On appelle $f$ la fonction cube.

1. $f(4)=4^3=64$
   $\quad$
2. $f(-2)=(-2)^3=-8$
   $\quad$
3. $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$
   $\quad$
4. $f\left(10^5\right)=\left(10^5\right)^3=10^{15}$
   $\quad$
5. $f\left(\sqrt{7}\right)=\left(\sqrt{7}\right)^3=\left(\sqrt{7}\right)^2\times \sqrt{7}=7\sqrt{7}$
   $\quad$

On appelle $f$ la fonction cube.

1. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=-27 \ssi x^3=(-3)^3 \ssi x=-3$
   L’antécédent de $-27$ est $-3$.
   $\quad$
2. On veut résoudre l’équation $f(x)=125 \ssi x^3=5^3 \ssi x=5$.
   L’antécédent de $125$ est $5$.
   $\quad$
3. On veut résoudre l’équation $f(x)=\dfrac{8}{1~000} \ssi x^3=\dfrac{2^3}{10^3}\ssi x=\dfrac{2}{10}$
   L’antécédent de $\dfrac{8}{1~000}$ est $\dfrac{2}{10}$.
   $\quad$
4. On veut résoudre l’équation $f(x)=-1 \ssi x^3=(-1)^3 \ssi x=-1$
   L’antécédent de $-1$ est $-1$.
   $\quad$

1. $x^3 < 27$
   
   La solution est $]-\infty;3[$.
   $\quad$
2. $x^3 \pg -125$
   
   La solution est $[-5;+\infty[$.
   $\quad$
3. $x^3 \pp -64$
   
   La solution est $]-\infty;-4]$.
   $\quad$
4. $x^3> 1~000$
   
   La solution est $]10;+\infty[$.$\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} (b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)&=a^2b+ab^2+b^3-a^3-a^2b-ab^2 \\
   &=b^3-a^3\end{align*}$
   $\quad$
2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
   Par conséquent $a^2$, $b^2$ et $ab$ sont tous les trois positifs.
   Ainsi $\left(a^2+ab+b^2\right)$ est positif.
   D’après la question précédente, on a $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
   Cela signifie donc que $b^3-a^3$ et $a-b$ ont le même signe.
   Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ alors $a^2+ab+b^2>0$
   $\quad$
   Si $a<b$ alors $b-a>0$. On a bien $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ donc $a^2+ab+b^2>0$
   Or $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$
   Cela signifie donc, en tant que produit de deux nombres strictement positifs, que $b^3-a^3>0$ et donc que $a^3<b^3$
   $\quad$
   Réciproquement, si $a^3<b^3$ alors $b^3-a^3>0$
   Comme $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$ alors $b-a\neq 0$ et $\left(a^2+ab+b^2\right)\neq 0$.
   $b^3-a^3$ et $b-a$ sont de même signe.
   Donc $b-a>0$ et $a<b$
3. Nous allons considérer les cas suivants :
   – $a$ et $b$ sont de même signe. D’après la question précédente on a $a<b \ssi a^3<b^3$
   – Si $a$ et $b$ sont de signe contraire.
   $\quad$ $\bullet$ Si $a=0$ et $b>0$ alors $a^3=0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
   $\quad$ $\bullet$ Si $a<0$ et $b=0$ alors $a^3<0$ et $b^3=0$ donc $a^3<b^3$
   $\quad$ $\bullet$ Si $a<0<b$ alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
   Par conséquent, si $a<b$ alors $a^3<b^3$.
   $\quad$
   Réciproquement, si $a^3<b^3$
   $\quad$ $\bullet$ Si $a^3=0$ et $b^3>0$ alors $a=0$ et $b>0$ donc $a<b$
   $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0$ et $b^3=0$ alors $a<0$ et $b=0$ donc $a<b$
   $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0<b^3$ alors $a<0$ et $b>0$ donc $a<b$
   Par conséquent, si $a^3<b^3$ alors $a<b$.
   $\quad$