Probabilités

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l’issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
Au cours d’une semaine, on a constaté que $6\%$ des lentilles présentent au moins un des deux défauts, $5\%$ des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et $3\%$ présentent une perméabilité à l’oxygène défectueuse.
On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

• $A$ l’événement : “La lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux”;
• $B$ l’événement : “La lentille prélevée présente une perméabilité à l’oxygène défectueuse”.

1. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut”.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité de l’événement “la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts”.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité de l’événement $C$ : “la lentille prélevée au hasard n’a qu’un seul des deux défauts”.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2

Une classe de Seconde compte $28$ élèves. $12$ d’entre eux pratiquent la natation, $7$ le volley-ball et $13$ ne pratiquent ni la natation, ni le volley-ball. On désigne au hasard un élève de la classe.

Calculer la probabilité qu’il pratique :

1. l’un, au moins, des deux sports;
   $\quad$
2. les deux sports.
   $\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Une bijouterie contient $20\%$ de boucles d’oreilles, $40\%$ de colliers, et le reste en bracelets. $60\%$ des bijoux sont en argent. Il y a autant de colliers en or que de colliers en argent. Enfin, $75\%$ des bracelets sont en argent.

1. Compléter le tableau :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \phantom{\dfrac{1}{2}{1}}&\begin{array}{c} \text{Boucles} \\\text{d’oreilles}\end{array}&\text{Colliers}&\text{Bracelets}&\text{Total} \\
   \hline
   \text{En argent}& \phantom{\dfrac{1}{2}{1}} & & & 60 \\
   \hline
   \text{En or} &\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} &\phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles } & \phantom{ d’oreilles }\\
   \hline
   \text{Total }&\phantom{\dfrac{1}{2}{1}} && & 100\\
   \hline
   \end{array}$$
2. On choisit au hasard un bijou. Soit $E_1$ l’événement “le bijou choisi est en argent” et $E_2$ l’événement “le bijou choisi est un bracelet”.
   a. Calculer $P\left(E_1\right)$ et $P\left(E_2\right)$.
   $\quad$
   b. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cap E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cap E_2\right)$.
   $\quad$
   c. Décrire avec une phrase l’événement $E_1 \cup E_2$. Calculer $P\left(E_1 \cup E_2\right)$.
   $\quad$
3. L’objet choisi est un bracelet. Quelle est la probabilité qu’il soit en or?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4

En fin de journée, la caissière d’un magasin relève tous les tickets de caisse qui lui permettent de savoir :

• Le moyen de paiement utilisé par les acheteurs : Carte Bleue, Chèque ou Espèces.
• Le montant des achats qu’elle classe en $2$ groupes : montant de moins de $10$ € et montant supérieur ou égal à $10$ €.

Pour la journée dont elle fait le bilan, il y a eu $200$ achats.

• Il y a eu $50$ paiements par chèque;
• Il y a eu autant de paiements en carte bancaire que de paiement en espèces;
• Parmi les paiements en espèces, $15$ sont d’un montant supérieur ou égal à $10$ €;
• Le tiers des achats payés par carte bancaire correspondent à un montant inférieur à $10$ €;
• Le magasin n’accepte pas les chèques lorsque l’achat est d’un montant inférieur à $10$ €.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\text{Paiement par}\\ \text{carte bancaire}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement par} \\\text{chèque}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Paiement en} \\\text{espèces}\end{array}&\phantom{123}\text{Total}\phantom{123} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant inférieur}\\ \text{à } 10\text{ €}\end{array}& &0& & \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Montant supérieur}\\ \text{ ou égal à } 10 \text{ €}\end{array}& & & & \\
\hline
\text{Total} &\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}} &50& & 200 \\
\hline
\end{array}$

1. Compléter, sans justification, le tableau ci-dessus.
   $\quad$
2. La caissière prend au hasard un ticket de caisse parmi les $200$, on suppose que tous les tickets de caisse ont la même probabilité d’être choisis. On considère les événements suivants :
   $A$ : “le montant de l’achat est inférieur à $10$ €”,
   $B$ : “le paiement a été fait par carte bancaire”,
   $C$ : “le paiement a été fait en espèces”.
   a. Calculer la probabilité de l’événement $A$, puis celle de l’événement $B$.
   $\quad$
   b. Décrire en une phrase chacun des événements $A\cap B$ et $A\cup B$ puis calculer leur probabilité.
   $\quad$
   c. Décrire en une phrase l’événement $\conj{C}$, puis calculer sa probabilité.
   $\quad$
3. La caissière a pris un ticket de caisse correspondant à un paiement par carte bancaire.
   Quelle est la probabilité que le montant de l’achat soit supérieur ou égal à $10$ €?
   $\quad$

$\quad$