2nd – Exercices – Racines carrées et identités remarquables

Racines carrées et identités remarquables

Exercice 1

Développer à l’aide des identités remarquables

  1. $A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  2. $B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
    $\quad$
  3. $C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
    $\quad$
  4. $D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  5. $E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  6. $F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
    $\quad$
  7. $G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
    $\quad$
  8. $H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
    $\quad$
  9. $I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
    $\quad$
  10. $J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. $\quad$
    $\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=3-2\sqrt{15}+5 \\
    &=8-2\sqrt{15}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
    &=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
    &=2+6\sqrt{10}+45 \\
    &=47+6\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
    &=2-3 \\
    &=-1
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=5-2\sqrt{10}+2 \\
    &=7-2\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20+12\sqrt{10}+18 \\
    &=38+12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
    &=9\times 2-9 \\
    &=18-9\\
    &=9
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
    &=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
    &=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
    &=18+6\sqrt{2}+1 \\
    &=19+6\sqrt{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  8. $\quad$
    $\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
    &=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
    &=4\times 3-1\\
    &=12-1\\
    &=11
    \end{align*}$
    $\quad$
  9. $\quad$
    $\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
    &=20-12\sqrt{10}+18\\
    &=38-12\sqrt{10}
    \end{align*}$
    $\quad$
  10. $\quad$
    $\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
    &=3-2\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 – Difficulté +

Pour tout réel $x$ positif, déterminer l’inverse de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Cet inverse sera écrit sans fraction.

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour tout réel $x$ positif on a :

$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \quad (*)\\
&=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} \\
&=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\end{align*}$

À l’étape $(*)$, au dénominateur, on se retrouve, en effet, avec :
$\begin{align*} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)&=\sqrt{x+1}^2-\sqrt{x}^2\\
&=x+1-x\\
&=1\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4 

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

Comparer les nombres $\dfrac{x+y}{2}$ et $\sqrt{xy}$.

Remarque : $a=\dfrac{x+y}{2}$ est appelée la moyenne arithmétique et $g=\sqrt{xy}$ la moyenne géométrique des deux réels $x$ et $y$.
Géométriquement, si on considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $y$, alors $a$ est la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle et $g$ est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à celle du rectangle.

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

$\begin{align*} \dfrac{x+y}{2}-\sqrt{xy}&=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}^2}{2} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \\
&\pg 0\end{align*}$

Par conséquent $\dfrac{x+y}{2}\pg \sqrt{xy}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$