2nd – Exercices – Trigonométrie

Trigonométrie

Exercices corrigés – 2nd

Toutes les longueurs seront arrondies au centième près et les angles au degré près.

Exercice 1

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $AB=3$ cm et $\widehat{ABC}=51$°.

Calculer $AC$, $BC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB} \ssi AC=AB\times \tan \widehat{ABC}\ssi AC = 3 \tan 51$
Donc $AC \approx 3,70$ cm.

$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi BC=\dfrac{AB}{\cos \widehat{ABC}}\ssi BC=\dfrac{3}{\cos 51}$
Donc $BC\approx 4,77$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB}=180-90-51=39$°

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait de plus que $BC=17$ cm et que
$\widehat{ABC}=23$°.

Calculer $AB$, $AC$ et $\widehat{ACB}$.

$\quad$

Correction Exercice 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a :
$\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC} \ssi AB=BC\cos \widehat{ABC} \ssi AB=17\cos 23$
Donc $AB\approx 15,65$ cm.

$\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC} \ssi AC=BC\sin \widehat{ABC} \ssi AC=17\sin 23$
Donc $AC \approx 6,64$ cm.

La somme des angles d’un triangle vaut $180$°.
Donc $\widehat{ACB} = 180-90-23=67$°

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=30$ cm et $BC=25$ cm.

Calculer $AB$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AB^2&=BC^2+AC^2 \\
&=625+900 \\
&=1~525\end{align*}$
Donc $AB=\sqrt{1~525}=\sqrt{25\times 61}=5\sqrt{61} \approx 39,05$ cm.

$\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{30}{25}=1,2$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 50$°.

$\tan \widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$.
Donc $\widehat{BAC}\approx 40$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$. On sait que $\sin \widehat{BAC}=0,2$.

Déterminer la valeur de $\cos \widehat{BAC}$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{BAC}+\sin^2 \widehat{BAC}=1 \\
\ssi &  ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,2^2=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}+0,04=1 \\
\ssi & ~\cos^2 \widehat{BAC}=0,96\end{align*}$

L’angle $\widehat{BAC}$ est aigu. Donc $\cos \widehat{BAC}\pg 0$.
Ainsi $\cos \widehat{BAC}=\sqrt{0,96}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. On sait que $\cos \widehat{ABC}=0,5$.

Déterminer la valeur de $\sin \widehat{ABC}$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que :
$\begin{align*} &\cos^2 \widehat{ABC}+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,5^2+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~0,25+\sin^2 \widehat{ABC}=1 \\
\ssi &~\sin^2 \widehat{ABC}=0,75\end{align*}$

L’angle $\widehat{ABC}$ est aigu. Donc $\sin \widehat{ABC}\pg 0$.
Ainsi $\sin \widehat{ABC}=\sqrt{0,75}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $BC=2CA$.

Déterminer la mesure de $\widehat{CBA}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ on a $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC}{2AC}=\dfrac{1}{2}$.
Donc $\widehat{ABC} \approx 27$°.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu $\alpha$.

Montrer que $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $a$ la longueur du côté adjacent à l’angle $\alpha$, $b$ la longueur du côté opposé à l’angle $\alpha$ et $h$ l’hypoténuse.

Ainsi $\cos \alpha=\dfrac{a}{h}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{h}$ et $\tan \alpha=\dfrac{b}{a}$.

première démonstration :

$\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{b}{h}\times \dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{a}=\tan \alpha$

deuxième démonstration :

$\tan \alpha=\dfrac{b}{a}=\dfrac{~~\dfrac{b}{h}~~}{\dfrac{a}{h}}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la figure suivante :

On sait que $OA=8$ cm et que le point $O$ appartient au segment $[AD]$.

Déterminer l’aire du quadrilatère $ABCD$.

$\quad$

Correction Exercice 8

Nous allons calculer les aires des trois triangles rectangles. Pour cela, nous avons besoin de déterminer les longueurs $AB$, $OB$, $BC$, $OC$, $CD$ et $OD$.

Les trois angles bleus, d’après la figure ont la même mesure et l’angle $\widehat{AOD}$ est plat. Donc chacun des angles bleus mesure $\dfrac{180}{3}=60$°.
Du fait de la propriété concernant les angles opposés par le sommet, les angles $\widehat{AOB}$,$\widehat{BOC}$ et $\widehat{COD}$ mesurent donc également $60$°.

Ainsi :

Dans le triangle $AOB$ rectangle en $B$
$\sin \widehat{AOB}=\dfrac{AB}{OA} \ssi AB=OA\sin \widehat{AOB}\ssi AB=8\sin 60=4\sqrt{3}$
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA} \ssi OB=OA\cos \widehat{AOB}\ssi OB=8\cos 60=4$

Dans le triangle $BOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{BOC}=\dfrac{BC}{OB} \ssi BC=OB\sin \widehat{BOC}\ssi BC=4\sin 60=2\sqrt{3}$
$\cos \widehat{BOC}=\dfrac{OC}{OB} \ssi OC=OB\cos\widehat{BOC}\ssi OC=4\cos 60=2$

Dans le triangle $DOC$ rectangle en $C$
$\sin \widehat{COD}=\dfrac{CD}{OC} \ssi CD=OC\sin \widehat{COD}\ssi CD=2\sin 60=\sqrt{3}$
$\cos \widehat{COD}=\dfrac{OD}{OC} \ssi OD=OC\cos \widehat{COD}\ssi OD=2\cos 60=1$

L’aire du triangle $AOB$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{OB\times AB}{2}=\dfrac{4\times 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $BOC$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{BC\times OC}{2}=\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm$^2$
L’aire du triangle $COD$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{CD\times OD}{2}=\dfrac{1\times \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$

L’aire du quadrilatère $ABCD$ est donc $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

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$\quad$