dfrac{3}{2}$ $\quad$ on divise les deux membres de l’équation par $2$
    La solution de l’équation est $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  3. $4x=-16$
    $\ssi x=-\dfrac{16}{4}$ $\quad$ on divise les deux membres de l’équation par $4$
    $\ssi x=-4$
    La solution de l’équation est $-4$.
    $\quad$
  4. $5x=0$
    $\ssi x=\dfrac{0}{5}$
    $\ssi x=0$
    La solution de l’équation est $0$.
    $\quad$
  5. $0,5x=1$
    $\ssi x=\dfrac{1}{0,5}$
    $\ssi x=2$
    La solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
  6. $0,2x=0,3$
    $\ssi x=\dfrac{0,3}{0,2}$
    $\ssi x=\dfrac{3}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  7. $-3x=8$
    $\ssi x=-\dfrac{8}{3}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  8. $-2x=-5$
    $\ssi x=\dfrac{-5}{-2}$
    $\ssi x=\dfrac{5}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{5}{2}$.
    $\quad$
  9. $\dfrac{1}{3}x=2$
    $\ssi x=\dfrac{2}{\dfrac{1}{3}}$ $\quad$ on divise les deux membres de l’équation par $\dfrac{1}{3}$
    $\ssi x=2\times 3$
    $\ssi x=6$
    La solution de l’équation est $6$.
    Remarque : diviser par $\dfrac{1}{3}$ revient à multiplier par $3$.
    $\quad$
  10. $\dfrac{2}{7}x=4$
    $\ssi x=\dfrac{4}{\dfrac{2}{7}}$ $\quad$ on divise les deux membres de l’équation par $\dfrac{2}{7}$
    $\ssi x=4\times \dfrac{7}{2}$
    $\ssi x=\dfrac{28}{2}$
    $\ssi x=14$
    La solution de l’équation est $14$.
    Remarque : diviser par $\dfrac{2}{7}$ revient à multiplier par $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  11. $\dfrac{2}{5}x=\dfrac{3}{4}$
    $\ssi x=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{5}{2}$
    $\ssi x=\dfrac{15}{8}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{15}{8}$.
    $\quad$
  12. $-\dfrac{1}{4}x=\dfrac{3}{7}$
    $\ssi x=\dfrac{3}{7}\times (-4) $
    $\ssi x=-\dfrac{12}{7}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{12}{7}$.
    $\quad$
  13. $-\dfrac{4}{9}x=-\dfrac{6}{11}$
    $\ssi \dfrac{4}{9}x=\dfrac{6}{11}$ $\quad$ on multiplie les deux membres de l’équation par $-1$
    $\ssi x=\dfrac{6}{11}\times \dfrac{9}{4}$
    $\ssi x=\dfrac{2\times 3\times 3^2}{11\times 2^2}$
    $\ssi x=\dfrac{3^3}{11\times 2}$
    $\ssi x=\dfrac{27}{22}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{27}{22}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2    forme $\boldsymbol{ax+b=c}$

Résoudre les équations suivantes :

