Inéquations – Exercices de recherche

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Le prix $x$ d’un article est compris entre $20$€ et $50$€.
L’offre est le nombre d’articles qu’une entreprise décide de proposer aux consommateurs au prix de $x$ €.
La demande est le nombre probable d’articles achetés par les consommateurs quand l’article est proposé à ce même prix de $x$ €.
La demande, exprimée en centaines d’articles, se calcule avec $d(x)=-750x+45~000$.
L’offre, exprimée en centaines d’articles, se calcule avec $f(x)=-\dfrac{500~000}{x}+35~000$.
Le but de cet exercice est de trouver pour quels prix l’offre est supérieure à la demande.

Écrire une inéquation traduisant le problème posé.
$\quad$
Démontrer que l’inéquation $f(x)>d(x)$ s’écrit aussi $-500~000>-750x^2+10~000x$.
$\quad$
a. Développer l’expression $(x+20)(3x-100)$.
$\quad$
b. En déduire les solutions de $f(x)>d(x)$ et conclure.
$\quad$

Correction Exercice 1

On veut que $f(x)>d(x) \ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000$
$\quad$
On a :
$\begin{align*}
f(x)>d(x) &\ssi -\dfrac{500~000}{x}+35~000>-750x+45~000 \\
&\ssi -\dfrac{500~000}{x}>-750x+10~000 \\
&\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \quad \text{(car $x>0$)}\end{align*}$
$\quad$
a.
$\begin{align*} (x+20)(3x-100)&=3x^2-100x+60x-2~000 \\
&=3x^2-40x-2~000\end{align*}$
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} f(x)>d(x) &\ssi -500~000>-750x^2+10~000x \\
&\ssi 750x^2-10~000x-500~000>0 \\
&\ssi 250\left(3x^2-40x-2~000\right)>0 \\
&\ssi 3x^2-40x-2~000>0\\
&\ssi (x+20)(3x-100)>0\end{align*}$
$\quad$
Sur l’intervalle $[20;50]$ on a $x+20>0$.
Donc le signe de $(x+20)(3x-100)$ ne dépend que de celui de $3x-100$ sur cet intervalle.
Or $3x-100>0 \ssi 3x>100 \ssi x>\dfrac{100}{3}$
Les solutions de $f(x)>d(x)$ sont les nombres appartenant à $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
Ainsi, l’offre est supérieure à la demande si le prix, en euros, appartient à l’intervalle $\left]\dfrac{100}{3};50\right]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.

On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

À quel intervalle appartient $x$?
$\quad$
Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
$\quad$
Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
$\quad$

Correction Exercice 2

Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
Donc $x\in [0;4]$.
$\quad$
L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
Ainsi l’aire de la figure est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
&=x^2+16-8x+x^2 \\
&=2x^2-8x+16
\end{align*}$
On veut résoudre :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
&\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
\end{align*}$
$\quad$
$(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

$ABCD$ est un carré dont les côtés mesurent $10$ cm. $E$ est un point du segment $[AB]$. Les points $E,F,G,H$ et $I$ sont placés de telle manière que $AEFG$ et $FICH$ soient des carrés.

Déterminer les positions du point $E$ telles que la surface colorée ait une aire inférieure à $58$ cm$^2$.

Indication : On pourra développer $(2x-6)(x-7)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On note $x=AE$ ainsi $EB=10-x$.
L’aire de la partie colorée est donc $\mathscr{A}=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100$.
On veut que $\mathscr{A}\pp 58 \ssi 2x^2-20x+100 \pp 58\ssi 2x^2-20x+42 \pp 0$
Or $(2x-6)(x-7)=2x^2-14x-6x+42=2x^2-20x+42$
Par conséquent $\mathscr{A}(x)\pp 58 \ssi (2x-6)(x-7)\pp 0$
$\quad$
$2x-6=0 \ssi x=3$ et $2x-6>0 \ssi x>3$
$x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$x$ doit donc être appartenir à l’intervalle $[3;7]$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Montrer que, pour tout réel $x$, on a $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
$\quad$
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^2-2$ et $g(x)=-2x+1$.
Résoudre l’inéquation $f(x)\pp g(x)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

$(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$
$\quad$
$f(x)\pp g(x)\ssi x^2-2\pp -2x+1 \ssi x^2-2+2x-1\pp 0 \ssi x^2+2x-3 \pp \ssi (x-1)(x+3) \pp 0$
$\quad$
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
$x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
On obtient le tableau de signes suivant :
La solution de l’inéquation $f(x) \pp g(x)$ est donc $[-3;1]$.$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Dans le plan muni d’un repère $(O;I,J)$ orthogonal, on considère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$f(x)=6x^3+2x^2+x+1\quad \text{et} \quad g(x)=2x^2+19x+13$$

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(ax+b)$.
$\quad$
En déduire sur quels intervalles la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au dessus de $\mathscr{C}_g$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On a :
$\begin{align*}
(2x+2)(3x+3)(ax+b)&=\left(6x^2+12x+6\right)(ax+b)\\
&=6ax^3+6bx^2+12ax^2+12bx+6ax+6b \\
&=6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b
\end{align*}$
On veut donc que $6ax^3+(6b+12a)x^2+(12b+6a)x+6b=6x^3-18x-12$.
Par identification des coefficients des termes on a donc :
$$\begin{cases} 6a=6\\6b+12a=0\\12b+6a=-18\\6b=-12\end{cases} \ssi \begin{cases} a=1\\b=-2\end{cases}$$
Par conséquent $6x^3-18x-12=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
$\quad$
On veut déterminer les solutions de :
$\begin{align*}f(x)>g(x) &\ssi 6x^3+2x^2+x+1>2x^2+19x+13 \\
&\ssi 6x^3-18x-12>0 \\
&\ssi (2x+2)(3x+3)(x-2) >0
\end{align*}$
$\quad$
$2x+2=0 \ssi 2x=-2 \ssi x=-1$ et $2x+2>0 \ssi 2x>-2 \ssi x>-1$
$3x+3=0 \ssi 3x=-3 \ssi x=-1$ et $3x+3>0 \ssi 3x>-3 \ssi x>-1$
$\quad$
$x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
Pour tout réel $x$ on note $h(x)=(2x+2)(3x+3)(x-2)$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ainsi la courbe $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$ sur l’intervalle $]2;+\infty[$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-5x-12$.

Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)=2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]$.
$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation $f(x)\pp 0$.
$\quad$

Correction Exercice 6

On a
$\begin{align*} 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]&=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}-\dfrac{121}{16}\right)\\
&=2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x-6\right)\\
&=2x^2-5x-12
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} f(x) \pp 0 &\ssi 2\left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16}\right]\pp 0 \\
&\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{16} \pp 0\\
&\ssi \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\left(\dfrac{11}{4}\right)^2 \pp 0\\
&\ssi \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{11}{4}\right] \left[\left(x-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{11}{4}\right]\pp 0\\
&\ssi (x-4)\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \pp 0
\end{align*}$
$\quad$
$x-4=0 \ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x> 4$
$x+\dfrac{3}{2}=0 \ssi x=-\dfrac{3}{2}$ et $x+\dfrac{3}{2}>0 \ssi x>-\dfrac{3}{2}$
On obtient donc le tableau de signes suivant :La solution de $f(x)\pp 0$ est donc $\left[-\dfrac{3}{2};4\right]$.

[collapse]

$\quad$