2nd – Exercices – pourcentages, évolutions successives et réciproques

Pourcentages – Évolutions successives et réciproques

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Au moment des soldes le prix d’un article baisse de $30\%$ puis de $10\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 1

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\\
&=0,7\times 0,9\\
&=0,63\\
&=1-\dfrac{37}{100}\end{align*}$

Le prix de l’article a donc baissé de $37\%$ au total.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de $3\%$ puis baissé de $1\%$. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 2

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)\\
&=1,03\times 0,99\\
&=1,019~7\\
&=1+\dfrac{1,97}{100}\end{align*}$

Le chiffre d’affaire a donc augmenté globalement de $1,97\%$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

La population d’une ville a augmenté de $2\%$ en 2017 puis de $3\%$ en 2018. Quel est le taux d’évolution global?
$\quad$

Correction Exercice 3

Le coefficient multiplicateur global est :
$\begin{align*} CM&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)\\
&=1,02\times 1,03\\
&=1,050~6\\
&=1+\dfrac{5,6}{100}\end{align*}$

Le nombre d’habitants a augmenté globalement de $5,6\%$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a baissé de $10\%$ en 2018. De quel pourcentage, arrondi à $0,1\%$ près, doit-il augmenter en 2019 pour compenser cette diminution?
$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $x$ le pourcentage cherché.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,9\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9} \\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,9}-1 \\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,9}-1\right) \end{align*}$
Ainsi $x\approx 11,1$

Il faut donc que le chiffre d’affaires augmente d’environ $11,1\%$ pour compenser la baisse précédente.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Le nombre d’abonnés à une newsletter a augmenté de $50\%$ en deux ans. La première année il a augmenté de $20\%$. Quel est le pourcentage d’augmentation de la deuxième année?
$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $x$ le pourcentage d’augmentation de la seconde année.
On a donc :
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=\left(1+\dfrac{50}{100}\right)&\ssi 1,2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1,5\\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}\\
&\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1,5}{1,2}-1\\
&\ssi x=100\left(\dfrac{1,5}{1,2}-1\right)\\
&\ssi x=25\end{align*}$

Le nombre d’abonnés a donc augmenté de $25\%$ la seconde année.
$\quad$

 

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer dans chacun des cas le taux d’évolution réciproque, arrondi à $0,01\%$ près.

  1. Une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. Une augmentation de $14\%$. Le coefficient multiplicateur associé est $1,14$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la baisse réciproque est $\dfrac{1}{1,14} \approx 0,877~2$.
    Or $0,877~2=1-\dfrac{12,28}{100}$
    Il faut donc appliquer une baisse d’environ $12,28\%$ pour compenser une augmentation de $14\%$.
    $\quad$
  2. Une diminution de $22,5\%$. Le coefficient multiplicateur est $1-0,226=0,775$
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,775}\approx 1,290~3$.
    Or $1,290~3=1+\dfrac{29,03}{100}$.
    Il faut donc appliquer une hausse d’environ $29,03\%$ pour compenser une baisse de $22,5\%$.
    $\quad$
  3. Une entreprise avait $125$ employés en 2017. En 2018, elle n’en compte plus que $113$.
    L’entreprise a perdu $12$ employés.
    $\dfrac{12}{113}\approx 0,106~2$.
    Il faut donc que le nombre d’employés augmente d’environ $10,62\%$ pour retrouvé la situation de 2017.
    Remarque : On pouvait également calculer le pourcentage associé à la baisse.
    $\quad$
  4. Un lycée compte $910$ élèves en 2018. En 2019, il accueille $35$ élèves supplémentaires.
    Le lycée a gagné $35$ élèves. Il compte donc $945$ élèves en 2019.
    $\dfrac{35}{945} \approx 0,037~0$
    Il faut que le nombre d’élèves baisse d’environ $3,70\%$ pour que retrouver la situation de 2018.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On mesure la hauteur d’eau d’un lac sur l’été. On obtient les hauteurs suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{mois}&\text{juin}&\text{juillet}&\text{août}\\
\hline
\text{hauteur en m}&5,4&5,3&5,1\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer les pourcentages de baisse de juin à juillet et de juillet à août, arrondi à $0,01\%$ près.
    $\quad$
  2. Déterminer le pourcentage de baisse global, arrondi à $0,01\%$.
    $\quad$
  3. En déduire de quel pourcentage, arrondi à $0,01\%$ près, la hauteur d’eau doit-elle augmenter pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $\dfrac{5,3-5,4}{5,4}\approx -0,185$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $1,85\%$ en juillet.
    $\dfrac{5,1-5,3}{5,3}\approx -0,377$ : La hauteur d’eau a baissé d’environ $3,77\%$ en août.
    $\quad$
  2. $\dfrac{5,1-5,4}{5,4}\approx -0,556$ : La hauteur d’eau a globalement baissé d’environ $5,56\%$.
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $5,56\%$ est $CM=1-\dfrac{5,56}{100}=0,944~4$.
    Le coefficient multiplicateur associé à la hausse réciproque est $\dfrac{1}{0,944~4}\approx 1,0589$.
    La hauteur d’eau doit donc augmenter d’environ $5,89\%$ pour retrouver son niveau de juin.
    $\quad$

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$\quad$