2nd – Exercices – Identités remarquables – Divers

Identités remarquables – Divers

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

On considère l’expression $A = (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1)$.

  1. Développer et réduire $A$.
    $\quad$
  2. Factoriser $A$.
    $\quad$
  3. Résoudre $A=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $A$ pour $x=-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x)^2+2\times 4\times 3x+4^2-\left(-6x^2+3x-8x+4\right) \\
    &=9x^2+24x+16-\left(-6x^2-5x+4\right)\\
    &=9x^2+24x+16+6x^2+5x-4\\
    &=15x^2+29x+12\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} A &= (3x+4)^2-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)(3x+4)-(3x+4)(-2x+1) \\
    &=(3x+4)\left[(3x+4)-(-2x+1)\right] \\
    &=(3x+4)(3x+4+2x-1)\\
    &=(3x+4)(5x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $A=0\ssi (3x+4)(5x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}3x+4=0&\text{  ou  }&5x+3=0 \\
    \ssi 3x=-4&&\ssi 5x=-3\\
    \ssi x=-\dfrac{4}{3}&&\ssi x=-\dfrac{3}{5}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{4}{3}$ et $-\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$
  4. Si $x=-1$ alors :
    $\begin{align*} A&=15\times (-1)^2+29\times (-1)+12\\
    &=15-29+12\\
    &=-2\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère l’expression $B=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.

  1. Développer et réduire $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $B$ pour $x=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. Factoriser $B$.
    $\quad$
  4. Résoudre $B=0$.
    $\quad$
  5. Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3\\
    &=3x^2+x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=\dfrac{1}{2}$
    On a alors :
    $\begin{align*} A&=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}-2 \\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\\
    &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{6}{4}\\
    &=-\dfrac{3}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
    &=(x+1)(x+1)+(x+1)(2x-3)\\
    &=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
    &=(x+1)(x+1+2x-3)\\
    &=(x+1)(3x-2)\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a $B=0\ssi (x+1)(3x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+1=0&\text{  ou  }&3x-2=0 \\
    \ssi x=-1&&\ssi 3x=2\\
    &&\ssi x=\dfrac{2}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère l’expression $C=(2x-1)^2-16$.

  1. Calculer $C$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire $C$.
    $\quad$
  3. Factoriser $C$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $(2x-5)(2x+3)=0$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
    $\begin{align*} C&=\left(2\times \dfrac{1}{2}-1\right)^2-16 \\
    &=(1-1)^2-16\\
    &=-16\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x)^2-2\times 1\times 2x+1^2-16\\
    &=4x^2-4x+1-16\\
    &=4x^2-4x-15\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C&=(2x-1)^2-16 \\
    &=(2x-1)^2-4^2\\
    &=\left[(2x-1)-4\right]\left[(2x-1)+4\right] \\
    &=(2x-5)(2x+3)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $(2x-5)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}2x-5=0&\text{  ou  }&2x+3=0 \\
    \ssi 2x=5&&\ssi 2x=-3\\
    x=\dfrac{5}{2}&&\ssi x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4    Difficulté +

On considère l’expression $D = (2x-7)+4x^2-49$.

  1. Factoriser $D$ (pensez à l’identité remarquable $a^2-b^2$).
    $\quad$
  2. Développer et réduire $D$.
    $\quad$
  3. Résoudre $D=0$.
    $\quad$
  4. Calculer $D$ pour $x=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x)^2-7^2\\
    &=(2x-7)(2x-7)+(2x-7)(2x+7)\\
    &=(2x-7)\left[(2x-7)+(2x+7)\right] \\
    &=(2x-7)4x\\
    &=4(2x-7)x\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} D&= (2x-7)^2+4x^2-49 \\
    &=(2x)^2-2\times 7\times 2x+7^2+4x^2-49\\
    &=4x^2-28x+49+4x^2-49\\
    &=8x^2-28x\end{align*}$
    $\quad$
  3. $D=0\ssi 4(2x-7)x=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&2x-7=0 \\
    &&\ssi 2x=7\\
    &&\ssi x=\dfrac{7}{2}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{2}$.
    $\quad$
  4. Si $x=3$ alors $D=4(2\times 3-7)\times 3=12\times (-1)=-12$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On pose $E = (3x+ 5)^2-(3x-5)^2$.

