On peut saisir $=B2*C3/B3$

1. La moyenne est donnée par $\overline{x}=\dfrac{5 \times 2 + 7\times 4 + \ldots + 18 \times 2}{35}=\dfrac{397}{35} \approx 11,34$.
   $\quad$
2. On obtient les effectifs cumulés croissants  (ECC) suivants :
   $$\begin{array}{||l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
   \text{Notes}& 5 & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
   \hline
   \text{Effectifs}& 2 & 4 &4 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2 & 3 & 2 \\
   \hline
   \text{ECC}&2 & 6 &10 &16 &20 &23 &28 &30 &33 &35 \\
   \hline
   \end{array}$$
   Cela signifie donc que $50\%$ des notes sont inférieures ou égales à $11$ et que $50\%$ des notes sont supérieures ou égales à $11$.
   $\quad$
3. $\dfrac{35}{4} = 8,75$ : le premier quartile est donc la $9^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_1 = 8$.$\dfrac{35}{4} \times 3 = 26,25$ : le troisième quartile est donc la $27^{\text{ème}}$ valeur soit $Q_3 = 14$.$\quad$
4. L’enseignant décide d’ajouter un point à tous les élèves. La nouvelle moyenne est donc $11,34+1=12,34$.
   $\quad$
5. a. La moyenne de Tristan est donnée par $\dfrac{15+19+16\times 2 + 15\times 3 +18\times 3}{1+1+2+3+3} = \dfrac{165}{10}=16,5$.
   $\quad$
   b. On appelle $x$ la note du prochain devoir.
   On doit donc avoir $\dfrac{165+2x}{10+2}=17$ soit $165+2x=204$ par conséquent $2x=39$ et $x=19,5$.Tristan doit donc avoir $19,5$ au prochain devoir pour avoir $17$ de moyenne.
   $\quad$

1. On va réordonner la série statistique : $$\begin{array}{cccccccccccc}6&8&8&9&9&10&12&14&17&18&18&19\end{array}$$
   L’étendue est donc $19-6=13$.
   $\quad$
2. La moyenne est $\conj{x}=\dfrac{6+8+\ldots+19}{12}=\dfrac{37}{3}\approx 12,33$.
   $\quad$
3. $\dfrac{12}{2}=6$. La médiane est donc la moyenne de la $6\ieme$ et de la $7\ieme$ valeur soit $\dfrac{10+12}{2}=11$.
   $\quad$
4. $\dfrac{12}{4}=3$ donc $Q_1$ est la $3\ieme$ valeur soit $Q_1=8$.
   $\dfrac{12\times 3}{4}=9$ donc $Q_3$ est la $9\ieme$ valeur soit $Q_3=17$.
   $\quad$
5. L’écart-type de cette série est :
   $\begin{align*} \sigma&=\sqrt{\dfrac{\left(6-\dfrac{37}{3}\right)^2+\left(8-\dfrac{37}{3}\right)^2+\ldots+\left(19-\dfrac{37}{3}\right)^2}{12}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{179}{9}}\\
   &\approx 4,46\end{align*}$
   $\quad$

\end{enumerate}

On considère deux nombres strictement positifs $x$ et $y$.
Les inverses sont donc $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{y}$. La moyenne de ces inverses est par conséquent $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}$.

L’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est :$$\dfrac{1}{~~\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}~~}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{2}{\dfrac{y+x}{xy}}=\dfrac{2xy}{x+y}$$

Comparons maintenant ce nombre à $\dfrac{x+y}{2}$.
$$\begin{align*} \dfrac{2xy}{x+y}-\dfrac{x+y}{2}&=\dfrac{4xy}{2(x+y)}-\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{4xy-\left(x^2+y^2+2xy\right)}{2(x+y)}\\
&=\dfrac{-x^2-y^2+2xy}{2(x+y)}\\
&=-\dfrac{(x-y)^2}{2(x+y)}\\
&\pp 0 \quad \text{car $x$ et $y$ sont positifs}
\end{align*}$$

Cela signifie que $\dfrac{2xy}{x+y}\pp \dfrac{x+y}{2}$.

Par conséquent l’inverse de la moyenne des inverses de deux nombres strictement positifs est inférieure à la moyenne de ces nombres.

$\quad$

1. La moyenne des $6$ notes est $\conj{x_1}=\dfrac{9+10+12+15+13+16}{6}=\dfrac{75}{6}=12,5$
   $\quad$
2. On note $x$ le coefficient des notes des contrôles.
   On a donc
   $$\begin{align*}
   \dfrac{(9+10+12)x+15+13+16}{3x+3}=11,2 &\ssi \dfrac{31x+44}{3x+3}=11,2 \\
   &\ssi 31x+44=11,2(3x+3) \quad \text{car } x>0\\
   &\ssi 31x+44=33,6x+33,6 \\
   &\ssi 10,4=2,6x\\
   &\ssi x=\dfrac{10,4}{2,6}\\
   &\ssi x=4
   \end{align*}$$
   Le coefficient des notes des contrôles est donc $4$.