  1. $2x+3=4$
    $\quad$
  2. $3x-5=6$
    $\quad$
  3. $4x+1=-2$
    $\quad$
  4. $2x-4=-3$
    $\quad$
  5. $5x+4=2$
    $\quad$
  6. $-2x+4=3$
    $\quad$
  7. $-7x-5=8$
    $\quad$
  8. $\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
  9. $-\dfrac{3}{7}x-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $2x+3=4$
    $\ssi 2x=4-3$ $\quad$ on ajoute $-3$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi 2x=1$
    $\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  2. $3x-5=6$
    $\ssi 3x=6+5$ $\quad$ on ajoute $5$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi 3x=11$
    $\ssi x=\dfrac{11}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{11}{3}$
    $\quad$
  3. $4x+1=-2$
    $\ssi 4x=-2-1$
    $\ssi 4x=-3$
    $\ssi x=-\dfrac{3}{4}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  4. $2x-4=-3$
    $\ssi 2x=-3+4$
    $\ssi 2x=1$
    $\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  5. $5x+4=2$
    $\ssi 5x=2-4$
    $\ssi 5x=-2$
    $\ssi x=-\dfrac{2}{5}$
    La solution de l’exercice est $-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  6. $-2x+4=3$
    $\ssi -2x=3-4$
    $\ssi -2x=-1$
    $\ssi 2x=1$
    $\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  7. $-7x-5=8$
    $\ssi -7x=8+5$
    $\ssi -7x=13$
    $\ssi x=-\dfrac{13}{7}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{13}{7}$.
    $\quad$
  8. $\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{4}$
    $\ssi \dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{3}$ $\quad$ on ajoute $-\dfrac{1}{3}$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi \dfrac{1}{2}x=\dfrac{15}{12}-\dfrac{4}{12}$ $\quad$ on met au même dénominateur pour ajouter les fractions
    $\ssi \dfrac{1}{2}x=\dfrac{11}{12}$
    $\ssi x=\dfrac{11}{12} \times 2$
    $\ssi x=\dfrac{11}{6}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{11}{6}$.
    $\quad$
  9. $-\dfrac{3}{7}x-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -\dfrac{3}{7}x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}$ $\quad$ on ajoute $\dfrac{2}{5}$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi -\dfrac{3}{7}x=\dfrac{5}{15}+\dfrac{6}{15}$
    $\ssi -\dfrac{3}{7}x=\dfrac{11}{15}$
    $\ssi x=-\dfrac{11}{15}\times \dfrac{7}{3}$
    $\ssi x=-\dfrac{77}{45}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{77}{45}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3    forme $\boldsymbol{ax+b=cx+d}$

Résoudre les équations suivantes :

  1. $2x+3=5x+1$
    $\quad$
  2. $4x-1=3x+4$
    $\quad$
  3. $3x-5=7x-6$
    $\quad$
  4. $-2x+2=3x-6$
    $\quad$
  5. $-4x+3=-7x-1$
    $\quad$
  6. $\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{5}=3x-4$
    $\quad$
  7. $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{5}$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $2x+3=5x+1$
    $\ssi 2x+3-5x=1$ $\quad$ on ajoute $-5x$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi -3x+3=1$
    $\ssi -3x=1-3$ $\quad$ on ajoute $-3$ aux deux membres de l’équation
    $\ssi -3x=-2$
    $\ssi x=\dfrac{2}{3}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{2}{3}$.
    Remarque : On pouvait également ajouter $-2x$ aux deux membres de l’équation.
    $\quad$
  2. $4x-1=3x+4$
    $\ssi 4x-1-3x=4$
    $\ssi x-1=4$
    $\ssi x=4+1$
    $\ssi x=5$
    La solution de l’équation est $5$.
    $\quad$
  3. $3x-5=7x-6$
    $\ssi 3x-5-7x=-6$
    $\ssi -4x-5=-6$
    $\ssi -4x=-6+5$
    $\ssi -4x=-1$
    $\ssi x=\dfrac{1}{4}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. $-2x+2=3x-6$
    $\ssi -2x+2-3x=-6$
    $\ssi -5x+2=-6$
    $\ssi -5x=-6-2$
    $\ssi -5x=-8$
    $\ssi x=\dfrac{8}{5}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{8}{5}$.
    $\quad$
  5. $-4x+3=-7x-1$
    $\ssi -4x+3+7x=-1$
    $\ssi 3x+3=-1$
    $\ssi 3x=-1-3$
    $\ssi 3x=-4$
    $\ssi x=-\dfrac{4}{3}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{4}{3}$.
    $\quad$
  6. $\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{5}=3x-4$
    $\ssi \dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{5}-3x=-4$
    $\ssi \dfrac{1}{3}x-\dfrac{9}{3}x-\dfrac{2}{5}=-4$
    $\ssi -\dfrac{8}{3}x-\dfrac{2}{5}=-4$
    $\ssi -\dfrac{8}{3}x=-4+\dfrac{2}{5}$
    $\ssi -\dfrac{8}{3}x=-\dfrac{20}{5}+\dfrac{2}{5}$
    $\ssi -\dfrac{8}{3}x=-\dfrac{18}{5}$
    $\ssi x=\dfrac{18}{5}\times \dfrac{3}{8} $
    $\ssi x=\dfrac{27}{20}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{27}{20}$
    $\quad$
  7. $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{5}$
    $\ssi -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi -\dfrac{2}{4}x+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi -\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}$
    $\ssi -\dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -\dfrac{1}{4}x=\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}$
    $\ssi -\dfrac{1}{4}x=-\dfrac{2}{15}$
    $\ssi x=\dfrac{2}{15}\times 4$
    $\ssi x=\dfrac{8}{15}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{8}{15}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4    forme $\boldsymbol{\dfrac{ax+b}{cx+d}=e}$

