2nd – Exercices – Probabilités

Exercice 1

On tire une carte d’un jeu de $32$ cartes.

On note les événements :

  • $P$ : “La carte tirée est un pique”;
  • $T$ : “La carte tirée est un trèfle”;
  • $C$ : “La carte tirée est un cœur”;
  • $R$ : “La carte tirée est un roi”;
  • $D$ : “La carte tirée est une dame”;
  • $N$ : “La carte tirée est un $7$, un $8$, un $9$ ou un $10$.”
  1. Décrire les événements suivants à l’aide d’une phrase :
    $$\begin{array}{ccccccc}
    \overline{T}& \quad & \overline{D}&\quad& P \cap D&\quad& T \cap R \\\\
    P \cup T&\quad& R \cup D&\quad& \overline{T} \cup D& &
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Écrire les événements suivants à l’aide des événements $P,T,C,R,D$ et $N$.
    a. “La carte tirée n’est pas un cœur.”
    $\quad$
    b. “La carte tirée est une dame ou un roi.”
    $\quad$
    c. “La carte tirée n’est pas un nombre.”
    $\quad$
    d. “La carte tirée est une dame différente de la dame de pique.”
    $\quad$
    e. “La carte tirée est le roi de cœur.”
    $\quad$
    f. “La carte tirée est un roi différent du roi de pique.”
    $\quad$
    g. “La carte tirée n’est ni une dame, ni un trèfle.”
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\overline{T}$ : ” La carte tirée n’est pas un trèfle”.
    $\overline{D}$ : ” La carte tirée n’est pas une dame”.
    $P \cap D$ : ” La carte tirée est la dame de pique”.
    $T \cap R$ : ” La carte tirée est le roi de trèfle”.
    $P \cup T$ : ” La carte tirée est un pique ou un trèfle”.
    $R \cup D$ : ” La carte tirée est un roi ou une dame”.
    $\overline{T} \cup D$ : ” La carte tirée n’est pas un trèfle ou est une dame”.
    $\quad$
  2. a. “La carte tirée n’est pas un cœur.” : $\overline{C}$
    $\quad$
    b. “La carte tirée est une dame ou un roi.” : $D \cup R$
    $\quad$
    c. “La carte tirée n’est pas un nombre.” : $\overline{N}$
    $\quad$
    d. “La carte tirée est une dame différente de la dame de pique.” : $D \cap \overline{P}$
    $\quad$
    e. “La carte tirée est le roi de cœur.” : $R \cap C$
    $\quad$
    f. “La carte tirée est un roi différent du roi de pique.” $R \cap \overline{P}$
    $\quad$
    g. “La carte tirée n’est ni une dame, ni un trèfle.” : $\overline{D \cup T}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On lance un dé tétraédrique non équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$.
On note $p_i$ la probabilité d’obtenir la face portant le nombre $i$.
Les réels $p_i$ vérifient les relations suivantes : $p_1=p_2$, $p_3=2p_1$ et $p_4=p_3$.

  1. Déterminer $p_i$ pour tout entier $i\in \{1,2,3,4\}$.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité de l’événement $\{1,3\}$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On sait que $p_1+p_2+p_3+p_4=1$
    Donc $p_1+p_1+2p_1+2p_1=1$
    Soit $6p_1=1$
    et $p_1=\dfrac{1}{6}$
    Ainsi $p_1=p_2=\dfrac{1}{6}$ et $p_3=p_4=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $\{1;3\}$ est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
    Ainsi la probabilité de cet événement est égale à $p_1+p_3=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{2}$.

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$\quad$

Exercice 3

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes.
Quelle est la probabilité des événements suivants?

