Racines carrées et identités remarquables

Exercice 1

Développer à l’aide des identités remarquables

$A=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$
$\quad$
$D=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2$
$\quad$
$E=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2$
$\quad$
$F=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right)$
$\quad$
$G=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2$
$\quad$
$H=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right)$
$\quad$
$I=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2$
$\quad$
$J=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$
$\begin{align*} A&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2 \\
&=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times \sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2 \\
&=3-2\sqrt{15}+5 \\
&=8-2\sqrt{15}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\left(\sqrt{2}+3\sqrt{5}\right)^2 \\
&=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2 \\
&=2+6\sqrt{10}+9\times 5 \\
&=2+6\sqrt{10}+45 \\
&=47+6\sqrt{10}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
&=\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2 \\
&=2-3 \\
&=-1
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} D&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2 \\
&=\left(\sqrt{5}\right)^2-2\sqrt{5}\times \sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
&=5-2\sqrt{10}+2 \\
&=7-2\sqrt{10}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} E&=\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)^2 \\
&=\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
&=4 \times 5+12\sqrt{10}+9\times 2 \\
&=20+12\sqrt{10}+18 \\
&=38+12\sqrt{10}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\left(3\sqrt{2}-3\right)\left(3\sqrt{2}+3\right) \\
&=\left(3\sqrt{2}\right)^2-9 \\
&=9\times 2-9 \\
&=18-9\\
&=9
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} G&=\left(3\sqrt{2}+1\right)^2 \\
&=\left(3\sqrt{2}\right)^2+2\times 3\sqrt{2}\times 1+1^2 \\
&=9 \times 2+6\sqrt{2}+1 \\
&=18+6\sqrt{2}+1 \\
&=19+6\sqrt{2}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} H&=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(2\sqrt{3}+1\right) \\
&=\left(2\sqrt{3}\right)^2-1^2 \\
&=4\times 3-1\\
&=12-1\\
&=11
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}I&=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)^2 \\
&=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}+\left(3\sqrt{2}\right)^2 \\
&=4\times 5-12\sqrt{10}+9\times 2 \\
&=20-12\sqrt{10}+18\\
&=38-12\sqrt{10}
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} J&=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \\
&=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2 \\
&=3-2\\
&=1
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 – Difficulté +

Écrire sans racine carrée au dénominateur les fractions suivantes :

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}$
$\quad$
$B=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}$
$\quad$
$C=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
$D=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}$
$\quad$
$E=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{2}{1-\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{1-2}\\
&=-2-2\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt{3}+2}\times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{\sqrt{3}^2-2^2}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}-10}{3-4}\\
&=-5\sqrt{3}+10\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{7}{4-2\sqrt{3}}\times \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-2^2\times 3}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{16-12}\\
&=\dfrac{28+14\sqrt{3}}{4}\\
&=\dfrac{14+7\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{3}{7+2\sqrt{2}}\times \dfrac{7-2\sqrt{2}}{7-2\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{7^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2} \\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{49-4\times 2}\\
&=\dfrac{21-6\sqrt{2}}{41}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 – Difficulté +

Pour tout réel $x$ positif, déterminer l’inverse de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Cet inverse sera écrit sans fraction.

$\quad$

Correction Exercice 3

Pour tout réel $x$ positif on a :

$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \quad (*)\\
&=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} \\
&=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\end{align*}$

À l’étape $(*)$, au dénominateur, on se retrouve, en effet, avec :
$\begin{align*} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)&=\sqrt{x+1}^2-\sqrt{x}^2\\
&=x+1-x\\
&=1\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

Comparer les nombres $\dfrac{x+y}{2}$ et $\sqrt{xy}$.

Remarque : $a=\dfrac{x+y}{2}$ est appelée la moyenne arithmétique et $g=\sqrt{xy}$ la moyenne géométrique des deux réels $x$ et $y$.
Géométriquement, si on considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $y$, alors $a$ est la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle et $g$ est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à celle du rectangle.

$\quad$

Correction Exercice 4

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

$\begin{align*} \dfrac{x+y}{2}-\sqrt{xy}&=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}^2}{2} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \\
&\pg 0\end{align*}$

Par conséquent $\dfrac{x+y}{2}\pg \sqrt{xy}$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$