Résoudre les équations suivantes :

  1. $\dfrac{1}{x+4}=7$
    $\quad$
  2. $\dfrac{x+1}{x+3}=4$
    $\quad$
  3. $\dfrac{-x+5}{2x+1}=3$
    $\quad$
  4. $\dfrac{2x+5}{3x+1}=2$
    $\quad$
  5. $\dfrac{5x-2}{-2x+4}=-3$
    $\quad$
  6. $\dfrac{-2x+1}{3x-5}=-1$
    $\quad$
Correction Exercice 4

On utilise la propriété suivante :

deux fractions sont égales si, et seulement si, leurs produits en croix sont égaux et leur dénominateur sont non nuls.

  1. $\dfrac{1}{x+4}=7$
    $\ssi 1=7(x+4)$ et $x+4\neq 0$
    $\ssi 1=7x+28$  et $x\neq -4$
    $\ssi 1-28=7x$ et $x\neq -4$
    $\ssi 7x=-27$ et $x\neq -4$
    $\ssi x=-\dfrac{27}{7}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{27}{7}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{x+1}{x+3}=4$
    $\ssi x+1=4(x+3)$ et $x+3\neq 0$
    $\ssi x+1=4x+12$ et $x\neq -3$
    $\ssi x+1-4x=12$ et $x\neq -3$
    $\ssi -3x+1=12$ et $x\neq -3$
    $\ssi -3x=12-1$ et $x\neq -3$
    $\ssi -3x=11$ et $x\neq -3$
    $\ssi x=-\dfrac{11}{3}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{11}{3}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{-x+5}{2x+1}=3$
    $\ssi -x+5=3(2x+1)$ et $2x+1\neq 0$
    $\ssi -x+5=6x+3$ et $2x\neq -1$
    $\ssi -x+5-6x=3$ et $x\neq -\dfrac{1}{2}$
    $\ssi -7x+5=3$ et $x\neq -\dfrac{1}{2}$
    $\ssi -7x=3-5$ et $x\neq -\dfrac{1}{2}$
    $\ssi -7x=-2$ et $x\neq -\dfrac{1}{2}$
    $\ssi x=\dfrac{2}{7}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{2x+5}{3x+1}=2$
    $\ssi 2x+5=2(3x+1)$ et $3x+1\neq 0$
    $\ssi 2x+5=6x+2$ et $3x\neq -1$
    $\ssi 2x+5-6x=2$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -4x+5=2$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -4x=2-5$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -4x=-3$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi x=\dfrac{3}{4}$
    la solution de l’équation est $\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{5x-2}{-2x+4}=-3$
    $\ssi 5x-2=-3(-2x+4)$ et $-2x+4\neq 0$
    $\ssi 5x-2=6x-12$ et $-2x\neq -4$
    $\ssi 5x-2-6x=-12$ et $x\neq 2$
    $\ssi -x-2=-12$ et $x\neq 2$
    $\ssi -x=-12+2$ et $x\neq 2$
    $\ssi -x=-10$ et $x\neq 2$
    $\ssi x=10$
    La solution de l’équation est $10$.
    $\quad$
  6. $\dfrac{-2x+1}{3x-5}=-1$
    $\ssi -2x+1=-(3x-5)$ et $3x-5\neq 0$
    $\ssi -2x+1=-3x+5$ et $3x\neq 5$
    $\ssi -2x+1+3x=5$ et $x\neq \dfrac{5}{3}$
    $\ssi x+1=5$ et $x\neq \dfrac{5}{3}$
    $\ssi x=5-1$ et $x\neq \dfrac{5}{3}$
    $\ssi x=4$
    La solution de l’équation est $4$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5    forme $\boldsymbol{\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{e}{f}}$

  1. $\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2x+1}{3x+4}=\dfrac{4}{5}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{3x+2}{5x+3}=-\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{-2x+4}{3x+1}=\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{5x-1}{2x-3}=-\dfrac{3}{5}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{-2x-5}{3x-1}=\dfrac{3}{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 5

On utilise la propriété suivante :

deux fractions sont égales si, et seulement si, leurs produits en croix sont égaux et leur dénominateur sont non nuls.