  1. $A$ : “la carte tirée est le valet de trèfle.”
    $\quad$
  2. $B$ : “la carte tirée est un valet.”
    $\quad$
  3. $C$ : “la carte tirée est une figure.”
    $\quad$
  4. $D$ : “La carte tirée est un cœur.”
    $\quad$
  5. $E$ : “La carte tirée est une figure ou un pique.”
    $\quad$
  6. $F$ : “La carte tirée est une figure mais pas un carreau.”
    $\quad$
  7. $G$ : “La carte tirée est une dame rouge.”
    $\quad$
  8. $H$ : “La carte tirée est un nombre.”
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $A$ : “la carte tirée est le valet de trèfle.” $p(A)=\dfrac{1}{32}$
    $\quad$
  2. $B$ : “la carte tirée est un valet.” $p(B)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
    $\quad$
  3. $C$ : “la carte tirée est une figure.” $p(C)=\dfrac{12}{32} =\dfrac{3}{8}$
    $\quad$
  4. $D$ : “La carte tirée est un cœur.” $p(D)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  5. $E$ : “La carte tirée est une figure ou un pique.” $p(E)=\dfrac{8+3\times 3}{32} = \dfrac{17}{32}$
    $\quad$
  6. $F$ : “La carte tirée est une figure mais pas un carreau.” $p(F)=\dfrac{3\times 3}{32} = \dfrac{9}{32}$
    $\quad$
  7. $G$ : “La carte tirée est une dame rouge.” $p(G)=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}$
    $\quad$
  8. $H$ : “La carte tirée est un nombre.” $p(H) = \dfrac{4\times 4}{32} = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Soit $E$ un exemple d’issues possibles à l’occasion d’une expérience aléatoire : $E=\{1;2;3;4;5;6;7\}$.
Les sept événements élémentaires sont équiprobables.

On considère les événements $A=\{2;3;4\}$, $B=\{3;4;5;7\}$ et $C=\{1;5\}$.

  1. Calculer les probabilités suivantes $p(A)$ ; $p(B)$ ; $p(C)$ ; $p(A \cap B)$ ; $p(A \cup C)$ ; $p\left(\overline{A}\right)$ ; $p\left(\overline{B}\right)$.
    $\quad$
  2. Calculer $p(A\cup B)$ de deux façons.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $p(A)=\dfrac{3}{7}$
    $p(B)=\dfrac{4}{7}$
    $p(C)=\dfrac{2}{7}$
    $A\cap B=\{3;4\}$ donc $p(A \cap B)=\dfrac{2}{7}$
    $A \cup C = \{1;2;3;4;5\}$ donc $p(A \cup C)=\dfrac{5}{7}$
    $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=\dfrac{4}{7}$
    $p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=\dfrac{3}{7}$
    $\quad$
  2. On peut utiliser la formule :
    $p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B) = \dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$.
    Autre méthode : $A\cup B=\{2;3;4;5;7\}$
    Donc $p(A \cup B)=\dfrac{5}{7}$

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$\quad$

Exercice 5

Dans un lycée de $1~200$ élèves, il y a $700$ filles et $500$ élèves en seconde, dont $300$ filles.

On choisit au hasard un élève du lycée.

Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

  • $F$ : “L’élève choisi est une fille”;
    $\quad$
  • $S$ : “L’élève choisi est un élève de seconde”;
    $\quad$
  • $C$ : “L’élève choisi est une fille ou un élève de seconde”.
    $\quad$
Correction Exercice 5

$p(F)=\dfrac{700}{1~200} = \dfrac{7}{12}$

$p(S)=\dfrac{500}{1~200} = \dfrac{5}{12}$

$\begin{align*} p(C)&=p(S)+p(F)-p(S\cap F)\\
&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{300}{1~200} \\
&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{3}{12}\\
&=\dfrac{9}{12}\\
&=\dfrac{3}{4}
\end{align*}$

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$\quad$

Exercice 6

Dans un groupe de $20$ personnes, $10$ personnes s’intéressent à la pêche, $8$ à la lecture et $5$ ne s’intéressent ni à la pêche, ni à la lecture.

On désigne au hasard une personne du groupe. Calculer la probabilité pour qu’elle s’intéresse :

  1. à l’une au moins des deux activités.
    $\quad$
  2. aux deux activités.
    $\quad$
  3. seulement à la lecture.
    $\quad$
Correction Exercice 6

On appelle $P$ l’événement “la personne s’intéresse à la pêche” et $L$ l’événement “la personne s’intéresse à la lecture”.

