2nd – Exercices – Valeur absolue

Valeur absolue

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer la valeur de $|x|$.

  1. $x=-2$
    $\quad$
  2. $x=3$
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$
    $\quad$
  6. $x=\pi$
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x=-2$ alors $|x|=2$.
    $\quad$
  2. $x=3$ alors $|x|=3$.
    $\quad$
  3. $x=\dfrac{2}{3}$ alors $|x|=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  4. $x=\sqrt{2}$ alors $|x|=\sqrt{2}$.
    $\quad$
  5. $x=-\dfrac{8}{7}$ alors $|x|=\dfrac{8}{7}$.
    $\quad$
  6. $x=\pi$ alors $|x|=\pi$.
    $\quad$
  7. $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$. On a donc $x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}$ donc $|x|=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, écrire à l’aide d’une valeur absolue la distance entre les points $A$ et $B$ puis fournir sa valeur numérique :

  1. $A(2)$ et $B(5)$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $A(2)$ et $B(5)$ donc $AB=|2-5|=|-3|=3$
    $\quad$
  2. $A(-4)$ et $B(5)$ donc $AB=|-4-5|=|-9|=9$
    $\quad$
  3. $A(-2)$ et $B(-7)$ donc $AB=|-2-(-7)|=|5|=5$
    $\quad$
  4. $A(3)$ et $B(-2)$ donc $AB=|3-(-2)|=|5|=5$
    $\quad$
  5. $A(0)$ et $B(-6)$ donc $AB=|0-(-6)|=|6|=6$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans chacun des cas, déterminer la valeur du nombre réel $a$ et du nombre réel strictement positif $r$ de telle sorte que l’intervalle s’écrive sous la forme $[a-r;a+r]$:

  1. $I=[2;4]$
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $I=[2;4]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{4+2}{2}=3$.
    De plus $4-3=1$ donc $r=1$.
    $\quad$
  2. $J=[4;10]$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{10+4}{2}=7$.
    De plus $10-7=3$ donc $r=3$.
    $\quad$
  3. $K=[-2;8]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{8+(-2)}{2}=3$.
    De plus $8-3=5$ donc $r=5$.
    $\quad$
  4. $L=[-12;-3]$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{-3+(-12)}{2}=-7,5$.
    De plus $-3-(-7,5)=4,5$ donc $r=4,5$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Simplifier au maximum l’écriture des nombres suivants :

  1. $A=|1-5|$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|$
    $\quad$
  7. $G=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|$
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $A=|1-5|=|-4|=4$
    $\quad$
  2. $B=|3-9|=|-6|=6$
    $\quad$
  3. $C=\left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}$ puisqu’il s’agit d’une somme de termes positifs
    $\quad$
  4. $D=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1$ puisque $\sqrt{3}>1$
    $\quad$
  5. $E=\left|-5-\dfrac{3}{2}\right|=5+\dfrac{3}{2}$
    $\quad$
  6. $F=-|3|+|1|=-3+1=-2$
    $\quad$
  7. $\quad$
    $\begin{align*} G&=|-5-3|\times (-2)+5\times |3-8|\\
    &=|-8|\times (-2)+5\times |-5|\\
    &=8\times (-2)+5\times 5\\
    &=-16+25\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Interpréter en termes de distance :

  1. $|x-5|$
    $\quad$
  2. $|x-2|$
    $\quad$
  3. $|x+3|$
    $\quad$
  4. $|x|$
    $\quad$
  5. $|-x|$
    $\quad$
  6. $|2-x|$
    $\quad$
  7. $|6+x|$
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $|x-5|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$.
    $\quad$
  2. $|x-2|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $2$.
    $\quad$
  3. $|x+3|=\left|x-(-3)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$.
    $\quad$
  4. $|x|=|x-0|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. $|-x|=|0-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $0$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  6. $|2-x|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $A$ d’abscisse $2$ et le point $M$ d’abscisse $x$.
    $\quad$
  7. $|6+x|=\left|x-(-6)\right|$ : il s’agit, sur une droite graduée, de la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-6$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Dans chacun des cas, écrire à l’aide de valeurs absolues les intervalles suivants :

