Probabilités totales

Exercices corrigés

Exercice 1

Une usine fabrique des tubes.
Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

$ 96 \%$ des tubes ont une épaisseur conforme ;
parmi les tubes qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
$3,6 \%$ des tubes ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube au hasard dans la production et on considère les événements :

$E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
$L$ : « la longueur du tube est conforme ».
On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :

Recopier et compléter entièrement cet arbre.
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
$\quad$

Correction Exercice 1

On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
&=0,96\times 0,95+0,036 \\
&=0,948\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Lors d’une soirée, une chaîne de télévision a retransmis un match. Cette chaîne a ensuite proposé une émission d’analyse de ce match.
On dispose des informations suivantes :

$56 \%$ des téléspectateurs ont regardé le match ;
un quart des téléspectateurs ayant regardé le match ont aussi regardé l’émission ;
$16,2 \%$ des téléspectateurs ont regardé l’émission.

On interroge au hasard un téléspectateur. On note les événements :

$M$ : « le téléspectateur a regardé le match » ;
$E$ : « le téléspectateur a regardé l’émission ».

On note $x$ la probabilité qu’un téléspectateur ait regardé l’émission sachant qu’il n’a pas regardé le match.

Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
$\quad$
Déterminer la probabilité de $M\cap E$.
$\quad$
a. Vérifier que $P(E) = 0,44x + 0,14$.
$\quad$
b. En déduire la valeur de $x$.
$\quad$
Le téléspectateur interrogé n’a pas regardé l’émission. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il ait regardé le match ?
$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(M\cap E)&=P(M)\times P_M(E) \\
&=0,56\times 0,25\\
&=0,14\end{align*}$
$\quad$
a. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(E)&=P(M\cap E)+P\left(\conj{M}\cap E\right) \\
&=0,14+0,44x\end{align*}$
$\quad$
b. On sait que $P(E)=0,162$
Par conséquent $0,44x+014=0,162\ssi 0,44x=0,022\ssi x=0,05$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{E}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{E}\cap M\right)}{1-P(E)} \\
&=\dfrac{0,75\times 0,56}{0,838}\\
&\approx 0,50\end{align*}$
La probabilité que le téléspectateur ait regardé le match sachant qu’il n’a pas regardé l’émission est environ égale à $0,50$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
$\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
$\quad$
Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
$\quad$
Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
$\quad$
Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$

Correction Exercice 3

On obtient l’arbre de pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=P\left(R_1\right) \times P_{R_1}\left(R_2\right)\\
&=0,9\times 0,95 \\
&=0,855\end{align*}$
$\quad$
$R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
&=0,855+0,1\times 0,2\\
&=0,875\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{R_2}\left(\conj{R_1}\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
&=\dfrac{0,02}{0,875} \\
&\approx 0,023\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait $52 \%$ de femmes. Cette même année, $92 \%$ des Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les consommateurs de produits bio, $55 \%$ étaient des femmes.

On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :

$F$ l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
$H$ l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
$B$ l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».

Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements $F$ et $B$.
$\quad$
a. Montrer que $P(F\cap B)= 0,506$.
$\quad$
b. En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
$\quad$
Calculer $P_H\left(\conj{B}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a $P(F)=0,52$, $P(B)=0,92$ et $P_B(F)=0,55$.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*}P(F\cap B)&=P_B(F)\times P(B)\\
&=0,55\times 0,92\\
&=0,506\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P_F(B)&=\dfrac{P(F\cap B)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,506}{0,52} \\
&\approx 0,973\end{align*}$
La probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme, est environ égale à $0,973$.
$\quad$
On a : $P\left(\conj{B}\right)=1-P(B)=0,08$.
De plus $P_F(B)=0,973$ (valeur arrondie) donc $P_F\left(\conj{B}\right)=0,027$
Par conséquent $P\left(F\cap \conj{B}\right)=0,027\times 0,52=0,014~04$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} & P\left(\conj{B}\right)=P\left(H\cap \conj{B}\right)+P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
\ssi & 0,08=P\left(H\cap \conj{B}\right)+0,014~04\\
\ssi & P\left(H\cap \conj{B}\right)=0,065~96\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right)}{P(H)} \\
&=\dfrac{0,065~96}{1-0,52}\\
&\approx 0,137\end{align*}$
La probabilité qu’une personne n’ait jamais consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est un homme, est environ égale à $0,137$.
$\quad$
Autre méthode (donnant une valeur exacte)
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} &P(H)=P\left(\conj{B}\cap H\right)+P(B\cap H) \\
&\ssi P\left(\conj{B}\cap H\right)=P(H)-P(B\cap H) \\
&\ssi P\left(\conj{B}\cap H\right)=P(H)-\left(P(B)-P(B\cap F)\right) \\
&\ssi P\left(\conj{B}\cap H\right)=0,48-0,92+0,506\\
&\ssi P\left(\conj{B}\cap H\right)=0,066\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} P_H\left(\conj{B}\right)&=\dfrac{P\left(H\cap \conj{B}\right) }{P(H)}\\
&=\dfrac{0,066}{1-0,48} \\
&=0,137~5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près.

Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et cela par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, des ondes radio …
Une suite de $8$ bits est appelé un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet.
On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0,922$ ;
la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0,075$ ;
si les huit bits (octet) ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;
si les huit bits (octet) ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0,9$ ;
si les huit bits (octet) ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0,99$ ;

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les évènements suivants :

$Z$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec aucune erreur » ;
$E$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
$D$ : « les huit bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
$B$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».

Compléter l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?
$\quad$
Calculer la probabilité de l’événement $B$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(E\cap B)&=p(E)\times p_E(B) \\
&=0,075\times 0,9 \\
&=0,067~5\end{align*}$

La probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit

transmis sans erreur est $0,067~5$.
$\quad$
Les événements $Z$, $E$ et $D$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}p(B)&= p(Z\cap B)+p(E\cap B)+p(D\cap B) \\
&=0,922\times 0,99+0,075\times 0,9+0,003\times 0,99\\
&=0,983~25\end{align*}$
La probabilité de l’événement $B$ est donc égale à $0,983~25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

un panier de petite taille;
un panier de taille moyenne;
un panier de grande taille.

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

$A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
$B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
$C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
$F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous:

Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
$\quad$
b. Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
$\quad$
c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
$\quad$
Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
$\quad$
b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
$\quad$

Correction Exercice 6

a. On veut calculer :
$\begin{align*}P(A\cap F)&=P(A) \times P_A(F) \\
&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*}P\left(B\cap \conj{F}\right)&= P(B)\times P_B\left(\conj{F}\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)\\
&=\dfrac{1}{10}\end{align*}$.
La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
$\quad$
c. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
&=0,65+P(C\cap F) \\
&>0,6\end{align*}$
On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
$\quad$
a. D’après la question précédente, on a :
$\begin{align*} &P(F)=0,65+P(C\cap F)\\
&\ssi 0,675=0,65+P(C\cap F)\\
&\ssi P(C\cap F) =0,025\end{align*}$
De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
Ainsi :
$\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
&=0,3\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,025}{0,675} \\
&=\dfrac{1}{27} \\
&\approx 0,04\end{align*}$
La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s’intéresse à la gestion des roulements de ses rollers.

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu’il vend sont sans défaut avec une probabilité de $0,97$.
Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de $0,05$.

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : « le roulement provient du fournisseur A »,
$B$ : « le roulement provient du fournisseur B »,
$D$ : « le roulement est défectueux ».

Le club achète $40\%$ de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
a. Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
$\quad$
b. Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B.
$\quad$
Si le club souhaite que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
$\quad$

Correction Exercice 7

a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
Par conséquent
$\begin{align*} P(A\cap D)&=p(A)\times p_A(D) \\
&=0,4\times 0,03\\
&=0,012\end{align*}$.
La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
$\quad$
b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(B\cap D)&=p(B)\times p_B(D) \\
&=0,6\times 0,05\\
&=0,03\end{align*}$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
&=0,012+0,03\\
&=0,042\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
&=\dfrac{0,03}{0,042} \\
&\approx 0,714\end{align*}$
La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
$\quad$
On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements finis.
D’après la formule des probabilités totales on a donc :
$\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
&=0,03x+0,05(1-x) \\
&=0,05-0,02x\end{align*}$
On veut donc résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
&\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
&\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Une antenne relais chargée d’acheminer des communications est exploitée par trois opérateurs : l’opérateur A, l’opérateur B et l’opérateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications téléphoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des données suivantes :

$40 \%$ des communications passent par l’opérateur A;
$25 \%$ des communications passent par l’opérateur B;
$10 \%$ des communications passant par l’opérateur A utilisent le canal vocal;
$20 \%$ des communications passant par l’opérateur B utilisent le canal vocal;
$20 \%$ de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.

On choisit une communication au hasard et on considère les évènements :

$A$ : « la communication passe par l’opérateur A »;
$B$ : « la communication passe par l’opérateur B »;
$C$ : « la communication passe par l’opérateur C »;
$V$ : « la communication utilise le canal vocal ».

À l’aide des valeurs de l’énoncé, compléter les pointillés indiqués sur les branches de l’arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal.
$\quad$
La communication passe par l’opérateur C. Quelle est la probabilité qu’elle soit acheminée par le canal vocal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 8

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}p(A\cap V)&=p(A)\times p_A(V) \\
&=0,4\times 0,1\\
&=0,04\end{align*}$
La probabilité que la communication passe par l’opérateur A et utilise le canal vocal est égale à $0,04$.
$\quad$
$A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V) \\
\ssi &0,2=0,04+0,25\times 0,2+p(C\cap V) \\
\ssi p(C\cap V)=0,11\end{align*}$
On voulait déterminer :
$\begin{align*} p_C(V)&=\dfrac{p(C\cap V)}{p(C)} \\
&=\dfrac{0,11}{0,35} \\
&=\dfrac{11}{35} \\
&\approx 0,314\end{align*}$
La probabilité que la communication soit acheminée par le canal vocal sachant qu’elle passe par l’opérateur C est environ égale à $0,314$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$