2nd – Exercices – Fonctions de référence (mélange)

Fonctions de référence (mélange)

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

On se place dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. on considère deux points $A(3;2)$ et $B(7;-2)$.

  1. On considère la fonction affine $f$ vérifiant $f(3)=2$ et $f(7)=-2$.
    Déterminer une expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement l’hyperbole d’équation $y = \dfrac{4}{x}$.
    $\quad$
  3. Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, quelles sont les coordonnées des points d’intersection de cette hyperbole et de la droite représentant la fonction $f$?
    Retrouver ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x_A\neq x_B$. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y = ax+b$.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $a= \dfrac{-2-2}{7-3} = -1$.
    Par conséquent une équation de cette droite est de la forme $y = -x + b$.
    On sait que $A$ appartient à cette droite. Par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation.
    $2 = -3 + b \ssi b = 5$.
    $\quad$
    Une équation de $(AB)$ est donc $y = -x + 5$.
    On vérifie que les coordonnées de $B$ vérifient également cette équation : $-7 + 5 = -2$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex8

    $\quad$
  3. $(x-1)(x-4) = x^2-x-4x + 4 = x^2-5x + 4$
    $\quad$
  4. Graphiquement, les points d’intersection des deux courbes sont les poins de coordonnées $(1;4)$ et $(4;1)$.
    Les points d’intersection vérifient $\dfrac{4}{x} = -x + 5$  $\ssi 4 = -x^2 + 5x$ $\ssi x^2-5x + 4 = 0$.
    D’après la question précédente cela revient à résoudre $(x-1)(x-4) = 0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses produits au moins est nul :
    $x-1 = 0 \ssi x = 1$ ou $x-4 =0 \ssi x = 4$.
    Si $x= 1$ alors $y = \dfrac{4}{1} = 4$.
    Si $x = 4$ alors $y = \dfrac{4}{4} = 1$.
    On retrouve ainsi les points identifiés graphiquement.

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$\quad$

Exercice 2

  1. Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :
    $f(x) = \dfrac{2}{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    $\quad$
    $g(x) = 2x – 3$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2};-4\right)$ sont communs à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  3. En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    2nd - fct inverse - ex9
  2. $\dfrac{2}{2} = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times 2-3 = 4-3 = 1$ donc $A$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
    $\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_f$
    $2 \times \dfrac{-1}{2}-3 = -1- 3 = -4$ donc $B$ est un point de $\mathscr{C}_g$
    $\quad$
  3. Par conséquent $f(x) \pg g(x)$ sur $\left[-\dfrac{1}{2};0\right[\cup [2;+\infty[$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Les canettes utilisées par les fabricants de soda sont des cylindres dont la hauteur est égale à cinq fois son rayon.
On appelle $V$ la fonction qui, à tout rayon $r$ du disque de base exprimé en cm, associe le volume de la canette en cm$^3$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $V$.
    $\quad$
  2. Exprimer $V(r)$ en fonction de $r$.
    $\quad$
  3. Déterminer le rayon, arrondi au millimètre, de la canette pour que celle-ci ait un volume de $25$ cL.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Le rayon peut prendre toutes les valeurs strictement positives.
    L’ensemble de définition de la fonction $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]0;+\infty[$.
    On exclut $0$ pour que la canette ne soit pas réduite à un point.
    $\quad$
  2. La hauteur $h$ de la canette est égale à cinq fois celle de son rayon. Par conséquent $h=5r$.
    Ainsi $V(r)=\pi r^2\times 5r=5\pi r^3$.
    $\quad$
  3. $25$ cL $=250$ cm$^3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} V(r)=250 &\ssi 5\pi r^3=250 \\
    &\ssi r^3=\dfrac{250}{5\pi} \\
    &\ssi r=\sqrt[3]{\dfrac{250}{5\pi}}\end{align*}$
    Par conséquent $r\approx 2,5$ cm.

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$\quad$

Exercice 4

Une approximation de la vitesse $v$, exprimée en km/h, d’un satellite tournant autour de la terre selon une trajectoire circulaire est donnée par la formule suivante : $$v=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}}$$ où $h$ est l’altitude, exprimée en km, du satellite.

  1. On suppose que la vitesse du satellite est de $9~553$ km/h. À quelle altitude, arrondie au km, se situe-t-il?
    $\quad$
  2. Les satellites géostationnaires sont situés à une altitude de $35~786$ km.
    Quelle est alors la vitesse, arrondi au km/h, de ces satellites?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a donc :
    $\begin{align*} 9~553=\dfrac{356 \times 6~371}{\sqrt{6~371+h}} &\ssi 9~553\sqrt{6~371+h}=356\times 6~371 \\
    &\ssi \sqrt{6~371+h}=\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \end{align*}$
    Ainsi $6~371+h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2$
    Soit $h=\left(\dfrac{356\times 6~371}{9~553} \right)^2-6~371$.
    Par conséquent $h\approx 49~997$ km.
    Le satellite se trouve donc à une altitude d’environ $49~997$ km.
    $\quad$
  2. Si $h=35~786$ alors :
    $v=\dfrac{356\times 6~371}{\sqrt{6~371+35~786}} \approx 11~046$ km/h.
    La vitesse des satellites géostationnaires est donc d’environ $11~046$ km/h.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère deux nombres réels non nuls $a$ et $b$, dont la somme n’est pas nulle, et la fonction inverse $f$.
On s’intéresse aux couples de nombres $(a;b)$ vérifiant la relation : $$f(a+b)=f(a)\times f(b) \qquad (E)$$

