2nd – Exercices – Fonction inverse

Fonction inverse

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On considère la fonction inverse $f$.

Calculer les images par $f$ des réels suivants :

  1. $\dfrac{5}{7}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{1}{9}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4}{9}$
    $\quad$
  4. $10^{-8}$
    $\quad$
  5. $10^4$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $f\left(\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{7}{5}$
    $\quad$
  2. $f\left(-\dfrac{1}{9}\right) = -9$
    $\quad$
  3. $f\left(\dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{9}{4}$
    $\quad$
  4. $f\left(10^{-8}\right) = 10^8$
    $\quad$
  5. $f\left(10^4\right) = 10^{-4}$

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$\quad$

Exercice 2

Utiliser la représentation graphique de la fonction inverse pour dire à quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ lorsque :

  1. $x \in [2;7]$
    $\quad$
  2. $x \in ]0;5]$
    $\quad$
  3. $x \in \left]-2;-\dfrac{1}{5}\right]$

$\quad$

Correction Exercice 2

On utilise la propriété suivante :

On considère deux réels non nuls $a$ et $b$ de même signe. On a alors : $$a<b \ssi \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$$
  1. $2\pp x \pp 7$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{7};\dfrac{1}{2}\right]$
    $\quad$
  2. $0<x\pp 5$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[\dfrac{1}{5};+\infty \right[$
    $\quad$
  3. $-2<x \pp -\dfrac{1}{5}$. Par conséquent $\dfrac{1}{x} \in \left[-5;- \dfrac{1}{2}\right[$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. On sait que $x \pg 0$. Comparer $\dfrac{1}{x+7}$ et $\dfrac{1}{x + 2}$.
    $\quad$
  2. On sait que $x \pp 0$. Comparer $\dfrac{1}{x – 6}$ et $\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. On sait que $x \pg 3$. Comparer $\dfrac{1}{4x – 2}$ et $\dfrac{1}{10}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. On a $x+7  > x + 2 > 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x + 7} < \dfrac{1}{x+2}$.
    $\quad$
  2. On a $x-6 < x-\sqrt{10} < 0$
    Par conséquent $\dfrac{1}{x – 6} >\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$.
    $\quad$
  3. $x \pg 3 \Leftrightarrow 4x \pg 12$ $\Leftrightarrow 4x-2 \pg 10>0$.
    Par conséquent $\dfrac{1}{4x – 2} \pp \dfrac{1}{10}$.

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

  1. Si $3 \pp x \le 4$ alors $\dfrac{1}{3} \pp \dfrac{1}{x} \pp \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Si $-2 \pp x \le 1$ alors $-0,5 \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.
    $\quad$
  3. Si $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ alors $0,1 \pp x \pp 1$.

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. Affirmation fausse. On a $0<3 \pp x \pp 4$. Par conséquent  $\dfrac{1}{3} \pg\dfrac{1}{x} \pg \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Affirmation fausse. La fonction inverse n’est pas définie en $0$. On doit donner un encadrement quand $-2 \pp x < 0$ et un autre quand $0 < x \pp 1$.
    $\quad$
  3. Affirmation vraie. $1 \pp \dfrac{1}{x} \pp 10$ donc $\dfrac{1}{10} \pp \dfrac{1}{~~\dfrac{1}{x}~ } \pp \dfrac{1}{1}$ soit $0,1 \pp x \pp 1$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. $\dfrac{1}{x} \ge -3$
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{x} \ge 2$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{x} \le 1$

$\quad$

Correction Exercice 5

Pour résoudre ces inéquations il est préférable de s’aider de la courbe de la fonction inverse.

  1. $\mathscr{S} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right] \cup ]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\mathscr{S} = \left]0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. $\mathscr{S} = ]-\infty;0[\cup [1;+\infty[$.

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$\quad$

Exercice 6

Compléter :

  1. Si $x < -1$ alors $\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\ldots \pp \dfrac{1}{x} \pp \ldots$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. Si $x < -1$ alors $-1< \dfrac{1}{x} < 0$.
    $\quad$
  2. Si $1 \pp x \pp 2$ alors $\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{x} \pp 1$.

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$\quad$