  1. $\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{3}{4}$
    $\ssi 4(x+1)=3(x+2)$ et $x+2\neq 0$
    $\ssi 4x+4=3x+6$ et $x\neq -2$
    $\ssi 4x+4-3x=6$ et $x\neq -2$
    $\ssi x+4=6$ et $x\neq -2$
    $\ssi x=6-4$ et $x\neq -2$
    $\ssi x=2$ et $x\neq -2$
    La solution de l’équation est $2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{2x+1}{3x+4}=\dfrac{4}{5}$
    $\ssi 5(2x+1)=4(3x+4)$ et $3x+4\neq 0$
    $\ssi 10x+5=12x+16$ et $3x\neq -4$
    $\ssi 10x+5-12x=16$ et $x\neq -\dfrac{4}{3}$
    $\ssi -2x+5=16$ et $x\neq -\dfrac{4}{3}$
    $\ssi -2x=16-5$ et $x\neq -\dfrac{4}{3}$
    $\ssi -2x=11$ et $x\neq -\dfrac{4}{3}$
    $\ssi x=-\dfrac{11}{2}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{11}{2}$.
    $\quad$
  3. $\dfrac{3x+2}{5x+3}=-\dfrac{2}{3}$
    $\ssi 3(3x+2)=-2(5x+3)$ et $5x+3\neq 0$
    $\ssi 9x+6=-10x-6$ et $5x\neq -3$
    $\ssi 9x+6+10x=-6$ et $x\neq -\dfrac{3}{5}$
    $\ssi 19x+6=-6$ et $x\neq -\dfrac{3}{5}$
    $\ssi 19x=-6-6$ et $x\neq -\dfrac{3}{5}$
    $\ssi 19x=-12$ et $x\neq -\dfrac{3}{5}$
    $\ssi x=-\dfrac{12}{19}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{12}{19}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{-2x+4}{3x+1}=\dfrac{5}{4}$
    $\ssi 4(-2x+4)=5(3x+1)$ et $3x+1\neq 0$
    $\ssi -8x+16=15x+5$ et $3x\neq -1$
    $\ssi -8x+16-15x=5$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x+16=5$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x=5-16$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x=-11$ et $x\neq -\dfrac{1}{3}$
    $\ssi x=\dfrac{11}{23}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{11}{23}$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{5x-1}{2x-3}=-\dfrac{3}{5}$
    $\ssi 5(5x-1)=-3(2x-3)$ et $2x-3\neq 0$
    $\ssi 25x-5=-6x+9$ et $2x\neq 3$
    $\ssi 25x-5+6x=9$ et $x\neq \dfrac{3}{2}$
    $\ssi 31x-5=9$ et $x\neq \dfrac{3}{2}$
    $\ssi 31x=9+5$ et $x \neq \dfrac{3}{2}$
    $\ssi 31x=14$ et $x\neq \dfrac{3}{2}$
    $\ssi x=\dfrac{14}{31}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{14}{31}$.
    $\quad$
  6. $\dfrac{-2x-5}{3x-1}=\dfrac{3}{7}$
    $\ssi 7(-2x-5)=3(3x-1)$ et $3x-1\neq 0$
    $\ssi -14x-35=9x-3$ et $3x\neq 1$
    $\ssi -14x-35-9x=-3$ et $x\neq \dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x-35=-3$ et $x\neq \dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x=-3+35$ et $x\neq \dfrac{1}{3}$
    $\ssi -23x=32$ et $x\neq \dfrac{1}{3}$
    $\ssi x=-\dfrac{32}{23}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{32}{23}$.
    $\quad$

 

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$\quad$