  1. Développer et réduire $E$.
    $\quad$
  2. Calculer $E$ pour $x= 30$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $E = 30$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a :
    $\begin{align*} E&= (3x+ 5)^2-(3x-5)^2 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2-\left((3x)^2-2\times 5\times 3x+5^2\right) \\
    &=9x^2+30x+25-\left(9x^2-30x+25\right) \\
    &=60x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=30$ alors $E=60\times 30=1~800$
    $\quad$
  3. $E=30 \ssi 60x=30\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    La solution de l’équation est $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On pose $F = 9x^2+30x+25$.

  1. Calculer $F$ pour $x=0$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $F = 25$.
    $\quad$
  3. Factoriser $F$.
    $\quad$
  4. Résoudre l’équation $F = 0$.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Si $x=0$ alors $F=9\times 0^2+30\times 0+25=25$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} F=25&\ssi 9x^2+30x+25=25\\
    &\ssi 9x^2+30x=0 \\
    &\ssi 3x(3x+10)=0\\
    &\ssi x(3x+10)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x=0&\text{  ou  }&3x+10=0 \\
    &&\ssi 3x=-10\\
    &&\ssi x=-\dfrac{10}{3}\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $-\dfrac{10}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} F &= 9x^2+30x+25 \\
    &=(3x)^2+2\times 5\times 3x+5^2 \\
    &=(3x+5)^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} F=0&\ssi (3x+5)^2=0 \\
    &\ssi 3x+5=0\\
    &\ssi 3x=-5\\
    &\ssi x=-\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans chacun des cas résoudre l’équation $A= 0$.

  1. $A = (2x-3)^2-(x+2)^2$
    $\quad$
  2. $A = (x-1)^2-9$
    $\quad$
  3. $A = 4x^2-9$
    $\quad$
  4. $A = (x+1)^2-(4x+1)^2$
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. Il faut tout d’abord factoriser cette expression.
    $\begin{align*} A &= (2x-3)^2-(x+2)^2 \\
    &= \left[(2x-3)-(x +2)\right]\left[(2x-3)+(x+2)\right]\\
    &=(x-5)(3x-1)\end{align*}$
    On est alors ramené à résoudre l’équation produit $(x-5)(3x-1) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-5 = 0$ et $x = 5$
    Soit $3x-1 = 0$ et $x = \dfrac{1}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $5$ et $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. On factorise également cette expression.
    $\begin{align*}A &= (x-1)^2-9 \\
    &= (x-1)^2-3^2 \\
    &= (x-1-3)(x-1+3)\\
    &=(x-4)(x+2)\end{align*}$
    On doit donc résoudre l’équation produit $(x-4)(x+2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $x-4 = 0 $ et $x = 4$
    Soit $x+2 = 0$ et $x = -2$
    Les solutions de l’équation sont donc $4$ et $-2$.
    $\quad$
  3. On doit encore factoriser cette expression.
    $A = 4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = (2x-3)(2x+3)$
    On résout donc l’équation produit $(2x-3)(2x+3) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $2x-3 = 0$ et $x = \dfrac{3}{2}$
    Soit $2x+3 = 0$ et $x = -\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  4. Factorisons cette expression.
    $\begin{align} A &= (x+1)^2 -(4x+1)^2 \\
    &= \left[(x+1)-(4x+1)\right] \left[(x+1)+(4x+1)\right] \\
    &= -3x(5x + 2)
    \end{align}$
    On résout maintenant l’équation produit $-3x(5x + 2) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Soit $-3x =0$ et $x = 0$
    Soit $5x + 2 = 0$ et $x = -\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équations sont donc $-\dfrac{2}{5}$ et $0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Un rectangle a un périmètre égal à $20$ cm. Déterminer ses dimensions pour que son aire soit égale à $25$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 8

On appelle $x$ la longueur du rectangle.
Le périmètre du rectangle est égal à $20$ cm. Par conséquent la largeur $\ell$ de ce rectangle vérifie $x+\ell=10 \ssi \ell=10-x$.

On est donc ramené à résoudre l’équation suivante :
$\begin{align*} x(10-x)=25 &\ssi 10x-x^2=25 \\
&\ssi x^2-10x+25=0\\
&\ssi x^2-2\times 5\times x+5^2=0\\
&\ssi (x-5)^2=0 \\
&\ssi x-5=0\\
&\ssi x=5\end{align*}$

Le rectangle est finalement un carré dont les côtés mesures $5$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=7$ cm et $BC=5$ cm et un point $M$ appartenant au segment $[AB]$. On note $AM=x$ avec $(0<x<5)$.
On a placé sur la figure les points $N,P$ et $Q$ tels que $AM=BN=CP=DQ$.

