2nd – Exercices – Second degré

Exercice 1

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
On appelle $\mathscr{P}$ sa courbe représentative dans un repère.

  1. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr{P}$. Quel type d’extremum admet la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $f(x)=2$.
    Retrouver l’abscisse du sommet de la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1.  la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x+2$.
    Donc $a=1$, $b=6$ et $c=2$.
    Le sommet de la parabole a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-3$.
    Son ordonnée est $\beta=f(-3)=(-3)^2+6\times (-3)+2=-7$
    De plus $a=1>0$
    Donc le tableau de variation de la fonction $f$ est :

    $\quad$
  2. D’après le tableau précédent, le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-3;-7)$.
    Puisque $a=1>0$, il s’agit d’un minimum.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi x^2+6x+2=2 \\
    &\ssi x^2+6x=0 \\
    &\ssi x(x+6)=0
    \end{align*}$
    Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $x=0$ ou $x+6=0$
    Soit $x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $-6$.
    $\quad$
    Le sommet appartient à l’axe de symétrie de la parabole. Donc l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+(-6)}{2}=-3$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+4x+5$.

  1. Montrer que $f(x)=(x+2)^2+1$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f(x)\pg 1$ pour tout réel $x$. En déduire que la fonction $f$ admet un minimum.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $\quad$
    $\begin{align*} (x+2)^2+1&=x^2+4x+4+1 \\
    &=x^2+4x+5\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$, on a $(x+2)^2 \pg 0$
    Par conséquent $(x+2)^2 +1\pg 1$
    C’est-à-dire $f(x) \pg 1$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x) \pg 1$ et $f(-2)=(-2+2)^2+1=1$.
    Par conséquent la fonction $f$ admet $1$ pour minimum atteint pour $x=-2$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$

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$\quad$


$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x-1)(x+5)$.

  1. Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On a $f(x)=2(x-1)(x+5)$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+5=0 \ssi x=-5$ et $x+5>0 \ssi x>-5$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. D’après la question précédente on a $f(1)=f(-5)=0$.
    Puisque le sommet de la parabole représentant la fonction $f$ appartient à l’axe de symétrie, l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{1+(-5)}{2}=-2$.
    Son ordonnée est $f(-2)=2(-2-1)(-2+5)=-18$.
    Le coefficient principal est $a=-2<0$.
    Le tableau de variation est donc :

    $\quad$
    Remarque : On pouvait également développer l’expression de $f(x)$ et retrouver l’abscisse du sommet à l’aide la formule $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction polynôme du second degré $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Compléter le tableau de variation.

$\quad$

Correction Exercice 4

$f$ est une fonction du second degré. Pour tout réel $x$, il existe trois réels $a$, $\alpha$ et $\beta$ tels que :
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique).
Le tableau de variation nous dit que $\alpha=2$ et $\beta =10$.
Ainsi $f(x)=a(x-2)^2+10$.
On sait de plus que :
$\begin{align*} f(8)=1 &\ssi a(8-2)^2+10=1 \\
&\ssi a\times 6^2=-9 \\
&\ssi 36a=-9 \\
&\ssi a=-\dfrac{9}{36} \\
&\ssi a=-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+10$

Ainsi $f(-2)=-\dfrac{1}{4}(-2-2)^2+10=-\dfrac{1}{4}\times 16+10=6$

On obtient donc le tableau de variation suivant :

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$\quad$

Exercice 5

Montrer que les expressions suivantes définissent la même fonction polynôme du second degré.

$$A(x)=-3(x-2)^2+75 \quad \text{et} \quad B(x)=3(7-x)(x+3)$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A(x)&=-3(x-2)^2+75 \\
&=-3\left(x^2-4x+4\right)+75 \\
&=-3x^2+12x-12+75 \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

$\begin{align*} B(x)&=3(7-x)(x+3) \\
&=3\left(7x+21-x^2-3x\right) \\
&=3\left(-x^2+4x+21\right) \\
&=-3x^2+12x+63
\end{align*}$

Par conséquent $A(x)=B(x)=-3x^2+12x+63$. Les deux expressions définissent donc bien la même fonction polynôme du second degré.
$\quad$

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$\quad$