  1. $p(P \cup L)=1-\dfrac{5}{20}=\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
  2. $p(P \cup L)=p(P)+p(L)-p(P\cap L)$
    Soit $\dfrac{15}{20}=\dfrac{10}{20}+\dfrac{8}{20}-p(P\cap L)$
    Donc $p(P\cap L)=\dfrac{3}{20}$
    $\quad$
  3. $p(L)=\dfrac{8-3}{20}=\dfrac{1}{4}$

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$\quad$

Exercice 7

Une urne contient $3$ boules, une noire, une blanche et une rouge. On tire une boule au hasard. On note sa couleur, on la remet dans l’urne puis on tire de nouveau au hasard une boule dont on note la couleur. On représente un tirage par un couple dont le premier élément est la première boule tirée et le second élément, la deuxième boule tirée.

Les probabilités seront exprimées à l’aide de fractions irréductibles puis arrondies au centième.

  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de ne piocher aucune boule blanche?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité de piocher au moins une boule blanche?
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité de piocher deux boules de même couleur?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. On appelle :
    $\bullet$ $N$ l’événement “tirer une boule noire”
    $\bullet$ $B$ l’événement “tirer une boule blanche”
    $\bullet$ $R$ l’événement “tirer une boule rouge”2nd-probas-ex7
  2. Il y a quatre tirages sans boules blanches.
    Ainsi la probabilités cherchée est de $\dfrac{4}{9}$.
    $\quad$
  3. Il y a cinq tirages qui contiennent au moins une boule blanche.
    Ainsi la probabilité cherchée est de $\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$
  4. Trois tirages ne contiennent que des boules de même couleur.
    La probabilité cherchée est de $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

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$\quad$

Exercice 8

La direction d’une salle de spectacle fait une enquête sur les personnes qui assistent aux spectacles. Au cours des six derniers mois, on a relevé les données suivantes :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Femmes} & \text{Hommes} & \text{Total} \\
\hline
\text{Moins de 25 ans} & 75 & &129 \\
\hline
\text{Entre 25 et 40 ans} & & &\\
\hline
\text{Entre 40 et 60 ans} & & 270 & 580 \\
\hline
\text{Plus de 60 ans} & 284 & & 450 \\
\hline
\text{Total} & 840 & & 1~500 \\
\hline
\end{array}$

  1. Compléter le tableau.
    $\quad$
  2. Une personne se présente pour assister au nouveau spectacle.
    Déterminer la probabilité des événements suivants :
    $\bullet$ $A$ : “La personne est une femme de moins de $25$ ans”;
    $\quad$
    $\bullet$ $B$ : “La personne est un homme de plus de $60$ ans”;
    $\quad$
    $\bullet$ $C$ : “La personne a entre $25$ et $40$ ans”;
    $\quad$
    $\bullet$ $D$ : “La personne est une femme qui a entre $25$ et $60$ ans”;
    $\quad$
    $\bullet$ $E$ : “La personne est un homme de moins de $60$ ans”;
    $\quad$
    $\bullet$ $F$ : “La personne est une femme”.
    $\quad$
  3. La personne qui entre est une femme. Déterminer la probabilité pour que cette personne ait plus de $60$ ans.
    $\quad$
  4. La personne qui entre a plus de $40$ ans. Déterminer la probabilité pour que cette personne soit un homme.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & \text{Femmes} & \text{Hommes} & \text{Total} \\
    \hline
    \text{Moins de 25 ans} & 75 &54 &129 \\
    \hline
    \text{Entre 25 et 40 ans} &171 & 170&341\\
    \hline
    \text{Entre 40 et 60 ans} & 310& 270 & 580 \\
    \hline
    \text{Plus de 60 ans} & 284 &166 & 450 \\
    \hline
    \text{Total} & 840 &660 & 1~500 \\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. $p(A)=\dfrac{75}{1~500}=\dfrac{1}{20}$
    $p(B)=\dfrac{166}{1~500}=\dfrac{83}{750}$
    $p(C)=\dfrac{341}{1~500}$
    $p(D)=\dfrac{171+310}{1~500}=\dfrac{481}{1~500}$
    $p(E)=\dfrac{54+170+270}{1~500}=\dfrac{247}{750}$
    $p(F)=\dfrac{840}{1~500}=\dfrac{14}{25}$
    $\quad$
  3. La probabilité cherchée est de $\dfrac{284}{840}=\dfrac{71}{210}$
    $\quad$
  4. La probabilité cherchée est de $\dfrac{270+166}{580+450}=\dfrac{218}{515}$

 

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