2nd - Exercices corrigés - Généralités sur les fonctions

Exercice 1

Dans chacun des cas, représenter sur une droite graduée l’appartenance à l’intervalle.
a. $x \in ]-\infty;5[$.
$\quad$
b. $x\in [1;4[$
$\quad$
c. $x\in [2;+\infty[$
$\quad$
Traduire chaque inégalité sous la forme de l’appartenance à un intervalle.
a. $ -2>x $
$\quad$
b. $5 \le x$
$\quad$
c. $4 < x < 8$
$\quad$

Correction Exercice 1

a.
b.
c.
a. $x\in ]-\infty;-2[$
$\quad$
b. $x\in [5;+\infty[$
$\quad$
c. $x\in]4;8[$

[collapse]

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5x-1$.

Déterminer les images des nombres $-1$ et $2$.
$\quad$
Calculer $f(1)$ et $f(3)$.
$\quad$
Déterminer par le calcul les antécédents de $0$ et $9$.
$\quad$

Correction Exercice 2

On veut calculer $f(-1) = 5 \times (-1) – 1 = -6$.
On calcule également $f(2) = 5 \times 2 -1 = 9$.
$\quad$
$f(1) = 5 \times 1 – 1 = 4$
$f(3) = 5 \times 3 -1 = 14$
$\quad$
On cherche les valeurs de $x$ telles que $5x-1 = 0$
soit $5x=1$
donc $x=\dfrac{1}{5}$
L’antécédent de $0$ est $\dfrac{1}{5}$.
$\quad$
On cherche les valeurs de $x$ telles que $5x-1 = 9$
soit $5x=10$
donc $x=\dfrac{10}{5}$
L’antécédent de $9$ est $2$.

[collapse]

Exercice 3

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.
Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

Déterminer graphiquement $f(3)$ et $f(6)$
$\quad$
Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) de $2$, $0$ et $-3$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$f(3) \approx 0,9$ et $f(6) = -0,9$
$\quad$
Les antécédents de $2$ sont, environ, $-3,8$ et $10,5$.
Les antécédents de $0$ sont $-3$, $1$, $5$ et $10$.
$-3$ ne possède aucun antécédent.

[collapse]

Exercice 4

On possède un récipient en forme de cône dont la hauteur est $20$ cm et le rayon $5$ cm.

Représenter un patron de récipient conique à l’échelle souhaitée.
$\quad$
On suppose qu’on remplit d’eau ce récipient jusqu’à une hauteur $x$ et on appelle $V_1$ la fonction associée à ce volume d’eau.
a. Pour quelles valeurs de $x$ peut-on définir $V_1$.
$\quad$
b. Exprimer $V_1(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$
c. Quel est le volume d’eau quand $x=10$ cm.
$\quad$
d. Quelle hauteur d’eau correspond à un volume de $36\pi$ cm$^3$.
aide : on pourra calculer le cube d’entiers naturels
$\quad$

Correction Exercice 4

Puisque la hauteur du cône est de $20$ cm et son rayon $5$ cm, il s’agit des longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle.
La génératrice du cône est l’hypoténuse de ce triangle.
D’après le théorème de Pythagore sa longueur $L$ vérifie : $L^2 = 20^2+5^2 = 425$
Ainsi $L = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20,6$ cm.
Déterminons maintenant l’angle $\alpha$ de l’arc de cercle du patron du cône.
La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à son angle.
$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{angle}&180& \alpha \\\\
\hline
\text{Longueur de l’arc}&\pi\times L&2\pi\times 5 \\\\
\hline
\end{array}$$
Ainsi $\alpha = \dfrac{10\pi \times 180}{\pi \times L} = \dfrac{180}{5\sqrt{17}} \approx 87,31°$
a. $x$ ne peut pas prendre de valeurs négatives ni être supérieur à $20$ donc $x\in[0;20]$.
$\quad$
b. Déterminons le rayon du cercle correspondant au disque de base.

Dans les triangles $ADC$ et $AEB$ :
– les droites $(DC)$ et $(EB)$ sont parallèles
– $E \in [AD]$ et $B\in[AC]$
D’après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{EB}{DC}$
Donc $\dfrac{x}{20} = \dfrac{r}{5}$
Par conséquent $r=\dfrac{x}{4}$
On a
$\begin{align*} V_1(x) &= \dfrac{\pi\times \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \times x}{3} \\
&=\dfrac{1}{3}\times \pi\times\dfrac{x^2}{16}\times x\\
&= \dfrac{\pi}{48}x^3\end{align*}$
$\quad$
c. Si $x=10$ alors $V_1(10) =\dfrac{1~000\pi}{48} = \dfrac{125\pi}{6}$ cm$^3$.
$\quad$
d. On cherche la valeur de $x$ telle que :
$\begin{align*} V_1(x)=1~152\pi & \ssi \dfrac{\pi}{48}x^3 = 36\pi\\\\
&\ssi \dfrac{1}{48}x^3 = 36\\\\
&\ssi x^3 = 36 \times 48 \\\\
&\ssi x^3=1~728 \\\\
&\ssi x= 12
\end{align*}$

[collapse]