  1. Montrer que le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Peut-on trouver un couple de la forme $(1;b)$ qui vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le couple $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$. Exprimer $b$ en fonction de $a$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Si $a=-2$ et $b=\dfrac{2}{3}$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{-2+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{-4}{3}=-\dfrac{3}{4}$.
    $f(a)\times f(b)=\dfrac{1}{-2}\times \dfrac{1}{~~\dfrac{2}{3}~~}=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}$.
    Ainsi le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  2. Si $a=1$ alors :
    $f(a+b)=\dfrac{1}{1+b}$
    $f(a)\times f(b)=1\times \dfrac{1}{b}$
    On doit donc résoudre l’équation : $\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1}{b}\ssi 1+b=b$ qui n’a pas de solution.
    Aucun coupe de la forme $(1;b)$ ne vérifie la relation $(E)$.
    $\quad$
  3. On suppose que le coupe $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$.
    On a alors :
    $\begin{align*} f(a+b)=f(a)\times f(b) &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\times \dfrac{1}{b} \\
    &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{ab} \\
    &\ssi a+b=ab \\
    &\ssi a=ab-b \\
    &\ssi a=(a-1)b \\
    &\ssi b=\dfrac{a}{a-1}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On dispose d’un carré en métal de $40$ cm de côté. Pour construire une boîte parallélépipédique, on retire à chaque coin un carré de côté $x$ cm et on relève les bords par pliage (voir figure).
On note $f$ la fonction qui au nombre $x$ associe le volume $f(x)$ de la boîte obtenue.

  1. Donner l’ensemble de définition de la $f$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(5)$ et interpréter le sens concret de ce résultat.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de $f(x)$.
    $\quad$

On répondra aux questions suivantes à l’aide de la représentation graphique de $f$, donnée ci-dessous, avec la précision permise par ce graphique. On laissera apparents sur le graphique les pointillés utiles pour la lecture graphique.

  1. Donner les éventuels antécédents de $2~500$ par $f$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Pour quelles valeurs de $x$ le volume de la boîte est-il inférieur à $2~000$ cm $^3$?
    $\quad$
  3. Quel volume maximum peut-on obtenir en fabriquant une boîte comme celle-ci?
    Pour quelle valeur de $x$ ce volume maximal est-il atteint?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On retire à chaque coin du carré de côté $40$ cm un carré de côté $x$ cm.
    Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=]0;20[$.
    $\quad$
  2. si $x=5$ alors le carré de base de la boîte a pour côté $40-2\times 5=30$ cm.
    $\quad$
    Ainsi le volume de la boîte est $f(5)=5\times 30^2=4~500$ cm$^3$.
    $\quad$
  3. Le carré de base de la boîte a pour côté $40-2x$.
    Par conséquent $f(x)=x(40-2x)^2$
    $\quad$
  4. Les antécédents de $2~500$ par $f$ sont environ $1,9$ et $13$.
    Cela signifie donc qu’il existe deux façons d’obtenir un volume de $2~500$ cm$^3$ : si $x=1,9$ ou si $x=13$.
    $\quad$
  5. $f(x)< 2~000$ si $x\in]0;1,5[\cup]14;20[$.
    $\quad$
  6. Le volume maximal est environ $4~750$ cm$^3$. Il est obtenu pour $x=6,5$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-7)^2-9$.
On a utilisé un logiciel de calcul formel pour obtenir la forme factorisée et la forme développée réduite de $f(x)$.
$$\begin{array}{lr}
\hline
\text{f(x):=(x-7)^2-9}& \\
&\text{(x)->(x-7)^2-9}\\
\hline
\text{factoriser(f(x))}& \\
&(x-10)(x-4)\\
\hline
\text{developper(f(x))}& \\
&x^2-14x+40 \\
\hline
\end{array}$$

  1. Vérifier que la forme factorisée obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  2. Vérifier que la forme développée et réduite obtenue avec le logiciel est correcte.
    $\quad$
  3. Calculer les images de $0$ puis de $7$ par $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $f(x)=40$.
    $\quad$
  6. Le nombre $-10$ possède-t-il un ou des antécédent(s) par $f$? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(x)=(x-7)^2-3^2=\left[(x-7)-3\right][\left[(x-7)+3\right]=(x-10)(x-4)$.
    On retrouve bien la forme factorisée fournie par logiciel.
    $\quad$
  2. $f(x)=x^2-14x+49-9=x^2-14x+40$.
    On retrouve bien la forme développée fournie par logiciel.
    $\quad$
  3. $f(0) = 0^2-14\times 0 + 40 = 40$.
    $f(7)=(7-7)^2-9=-9$
    $\quad$
  4. On veut résoudre $f(x)=0$. On utilise la forme factorisée : $(x-10)(x-4)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x-10=0$ ou $x-4=0$.
    Les solutions sont $10$ et $4$.
    Par conséquent les antécédents de $0$ sont $10$ et $4$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=40 &\ssi x^2-14x+40=40 \\
    &\ssi x^2-14x=0 \\
    &\ssi x(x-14)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x=0$ ou $x-14=0$.
    Les solutions de l’équation sont par conséquent $0$ et $14$.
    $\quad$
  6. On veut résoudre l’équation $f(x)=-10$ soit $(x-7)^2-9=-10$ ou encore $(x-7)^2=-1$.
    Un carré étant toujours positif, cette équation n’a pas de solution et $-10$ ne possède pas d’antécédent par $f$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$