2nd – Exercices – Mise en équation

Mise en équation

2nd – Exercices Corrigés

Exercice 1

Un théâtre propose des places à $15$ € et d’autres places à $20$ €. Le soir d’une représentation où il a affiché complet, la recette a été de $8~000$ €.
Le nombre des spectateurs était de $470$.
Déterminer le nombre de places à $15$ €, puis le nombre de places à $20$ €.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $n$ le nombre de places à $15$ €. Par conséquent $470-n$ places à $20$ € ont été vendues.
La recette est donc $15n+20(470-n)$.
On doit donc résoudre l’équation :

$\begin{align*} 15n+20(470-n)=8~000 &\ssi 15n+9~400-20n=8~000 \\
&\ssi -5n=-1~400 \\
&\ssi n=280\end{align*}$

$280$ places à $15$ € et $190$ places à $20$ € ont donc été vendues.

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$\quad$

Exercice 2

En augmentant de $7$ cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de $81$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du carré initial?

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle $x$ la longueur du côté initial.
L’aire du nouveau carré est donc $(x+7)^2$ et l’aire du carré initial est $x^2$.
On obtient par conséquent l’équation suivante :

$\begin{align*} (x+7)^2=x^2+81&\ssi (x+7)(x+7)=x^2+81\\
&\ssi x^2+7x+7x+49=x^2+81 \\
&\ssi 14x=81-49 \\
&\ssi 14x=32\\
&\ssi x=\dfrac{32}{14} \\
&\ssi x=\dfrac{16}{7}\end{align*}$

L’aire du carré initial est donc $\mathscr{A}=x^2=\left(\dfrac{16}{7}\right)^2=\dfrac{256}{49}$ cm$^2$.

Remarque : Si les identités remarquables ont été vues, il est tout à fait possible de les utiliser pour développer $(x+7)^2$ plus rapidement.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut $603$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $n$ le plus petit des deux entiers naturels. Les deux entiers naturels consécutifs sont donc $n$ et $n+1$.
On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} (n+1)^2-n^2=603&\ssi (n+1)(n+1)-n^2=603 \\
&\ssi n^2+n+n+1-n^2=603 \\
&\ssi 2n+1=603\\
&\ssi 2n=603-1\\
&\ssi 2n=602 \\
&\ssi n=301\end{align*}$

Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $301$ et $302$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $V=\dfrac{d}{T}$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps mis pour parcourir la distance $d$ (attention à la concordance des unités).

  1. Un automobiliste parcourt $36$ km en $18$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h?
    $\quad$
  2. Exprimer $T$ en fonction de $V$ et $d$.
    Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $30$ km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir $18$ km?
    $\quad$
  3. Exprimer $d$ en fonction de $V$ et $T$.
    Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de $110$ km/h pendant $42$ minutes.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $18$ min $= \dfrac{18}{60}$ h soit $0,3$ h. La vitesse moyenne de l’automobiliste est $V=\dfrac{36}{0,3}=120$ km/h.
    $\quad$
  2. $V=\dfrac{d}{T} \ssi T=\dfrac{d}{V}$.
    Ainsi si $V=30$ km/h et $d=18$ km alors $T=\dfrac{18}{30}=0,6$ h $=0,6\times 60$ min soit $36$ min.
    Le cycliste a donc mis $36$ min pour parcourir $18$ km à la vitesse moyenne de $30$ km/h
    $\quad$
  3. $V=\dfrac{d}{T}\ssi d=V\times T$
    Ainsi si $V=110$ km/h et $T=42$ min c’est-à-dire $\dfrac{42}{60}$ h soit $0,7$ h on obtient alors $d=110\times 0,7=77$ km.
    On a donc parcouru $77$ km en moto en roulant $42$ minutes à la vitesse moyenne de $110$ km/h.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Exprimer la longueur du rayon d’un disque en fonction de son aire.
Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de $30$ cm$^2$?

$\quad$

Correction Exercice 5

L’aire d’un disque est donnée par la formule $\mathscr{A}=\pi r^2$ où $r$ est le rayon du disque.
Ainsi $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi} $ et $r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}$ car $r>0$.

Par conséquent si $\mathscr{A}=30$ cm$^2$ alors $r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}$ cm.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Deux variables $x$ et $y$ sont liées par la relation $y=\dfrac{2x+1}{x+4}$ où $x$ est un réel différent de $-4$ et $y$ un réel différent de $2$.
Exprimer $x$ en fonction de $y$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Pour tout réel $x$ différent de $-4$ et tout réel $y$ différent de $2$ on a :

$\begin{align*} y=\dfrac{2x+1}{x+4}&\ssi (x+4)y=2x+1 \\
&\ssi xy+4y=2x+1 \\
&\ssi xy-2x=1-4y\\
&\ssi x(y-2)=1-4y \\
&\ssi x=\dfrac{1-4y}{y-2}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Quel même nombre doit-on ajouter à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{6}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $\dfrac{8}{7}$?
$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $x$ le nombre qu’on ajoute au numérateur et au dénominateur. On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} \dfrac{1+x}{6+x}=\dfrac{8}{7} &\ssi 7(1+x)=8(6+x) \\
&\ssi 7+7x=48+8x \\
&\ssi 7-48=8x-7x\\
&\ssi x=-41\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$