2nd – Exercices – Variations des fonctions affines

Variations des fonctions affines

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ et préciser ,en justifiant, le sens de variation de la fonction.

  1. $f(x)=3x+5$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Il s’agit dans tous les cas de fonctions affines.

  1. $f(x)=3x+5$ donc le coefficient directeur est $a=3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=5$.
    Puisque $a=3> 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$ donc le coefficient directeur est $a=-2$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-7,5$.
    Puisque $a=-2<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$ donc le coefficient directeur est $a=-\dfrac{5}{7}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=0,9$.
    Puisque $a=-\dfrac{5}{7}<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$ donc le coefficient directeur est $a=-3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=2$.
    Puisque $a=-3<0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$ donc le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-3$.
    Puisque $a=\dfrac{1}{2} > 0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=4-2x \quad \text{et} \quad g(x)= \dfrac{4}{5}x+1$$

  1. Déterminer le sens de variation de chacune de ces fonctions.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine. $f(x)=4-2x$ donc son coefficient directeur est $a=-2<0$ : la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine. $g(x)=\dfrac{4}{5}x+1$ donc son coefficient directeur est $a=\dfrac{4}{5} >0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex2.1
    $\quad$
    $\dfrac{4}{5}x+1 = 0 \ssi \dfrac{4}{5}x=-1 \ssi x = -\dfrac{5}{4}$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+3$.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=-2x+3$ donc le coefficient directeur de cette fonction affine est $a=-2<0$. $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est affine; sa représentation graphique est donc une droite.
    Si $x=-1$ alors $f(-1) = -2\times (-1)+3=5$.
    Si $x=3$ alors $f(3) = -2 \times 3 + 3 = -3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-1;5)$ et $(3;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex3
  3. $-2x+3=0 \ssi -2x = -3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$
    La fonction $f$ est strictement décroissante d’après la question précédente.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex3.2

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes :

  • $f$ est définie par $f(x)= 4x-5$.
    $\quad$
  • $g$ est définie par $g(x)= 2+\dfrac{1}{2}x$.
    $\quad$
  • $h$ est définie par $h(x)= -\dfrac{1}{5}x+2$.
    $\quad$
  • $i$ est définie par $i(x)= -3$.
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction (toutes les fonctions seront représentées sur un même graphique).
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=4>0$. Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}>0$. Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $\R$.
    $h$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{5}<0$. Par conséquent $h$ est strictement décroissante sur $\R$.
    $i$ est une fonction constante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $f(1)=4\times 1-5=-1$ et $f(3)=4\times 3-5=7$
    La droite passe donc par les points de coordonnées $A(1;-1)$ et $B(3;7)$.
    $\quad$
    $g$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $g(-4)=2+\dfrac{1}{2} \times (-4) = 0$ et $g(2) = 2 + \dfrac{1}{2} \times 2 = 3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $C(-4;0)$ et $D(2;3)$.
    $\quad$
    $h$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $h(-5)=-\dfrac{1}{5} \times (-5) + 2 =3$ et $h(5)=-\dfrac{1}{5}\times 5 + 2 = 1$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $E(-5;3)$ et $F(5;1)$.
    $\quad$
    La fonction est constante. Elle est représentée par une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex4
  3. $4x-5=0 \ssi 4x=5 \ssi x=\dfrac{5}{4}$
    La fonction $f$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.1
    $\quad$
    $2+\dfrac{1}{2}x=0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-2 \ssi x=-4$
    La fonction $g$ est strictement croissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.2
    $\quad$
    $ -\dfrac{1}{5}x+2 = 0 \ssi -\dfrac{1}{5}x=-2 \ssi x = 10$
    La fonction $h$ est strictement décroissante d’après la question 1.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.3
    $\quad$
    Pour tout réel $x$, on a $h(x)=-3<0$.
    On a ainsi le tableau de signes :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.4

$\quad$

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$\quad$