2nd – Exercices – Probabilités

Probabilités

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l’issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
Au cours d’une semaine, on a constaté que $6\%$ des lentilles présentent au moins un des deux défauts, $5\%$ des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et $3\%$ présentent une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

  • $A$ l’événement : “La lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux”;
  • $B$ l’événement : “La lentille prélevée présente une perméabilité à l’oxygène défectueuse”.
  1. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut”.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts”.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $C$ : “la lentille prélevée au hasard n’a qu’un seul des deux défauts”.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On sait que $p(A \cup B)=0,06$ et on veut calculer $p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A \cup B)=1-0,06=0,94$.
    $\quad$
  2. On sait que $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
    Donc $p(A\cap B)=p(A)-p(B)-p(A \cup B)=0,05+0,03-0,06=0,02$.
    $\quad$
  3. On veut donc calculer $p(A\cup B)-p(A\cap B)=0,06-0,02=0,04$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une classe de Seconde compte $28$ élèves. $12$ d’entre eux pratiquent la natation, $7$ le volley-ball et $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. On désigne au hasard un élève de la classe.

Calculer la probabilité qu’il pratique :

  1. l’un, au moins, des deux sports;
    $\quad$
  2. les deux sports.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. Sur les $28$ élèves, $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. Cela signifie donc que $28-13=15$ élèves pratiquent au moins l’un des deux sports. La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{15}{28}$.
    $\quad$
  2. Si on appelle $N$ l’événement “l’élève désigné pratique la natation”, et $V$ l’événement “l’élève désigné pratique le volley-ball” alors on a : $p(N)=\dfrac{12}{28}$, $p(V)=\dfrac{7}{28}$ et $p(N\cup V)=\dfrac{15}{28}$.
    Or $p(N\cup V)=p(N)+p(V)-p(N\cap V)$
    soit $p(N\cap V)=p(N)+p(V)-p(N\cup V)=\dfrac{12}{28}+\dfrac{7}{28}-\dfrac{15}{28}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une bijouterie contient $20\%$ de boucles d’oreilles, $40\%$ de colliers, et le reste en bracelets. $60\%$ des bijoux sont en argent. Il y a autant de colliers en or que de colliers en argent. Enfin, $75\%$ des bracelets sont en argent.

  1. Compléter le tableau :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& \phantom{\dfrac{1}{2}{1}} & & & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} &\phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles }\\
    \hline
    \text{Total }&\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} && & 100\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. On choisit au hasard un bijou. Soit $E_1$ l’événement “le bijou choisi est en argent” et $E_2$ l’événement “le bijou choisi est un bracelet”.
    a. Calculer $P\left(E_1\right)$ et $P\left(E_2\right)$.
    $\quad$
    b. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cap E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cap E_2\right)$.
    $\quad$
    c. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cup E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cup E_2\right)$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. Quelle est la probabilité qu’il soit en or?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
    \hline
    \text{En argent}& 10 &20 &30 & 60 \\
    \hline
    \text{En or} &10&20 & 10&40 \\
    \hline
    \text{Total }&20&40& 40& 100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. $P(E_1) = \dfrac{60}{100} = 0,6$ et $P(E_2) = \dfrac{40}{100} = 0,4$
    $\quad$
    b. $E_1 \cap E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est un bracelet en argent”.
    $P(E_1 \cap E_2) = \dfrac{30}{100} = 0,3$.
    c. $E_1 \cup E_2$ est l’événement “Le bijou choisi est soit un bracelet soit en argent”.
    $P(E_1 \cup E_2) = \dfrac{60 + 10}{100} = 0,7$.
    $\quad$
  3. L’objet choisi est un bracelet. La probabilité qu’il soit en or est donc de $\dfrac{10}{40} = 0,25$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

En fin de journée, la caissière d’un magasin relève tous les tickets de caisse qui lui permettent de savoir :

  • Le moyen de paiement utilisé par les acheteurs : Carte Bleue, Chèque ou Espèces.
  • Le montant des achats qu’elle classe en $2$ groupes : montant de moins de $10$ € et montant supérieur ou égal à $10$ €.

Pour la journée dont elle fait le bilan, il y a eu $200$ achats.

  • Il y a eu $50$ paiements par chèque;
  • Il y a eu autant de paiements en carte bancaire que de paiement en espèces;
  • Parmi les paiements en espèces, $15$ sont d’un montant supérieur ou égal à $10$ €;
  • Le tiers des achats payés par carte bancaire correspondent à un montant inférieur à $10$ €;
  • Le magasin n’accepte pas les chèques lorsque l’achat est d’un montant inférieur à $10$ €.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}& &0& & \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}& & & & \\
\hline
\text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50& & 200 \\
\hline
\end{array}$

  1. Compléter, sans justification, le tableau ci-dessus.
    $\quad$
  2. La caissière prend au hasard un ticket de caisse parmi les $200$, on suppose que tous les tickets de caisse ont la même probabilité d’être choisis. On considère les événements suivants :
    $A$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$ €”,
    $B$ : “le paiement a été fait par carte bancaire”,
    $C$ : “le paiement a été fait en espèces”.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $A$, puis celle de l’événement $B$.
    $\quad$
    b. Décrire en une phrase chacun des événements $A\cap B$ et $A\cup B$ puis calculer leur probabilité.
    $\quad$
    c. Décrire en une phrase l’événement $\conj{C}$, puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. La caissière a pris un ticket de caisse correspondant à un paiement par carte bancaire.
    Quelle est la probabilité que le montant de l’achat soit supérieur ou égal à $10$ €?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{25} &0&\boldsymbol{60} &\boldsymbol{85} \\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 €\end{array}&\boldsymbol{50} &\boldsymbol{50} &\boldsymbol{15} &\boldsymbol{115} \\
    \hline
    \text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}\boldsymbol{75}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50&\boldsymbol{75} & 200 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a. $p(A)=\dfrac{85}{200}=0,425$
    $p(B)=\dfrac{75}{200}=0,375$
    $\quad$
    b. $A\cap B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ et a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cap B)=\dfrac{25}{200}=0,125$
    $A\cup B$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$€ ou a été fait par carte bancaire”.
    $p(A\cup B)=\dfrac{85+50}{200}=\dfrac{135}{200}=0,675$
    $\quad$
    c. $\conj{C}$ : “le paiement n’a pas été fait en espèces”.
    $p\left(\conj{C}\right)=1-p(C)=1-\dfrac{75}{200}=\dfrac{125}{200}=0,625$.
    $\quad$
  3. Parmi les $75$ achats payés par carte bancaire $50$ ont un montant supérieur à $10$€.
    La probabilité cherchée est donc $p=\dfrac{50}{75}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$