Intervalles

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Écrire les intervalles suivants à l’aide d’inégalités.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: -9\pp x \pp 2\\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: 0<x<1\\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: 2<x\pp 6 \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : x<5 \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :x\pg -3 \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: 1\pp x<10 \\\\
\end{array}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Écrire les inégalités suivantes à l’aide d’intervalles.

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &10>x &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& 0<x & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: x\in]-3;5]\\\\
\textbf{2.} &10>x &: x\in]-\infty;10[ \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: x\in[-2;+\infty[ \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : x\in [1;3]\\\\
\textbf{5.}& 0<x & :x\in]0;+\infty[ \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: x\in[-1;1[ \\\\
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 4

Représenter sur une droite graduée les intervalles suivants :

$$\begin{array}{cccc}
[-1;+\infty[ \phantom{aaa}& ]-\infty;5[ \phantom{aaa}&[2;4[ \phantom{aaa}&[-4;3] \phantom{aaa} \\\\
]-3;-1[ \phantom{aaa}& ]-\infty;-2] \phantom{aaa}&]4;+\infty[ \phantom{aaa}&]0;2] \phantom{aaa} \\\\
\end{array} $$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Compléter le tableau suivant :

$\quad$

Correction Exercice 5

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Compléter avec $\in$ et $\notin$.

$3~\ldots~ [-5;4[$
$\quad$
$-2~\ldots~ [-1;5[$
$\quad$
$0~\ldots~ ]-2;1[$
$\quad$
$10^{-2}~\ldots~ ]0;+\infty[$
$\quad$
$5~\ldots~ ]5;7]$
$\quad$
$\dfrac{3}{7}~\ldots~ [0,5;2]$
$\quad$
$\pi~\ldots~ [3,1;3,2[$
$\quad$
$\dfrac{3}{8}~\ldots~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$
$\quad$
$10^{-5}~\ldots~ ]-\infty;0]$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

$3~\in~ [-5;4[$
$\quad$
$-2~\notin~ [-1;5[$
$\quad$
$0~\in~ ]-2;1[$
$\quad$
$10^{-2}~\in~ ]0;+\infty[$
$\quad$
$5~\notin~ ]5;7]$
$\quad$
$\dfrac{3}{7}~\notin~ [0,5;2]$ car $\dfrac{3}{7}\approx 0,43$
$\quad$
$\pi~\in~ [3,1;3,2[$ car $\pi \approx 3,14$
$\quad$
$\dfrac{3}{8}~\in~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$ car $7<8<9$ donc $\dfrac{3}{9}<\dfrac{3}{8}<\dfrac{3}{9}$
$\quad$
$10^{-5}~\notin~ ]-\infty;0]$ car $10^{-5}>0$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère un rectangle dont la longueur est $L$ et la largeur $\ell$.
On sait que que son périmètre $P$ vérifie $P\in]40;90]$ et que $5<\ell \pp 8$.
Déterminer l’ensemble des valeurs entières que peut prendre $L$.

$\quad$

Correction Exercice 7

Le périmètre du rectangle est $P=2(L+\ell)$.
Par conséquent $40<2(L+\ell)\pp 90 \ssi 20<L+\ell\pp 45 \ssi 20-L<\ell\pp 45-L$.
Or $5<\ell \pp 8$

Il faut donc que $20-L<8$ et $45-L>5$ soit $L>12$ et $L< 40$

Par conséquent $L$ peut prendre des valeurs entières comprises entre $13$ et $39$ toutes les deux incluses.
$\quad$

Remarque : On pouvait également déterminer pour chaque valeur entière de $L$ inférieure ou égale à $45$ s’il existait une valeur de $\ell$ appartenant à $]5;8]$ permettant d’obtenir $P\in]40;90]$ (ou $20<L+\ell\pp 45$). À la main c’est un peu long mais un programme en Python permettrait de déterminer assez rapidement la plus petite valeur et la plus grande valeur de $\ell$ pour que $20<L+\ell\pp 45$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Déterminer tous les entiers naturels appartenant à chacun des intervalles suivants :

$$\left[-2;\sqrt{5}\right] \qquad [3;9[ \qquad \left]-\infty; \dfrac{28}{5}\right] $$

$\quad$

Correction Exercice 8

On a $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9} \ssi 2<\sqrt{5}<3$ donc les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[-2;\sqrt{5}]$ sont $0; 1$ et $2$.

Les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[3;9[$ sont $3; 4; 5; 6; 7$ et $8$.

$\dfrac{28}{5}=5,6$ par conséquent les entiers naturels appartenant à l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{28}{5}\right]$ sont $0; 1; 2; 3; 4$ et $5$.

$\quad$

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