Déterminer, en justifiant votre démarche, la valeur de $x$ telle que l’aire $\mathscr{A}$ du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

Correction Exercice 9

On a $DQ=CP=BN=AM=x$ donc $CN=AQ=5-x$ et $MB=DP=7-x$
Les triangles $AMQ$ et $CPN$ on la même aire $\mathscr{A}_1=\dfrac{AM\times AQ}{2}=\dfrac{x(5-x)}{2}$ .
Les triangles $DQP$ et $BMN$ on la même aire $\mathscr{A}_2=\dfrac{BM\times BN}{2}=\dfrac{x(7-x)}{2}$ .
Par conséquent l’aire du quadrilatère $MNPQ$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=5\times 7-\left(2\times \dfrac{x(5-x)}{2}+2\times \dfrac{x(7-x)}{2}\right) \\
&=35-\left(5x-x^2+7x-x^2\right) \\
&=35-12x+2x^2
\end{align*}$

On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*}
2x^2-12x+35=17&\ssi 2x^2-12x+18=0 \\
&\ssi 2\left(x^2-6x+9\right)=0 \\
&\ssi 2(x-3)^2=0\\
&\ssi (x-3)^2=0\\
&\ssi x-3=0
\end{align*}$

La solution de cette équation est $3$.

De plus $0<3<5$. On doit donc donner la valeur $3$ à $x$ pour que l’aire du quadrilatère $MNPQ$ soit égale à $17$ cm$^2$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

On considère deux nombres réels $a$ et $b$ quelconque.

  1. Montrer que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
    $\quad$
  2. En déduire l’expression développée et réduite de $\left(5x^2+3\right)^3$.
    $\quad$
  3. En utilisant la question 1. et sans tout développer donner l’expression développée et réduite de $(a-b)^3$.
    $\quad$
Correction Exercice 10

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    (a+b)^3&=(a+b)^2(a+b) \\
    &=\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\\
    &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3\\
    &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On utilise la propriété précédente avec $a=5x^2$ et $b=3$.
    On obtient :
    $\begin{align*}
    \left(5x^2+3\right)^3&=\left(5x^2\right)^3+3\left(5x^2\right)^2\times 3+3\times 5x^2\times 3^2+3^3 \\
    &=125x^6+225x^4+135x^2+27
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}
    (a-b)^3&=\left(a+(-b)\right)^3 \\
    &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 11

Quand on veut calculer le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est $5$, on multiplie le nombre de dizaines par son successeur et on ajoute, à droite de l’écriture décimale du produit, le nombre $25$.

Exemple : On veut calculer le carré de $205$.
Il y a $20$ dizaines.
Or $20\times (20+1)=420$
On ajoute $25$ à droite de l’écriture décimale de $420$ et on obtient alors que $205^2=42~025$.

En remarquant qu’un nombre se terminant par $5$ peut s’écrire sous la forme $10\times a+5$, où $a$ est un entier naturel, démontrer cette propriété.

$\quad$

Correction Exercice 11

On a $(10\times a+5)^2=(10a)^2+2\times 10a\times 5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$

On a donc $a(a+1)$ centaines et $25$ unités; ce qu’il fallait démontrer.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 12

On considère trois nombres réels $a$, $b$ et $c$.
Donner une expression développée et réduite de $(a+b+c)^2$.

$\quad$

Correction Exercice 12

$\begin{align*} (a+b+c)^2&=\left(a+(b+c)\right)^2 \\
&=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\
&=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\
&=a^x+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 13    Difficulté +

On considère l’expression $G=x^2+6x-7$.

