2nd – Exercices – Fonction cube

Fonction cube

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Déterminer les images par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $4$
    $\quad$
  2. $-2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{5}{2}$
    $\quad$
  4. $10^5$
    $\quad$
  5. $\sqrt{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. $f(4)=4^3=64$
    $\quad$
  2. $f(-2)=(-2)^3=-8$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^5\right)=\left(10^5\right)^3=10^{15}$
    $\quad$
  5. $f\left(\sqrt{7}\right)=\left(\sqrt{7}\right)^3=\left(\sqrt{7}\right)^2\times \sqrt{7}=7\sqrt{7}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Déterminer le ou les antécédents par la fonction cube des nombres suivants :

  1. $-27$
    $\quad$
  2. $125$
    $\quad$
  3. $\dfrac{8}{1~000}$
    $\quad$
  4. $-1$
    $\quad$
Correction Exercice 2

On appelle $f$ la fonction cube.

  1. On veut donc résoudre l’équation $f(x)=-27 \ssi x^3=(-3)^3 \ssi x=-3$
    L’antécédent de $-27$ est $-3$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre l’équation $f(x)=125 \ssi x^3=5^3 \ssi x=5$.
    L’antécédent de $125$ est $5$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $f(x)=\dfrac{8}{1~000} \ssi x^3=\dfrac{2^3}{10^3}\ssi x=\dfrac{2}{10}$
    L’antécédent de $\dfrac{8}{1~000}$ est $\dfrac{2}{10}$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation $f(x)=-1 \ssi x^3=(-1)^3 \ssi x=-1$
    L’antécédent de $-1$ est $-1$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Résoudre à l’aide de la représentation graphique de la fonction cube les inéquations suivantes :

  1. $x^3 < 27$
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $x^3 < 27$

    La solution est $]-\infty;3[$.
    $\quad$
  2. $x^3 \pg -125$

    La solution est $[-5;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $x^3 \pp -64$

    La solution est $]-\infty;-4]$.
    $\quad$
  4. $x^3> 1~000$

    La solution est $]10;+\infty[$.$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

  1. On considère deux nombres réels $a$ et $b$.
    Montrer que $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Démontrer que $b^3-a^3$ et $b-a$ ont le même signe puis en déduire que $a<b \ssi a^3<b^3$
    $\quad$
  3. En déduire que pour tous nombres réels $a$ et $b$ on a $a<b\ssi a^3<b^3$.
    Aide : Il faut étudier tous les cas possibles (on parle alors de disjonction de cas)
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)&=a^2b+ab^2+b^3-a^3-a^2b-ab^2 \\
    &=b^3-a^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère deux nombres réels $a$ et $b$ de même signe.
    Par conséquent $a^2$, $b^2$ et $ab$ sont tous les trois positifs.
    Ainsi $\left(a^2+ab+b^2\right)$ est positif.
    D’après la question précédente, on a $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$.
    Cela signifie donc que $b^3-a^3$ et $a-b$ ont le même signe.
    Si $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ alors $a^2+ab+b^2>0$
    $\quad$
    Si $a<b$ alors $b-a>0$. On a bien $a\neq 0$ ou $b\neq 0$ donc $a^2+ab+b^2>0$
    Or $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$
    Cela signifie donc, en tant que produit de deux nombres strictement positifs, que $b^3-a^3>0$ et donc que $a^3<b^3$
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$ alors $b^3-a^3>0$
    Comme $b^3-a^3=(b-a)\left(a^2+ab+b^2\right)$ alors $b-a\neq 0$ et $\left(a^2+ab+b^2\right)\neq 0$.
    $b^3-a^3$ et $b-a$ sont de même signe.
    Donc $b-a>0$ et $a<b$
  3. Nous allons considérer les cas suivants :
    – $a$ et $b$ sont de même signe. D’après la question précédente on a $a<b \ssi a^3<b^3$
    – Si $a$ et $b$ sont de signe contraire.
    $\quad$ $\bullet$ Si $a=0$ et $b>0$ alors $a^3=0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0$ et $b=0$ alors $a^3<0$ et $b^3=0$ donc $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a<0<b$ alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3<b^3$
    Par conséquent, si $a<b$ alors $a^3<b^3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $a^3<b^3$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3=0$ et $b^3>0$ alors $a=0$ et $b>0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0$ et $b^3=0$ alors $a<0$ et $b=0$ donc $a<b$
    $\quad$ $\bullet$ Si $a^3<0<b^3$ alors $a<0$ et $b>0$ donc $a<b$
    Par conséquent, si $a^3<b^3$ alors $a<b$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$