  1. $I=[-5;8]$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $I=[-5;8]$
    Le centre de l’intervalle $I$ est $a=\dfrac{8+(-5)}{2}=1,5$
    De plus $r=8-1,5=6,5$.
    Donc $x\in [-5;8] \ssi |x-1,5|\pp 6,5$
    $\quad$
  2. $J=]-6;-2[$
    Le centre de l’intervalle $J$ est $a=\dfrac{-2+(-6)}{2}=-4$
    De plus $r=-2-(-4)=2$.
    Donc $x\in ]-6;-2[ \ssi \left|x-(-4)\right|< 2 \ssi |x+4|<2$
    $\quad$
  3. $K=[3;4]$
    Le centre de l’intervalle $K$ est $a=\dfrac{3+4}{2}=3,5$
    De plus $r=4-3,5=0,5$.
    Donc $x\in [3;4] \ssi |x-3,5|\pp 0,5$
    $\quad$
  4. $L=]100;110[$
    Le centre de l’intervalle $L$ est $a=\dfrac{110+100}{2}=105$
    De plus $r=110-105=5$.
    Donc $x\in ]100;110[ \ssi |x-105|<5$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Interpréter à l’aide de distance puis résoudre les équations et inéquations suivantes :

  1. $|x+3|=3$
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3$
    $\quad$
Correction Exercice 7

Pour visualiser plus facilement les différentes situations, on peut placer sur une droite graduée les points $A$ et $M$ et représenter les ensembles solutions.

  1. $|x+3|=3 \ssi \left|x-(-3)\right|=3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$ est égale à $3$.
    $|x+3|=3 \ssi x+3=3$ ou $x+3=-3$
    $phantom{|x+3|=3 }\ssi x=0$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation $|x+3|=3$ sont $0$ et $-6$.
    $\quad$
  2. $|x-3|\pp 1$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $3$ est inférieure ou égale à $1$.
    $|x-3|\pp 1 \ssi -1\pp x-3\pp 1 \ssi 2 \pp x \pp 4$ (on ajoute $3$ à tous les membres de l’inégalité).
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-3|\pp 1$ est l’intervalle $[2;4]$.
    $\quad$
  3. $|x-5|\pg 2$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$ est supérieure ou égale à $2$.
    $|x-5|\pg 2 \ssi x-5\pg 2$ ou $x-5 \pp -2$
    $\phantom{|x-5|\pg 2 } \ssi x\pg 7$ ou $x\pp 3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|x-5|\pg 2$ est $]-\infty,3]\cup [7;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2} \ssi \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6}$ (on divise tous les nombres par $3$)
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $\dfrac{4}{3}$ est inférieure ou égale à $\dfrac{1}{6}$.
    $\begin{align*} \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \pp \dfrac{1}{6} &\ssi -\dfrac{1}{6} \pp x-\dfrac{4}{3}\pp \dfrac{1}{6}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}\\
    &\ssi -\dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6} \pp x\pp \dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6}\\
    &\ssi \dfrac{7}{6} \pp x\pp \dfrac{9}{6} \end{align*}$
    L’ensemble solution de l’inéquation $|3x-4|\pp \dfrac{1}{2}$ est l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};\dfrac{3}{2}\right]$.
    $\quad$
  5. $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp \left|x-(-1)\right|\pp 3$
    Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-1$ est comprise entre $2$ et $3$, tous les deux inclus.
    $2\pp |1+x|\pp 3 \ssi 2\pp 1+x \pp 3$ ou $-3\pp 1+x \pp -2$
    $\phantom{2\pp |1+x|\pp 3} \ssi 1\pp x \pp 2$ ou $-4 \pp x\pp -3$
    L’ensemble solution de l’inéquation $2\pp |1+x|\pp 3$ est $[-4;-3]\cup [1;2]$.
    $\quad$

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$\quad$