  1. Compléter l’égalité $G=(x+3)^2-\ldots$
    $\quad$
  2. En déduire une factorisation de $G$.
    $\quad$
  3. Résoudre alors l’équation $G=0$.
    $\quad$
  4. En adoptant la même démarche, résoudre les équations suivantes :
    a. $x^2+4x-21=0$
    $\quad$
    b. $x^2+11x+30=0$
    $\quad$
Correction Exercice 13

  1. Pour répondre à cette question, on peut suivre (au moins) deux pistes.
    Piste 1
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x-7 \\
    &=x^2+2\times 3\times x+3^2-3^2-7 \qquad (*)\\
    &=(x+3)^2-9-7\\
    &=(x+3)^2-16\end{align*}$
    À l’étape $(*)$ on fait apparaître une identité remarquable dont avait $2$ des $3$ termes.
    $\quad$
    Piste 2
    $(x+3)^2=x^2+6x+9$
    Donc $x^2+6x=(x+3)^2-9$
    Et $G=x^2+6x-7=(x+3)^2-9-7=(x+3)^2-16$.
    $\quad$
    Remarque : Cette écriture de $G$ est appelée sa forme canonique.
    $\quad$
  2. On a ainsi :
    $\begin{align*} G&=x^2+6x-7 \\
    &=(x+3)^2-16\\
    &=(x+3)^2-4^2\\
    &=\left[(x+3)-4\right]\left[(x+3)+4\right] \\
    &=(x-1)(x+7)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’équation $G=0 \ssi (x-1)(x+7)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-1=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=1&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $-7$.
    $\quad$
  4. a. On a :
    $\begin{align*} x^2+4x-21=0&\ssi x^2+2\times 2\times x-21=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+2^2-2^2-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-4-21=0\\
    &\ssi (x+2)^2-25=0\\
    &\ssi (x+2)^2-5^2=0\\
    &\ssi \left[(x+2)-5\right]\left[(x+2)+5\right]=0\\
    &\ssi (x-3)(x+7)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x-3=0&\text{  ou  }&x+7=0 \\
    x=3&&\ssi x=-7\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $3$ et $-7$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} x^2+11x+30=0&\ssi x^2+2\times 5,5\times x+30=0 \\
    &\ssi x^2+2\times 5,5\times x+5,5^2-5,5^2+30=0 \\
    &\ssi (x+5,5)^2-30,25+30=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25=0\\
    &\ssi (x+5,5)^2-0,25^2=0\\
    &\ssi \left[(x+5,5)-0,5\right]\left[(x+5,5)+0,5\right]=0\\
    &\ssi (x+5)(x+6)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\begin{array}{lcl}x+5=0&\text{  ou  }&x+6=0 \\
    x=-5&&\ssi x=-6\end{array}$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $-6$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 14    Difficulté +

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ désigne un carré de côté $1$. $M$ est un point sur le segment $[AB]$. La perpendiculaire au segment $[AB]$ passant par le point $M$ coupe le segment $[AC]$ en $E$ et le segment $[DC]$ en $G$. On note $F$ le point tel que $AMEF$ soit un carré.
Déterminer la position du point $M$ telle que le carré $AMEF$ et le triangle $CGE$ aient la même aire.

Correction Exercice 14

  • On appelle $x$ la longueur $AM$. Le nombre $x$ appartient donc à l’intervalle $[0;1]$.
    L’aire du carré $AMEF$ est donc $\mathscr{A}_1=x^2$.
  • $G$ appartient au segment $[DC]$. Par conséquent $GC=1-x$. De même $GE=1-x$.
    L’aire du triangle $CGE$ est donc $\mathscr{A}_2=\dfrac{(1-x)^2}{2}$.
  • On veut que :
    $$\begin{array}{clll}\mathscr{A}_1=\mathscr{A}_2&\ssi x^2=\dfrac{(1-x)^2}{2} \\
    &\ssi x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2 \\
    &\ssi x=\dfrac{1-x}{\sqrt{2}} & \text{ou} & x=-\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\\
    &\ssi x\sqrt{2}=1-x & \text{ou} & x\sqrt{2}=x-1 \\
    &\ssi x\sqrt{2}+x=1 & \text{ou} & x\sqrt{2}-x=-1 \\
    &\ssi x\left(\sqrt{2}+1\right)=1 & \text{ou} & x\left(\sqrt{2}-1\right)=-1\\
    &\ssi x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} & \text{ou} & x=\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}
    \end{array}$$
    Or $\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}<0$
    Donc le point $M$ doit se trouver à $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ de $A$.

Remarque : Pour résoudre l’équation $x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2$ on pouvait également écrire que :
$x^2=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\ssi x^2-\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2=0$ et factoriser cette expression à l’aide de l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$\quad$

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