2nd – Trigonométrie

Trigonométrie

Exercice 1

Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux nombres suivants :

$$\begin{array}{ccccccccc}
\dfrac{\pi}{3}&&-\dfrac{\pi}{2}&&\dfrac{3\pi}{4}&&\dfrac{\pi}{6}&&-\dfrac{2\pi}{3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

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$\quad$

Exercice 2

A l’aide du cercle trigonométrique et sans calculatrice, résoudre sur $]-\pi;\pi]$ les équations suivantes :

  1. $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\cos x = 0$

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. Deux points du cercle trigonométrique ont le même sinus s’ils sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
    On sait que $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Le symétrique du point image du réel $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l’axe des ordonnées est le point image du réel $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Ainsi, les solutions de l’équation $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ sont $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
    $\quad$
  2. Deux points du cercle trigonométrique ont le même cosinus s’ils sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{2}=0$.
    Le symétrique du point image du réel $\dfrac{\pi}{2}$ par rapport à l’axe des abscisses est le point image du réel $-\dfrac{\pi}{2}$.
    Ainsi, les solutions de l’équation $\cos x=0$ sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ sont $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre l’équation $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ :

  1. sur l’intervalle $[0;\pi]$
  2. sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$

$\quad$

Correction Exercice 3

On sait que $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Donc par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées on a $\cos \dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Deux points du cercle trigonométrique ont le même cosinus s’ils sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Par conséquent $\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ également.

  1. Sur l’intervalle $[0;\pi]$ la solution de l’équation $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est donc $\dfrac{3\pi}{4}$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $[0;\pi]$ les solutions de l’équation $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont donc $-\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 4

On sait que $x$ appartient à $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et que $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.

Calculer $\cos x$.

$\quad$

Correction Exercice 4

On sait que $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.
Donc $\cos^2 x+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{12}\right)^2=1$
$\ssi \cos^2 x+\dfrac{2}{144}=1$
$\ssi \cos^2+\dfrac{1}{72}=1$
$\ssi \cos^2 x=1-\dfrac{1}{72}$
$\ssi \cos^2 x=\dfrac{71}{72}$
$\ssi \cos x=\sqrt{\dfrac{71}{72}}$ ou $\cos x=-\sqrt{\dfrac{71}{72}}$

On sait que $x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ donc $\cos x>0$
Ainsi $\cos x=\sqrt{\dfrac{71}{72}}$.

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$\quad$

Exercice 5

Résoudre l’équation $\cos 2x=0$ sur $]-\pi;\pi]$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que $\cos y=0\ssi y=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ ou $y=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$.

Par conséquent $2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ ou $2x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$.
Soit $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.

On veut résoudre l’équation sur $]-\pi;\pi]$.
Il faut donc trouver les valeurs de $k$ telles que :
$\bullet$ $-\pi < \dfrac{\pi}{4}+k\pi < \pi$
$\ssi -1<\dfrac{1}{4}+k<1$ : on divise par $\pi$
$\ssi -\dfrac{5}{4}<k<\dfrac{3}{4}$
$\ssi k=-1$ ou $k=0$
Donc $x=-\dfrac{3\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{\pi}{4}$
$\quad$
$\bullet$ $-\pi < -\dfrac{\pi}{4}+k\pi < \pi$
$\ssi -1<-\dfrac{1}{4}+k<1$ : on divise par $\pi$
$\ssi -\dfrac{3}{4}<k<\dfrac{5}{4}$
$\ssi k=0$ ou $k=1$
Donc $x=-\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{3\pi}{4}$.

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$\quad$

Exercice 6

Sur la figure suivante $\mathscr{C}$ est le cercle trigonométrique et $(O;I,J)$ est un repère orthonormé.
Le triangle $IEK$ est équilatéral. La droite $(IE)$ coupe le cercle $\mathscr{C}$ en $A$ et la droite $(KE)$ coupe le cercle $\mathscr{C}$ en $B$.
Déterminer les coordonnées des points $I,K,E,A$ et $B$ dans le repère $(O;I,J)$.

Correction Exercice 6

On sait que $I(1;0)$ et $K(-1;0)$.
Le triangle $IKE$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{EIO}=60$°.
Les points $I$ et $A$ appartiennent au cercle $\mathscr{C}$. Par conséquent le triangle $IOA$ est isocèle en $O$.
Les angles $\widehat{AIO}$ et $\widehat{OAI}$ sont donc égaux.
Cela signifie alors que $\widehat{IOA}=180-2\times 60=60$°.
Le triangle $OAI$ est donc équilatéral.
On en déduit alors que $A$ est l’image du réel $\dfrac{\pi}{3}$.
Par conséquent $A\left(\cos \dfrac{\pi}{3};\sin \dfrac{\pi}{3}\right)$ soit $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$\quad$
De la même façon, on prouve que le triangle $KOB$ est équilatéral. Par conséquent, $\widehat{IOB}=180-60=120$°.
Le point $B$ est donc l’image du réel $\dfrac{2\pi}{3}$.
Par conséquent $B\left(\cos \dfrac{2\pi}{3};\sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$ soit $B\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$\quad$
Dans le triangle $IOE$ rectangle en $O$ on a :
$\tan \widehat{OIE}=\dfrac{OE}{OI}$
soit $\tan 60=\dfrac{OE}{1}$
d’où $OE=\tan 60= \dfrac{\sin 60}{\cos 60}=\sqrt{3}$.
Le point $E$ appartient à l’axe des ordonnées. Ainsi $E\left(0;\sqrt{3}\right)$.
$\quad$

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