2nd – Exercices – tableaux de signes et inéquations

Exercices – Tableaux de signes et inéquations

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le tableau de signe de la fonction $f$ donc une représentation graphique a été donnée.

$\quad$

Correction Exercice 1

On utilise la propriété suivante :

Propriété : On considère une fonction $f$ et sa représentation graphique $\mathscr{C}_f$.

Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)>0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$.
Sur l’intervalle $[a,b]$ on a $f(x)<0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de l’axe des abscisses sur l’intervalle $[a;b]$
$f\left(x_0\right)=0 \ssi$ la courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x_0$.

On obtient alors les tableaux de signes suivants :

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

Déterminer, par le calcul, le signe des fonctions suivantes définies sur $\R$ :

$f:x\mapsto x+5$
$\quad$
$g:x\mapsto 2x-3$
$\quad$
$h:x\mapsto -4x+1$
$\quad$
$i:x\mapsto \dfrac{1}{2}x+4$
$\quad$
$j:x\mapsto -\dfrac{2}{3}x+7$
$\quad$

Correction Exercice 2

1. On a $f(x)=x+5$.
  $f(x)=0 \ssi x+5=0 \ssi x=-5$
  et
  $f(x)>0 \ssi x+5>0 \ssi x>5$
  On obtient donc le tableau de signes suivant :
  
  $\quad$
2. On a $g(x)=2x-3$
  $g(x)=0 \ssi 2x-3=0 \ssi 2x=3 \ssi x=1,5$
  et
  $g(x)>0 \ssi 2x-3>0 \ssi 2x>3 \ssi x>1,5$
  On obtient donc le tableau de signes suivant :
  
  $\quad$
3. On a $h(x)=-4x+1
  $h(x)=0 \ssi -4x+1=0 \ssi -4x=-1 \ssi x=0,25$
  et
  $h(x)>0 \ssi -4x+1>0 \ssi -4x>-1 \ssi x<0,25$
  (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
  On obtient donc le tableau de signes suivant :
  
  $\quad$
4. On a $i(x)=\dfrac{1}{2}x+4$
  $i(x)=0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4= 0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-4 \ssi x=-8$
  et
  $i(x)>0 \ssi \dfrac{1}{2}x+4> 0 \ssi \dfrac{1}{2}x>-4 \ssi x>-8$
  On obtient donc le tableau de signes suivant :
  
  $\quad$
5. On a $j(x)=-\dfrac{2}{3}x+7$
  $j(x)=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x+7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x=-7 \ssi x=10,5$
  et
  $j(x)>0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>7=0 \ssi -\dfrac{2}{3}x>-7 \ssi x<10,5$
  (on divise la dernière inégalité par un nombre négatif)
  On obtient donc le tableau de signes suivant :

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Exercice 3

Déterminer graphiquement les solutions des inéquations suivantes :

$\quad$

Correction Exercice 3

L’ensemble solution est : $]-4;4[$.
$\quad$
L’ensemble solution est ,environ : $]-\infty;-3,8]\cup[1,8;+\infty[$.
$\quad$
L’ensemble solution est : $]-1;3[$.
$\quad$

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