• $2,5^2$ et $1,6^2$
  La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  On a $0<1,6<2,5$
  Donc $1,6^2<2,5^2$.
  $\quad$
• $(-1,3)^2$ et $(-5,2)^2$
  La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
  On a $-5,2<-1,3<0$
  Donc $(-5,2)^2<(-1,3)^2$
  $\quad$
• $\pi^2$ et $\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
  La fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  $\pi \approx 3,14$ et $\dfrac{10}{3}\approx 3,33$.
  Ainsi $0<\pi<\dfrac{10}{3}$
  Donc $\pi^2<\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$
  $\quad$
• $(-5)^2$ et $4^2$
  D’une part $(-5)^2=5^2$.
  D’autre part la fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  On a $0<4<5$
  Donc $4^2< 5^2$ ainsi $4^2<(-5)^2$
  $\quad$

• $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{7}$
  La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
  On a $0<3<7$
  Donc $\dfrac{1}{7}<\dfrac{1}{3}$
  $\quad$
• $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$ et $\dfrac{1}{4}$
  D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
  D’autre part, $\sqrt{2}>1$ donc $5\sqrt{2}>5>4>0$
  Donc $\dfrac{1}{5\sqrt{2}}<\dfrac{1}{4}$
  $\quad$
• $-\dfrac{1}{2,1}$ et $-\dfrac{1}{4,7}$
  La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
  On a $-4,7<-2,1$
  Donc $-\dfrac{1}{4,7}>-\dfrac{1}{2,1}$
  $\quad$
• $-\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
  D’une part, la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
  D’autre part on a $4<5<9$ donc $2<\sqrt{5}<3$ c’est-à-dire $-3<-\sqrt{5}<-2$
  Ainsi $-2<1-\sqrt{5}<-1$ et par conséquent $-8<1-\sqrt{5}<0$.
  Donc $-\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$
  $\quad$

• $\sqrt{5}$ et $\sqrt{8}$
  La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  On a $0<5<8$
  Donc $\sqrt{5}<\sqrt{8}$
  $\quad$
• $\sqrt{4,2}$ et $\sqrt{2,4}$
  La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  On a $0<2,4<4,2$
  Donc $\sqrt{2,4}<\sqrt{4,2}$
  $\quad$
• $\sqrt{\dfrac{4}{7}}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
  D’une part, la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  D’autre part $\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{2}{21}$
  Ainsi $0<\dfrac{4}{7}<\dfrac{2}{3}$
  Par conséquent $\sqrt{\dfrac{4}{7}}<\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
  $\quad$
• $\sqrt{10^{-4}}$ et $\sqrt{10^{-8}}$
  La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
  Or $0<10^{-8}<10^{-4}$
  Donc $\sqrt{10^{-4}}>\sqrt{10^{-8}}$
  $\quad$

• $4,2^3$ et $5,1^3$
  Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
  On a $4,2<5,1$
  Donc $4,2^3 < 5,1^3$
  $\quad$
• $(-2,4)^3$ et $(-1,3)^3$
  Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
  On a $-2,4<-1,3$
  Donc $(-2,4)^3<(-1,3)^3$
  $\quad$
• $\sqrt{2}^3$ et $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
  Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
  On a $\sqrt{2}>1$ et $\dfrac{1}{4}=0,25$. Ainsi $\sqrt{2}>\dfrac{1}{4}$
  Donc $\sqrt{2}^3 > \left(\dfrac{1}{4}\right)^3$
  $\quad$
• $(-10)^3$ et $2^3$
  Le fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
  On a $-10<2$
  Donc $(-10)^3<2^3$
  Remarque : On pouvait également dire que $(-10)^3<0$ et que $2^3>0$ puis conclure.
  $\quad$

1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$.
   $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4 – \left((b+2)^2-4\right) \\
   & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
   & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
   & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
   &= (a-b)(a+b+4)
   \end{align*}$
   Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
   Puisque $a<b<-2$ alors $a+b+4 < -2 -2 + 4$ soit $a+b+4<0$.
   $\quad$
   Par conséquent $(a-b)(a+b+4) >0$
   Donc $f(a)-f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$.
   $\quad$
2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2<a < b $.
   $\begin{align*} f(a)-f(b) & = (a+2)^2-4-\left((b+2)^2-4\right) \\
   & = (a+2)^2-4-(b+2)^2 + 4 \\
   & = (a + 2)^2-(b + 2)^2 \\
   & = \left((a+2)-(b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\
   &= (a-b)(a+b+4)
   \end{align*}$
   Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
   Puisque $-2<a<b$ alors $a+b+4 > -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$.
   $\quad$
   Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
   Donc $f(a)-f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
   $\quad$
3. On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
4. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$.
   $\quad$

1. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} -(x-3)^2+4&=-\left(x^2-6x+9\right)+4 \\
   &=-x^2+6x-9+4\\
   &=-x^2+6x-5\\
   &=f(x)\end{align*}$
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a :
   $(x-3)^2\pg 0$
   Donc $-(x-3)^2\pp 0$
   Et par conséquent $-(x-3)^2+4\pp 4$
   Cela signifie alors que $f(x) \pp 4$.
   $\quad$
   De plus $f(3)=-0^2+4=4$
   La fonction $f$ admet donc un maximum égal à $4$ atteint pour $x=3$.
   $\quad$
3. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
   $\begin{align*} f(a)<f(b) &= -(a-3)^2+4-\left(-(b-3)^2+4\right) \\
   &-(a-3)^2+(b-3)^2 \\
   &=(b-3)^2-(a-3)^2 \\
   &=\left[(b-3)+(a-3)\right]\left[(b-3)-(a-3)\right]\\
   &=(b-3+a-3)(b-3-a+3)\\
   &=(b+a-6)(b-a)\end{align*}$
   $\bullet$ Si $a<b<3$
   $a<b$ : donc $b-a>0$
   $a<b<3$ donc $a+b<3+3$ soit $a+b<6$ et donc $b+a-6<0$.
   Par conséquent $(b+a-6)(b-a)<0$.
   Cela signifie donc que $f(a)-f(b)<0$ c’est-à-dire que $f(a)<f(b)$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;3]$.
   $\quad$
   $\bullet$ Si $3<a<b$
   $a<b$ : donc $b-a>0$
   $3<a<b$ donc $a+b>3+3$ soit $a+b>6$ et donc $b+a-6>0$.
   Par conséquent $(b+a-6)(b-a)>0$.
   Cela signifie donc que $f(a)-f(b)>0$ c’est-à-dire que $f(a)>f(b)$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[3;+\infty[$.
   $\quad$
4. On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-\dfrac{3}{2}\pp a<b$
donc $-3 \pp 2a<2b$ soit $0\pp 2a+3 < 2b+3$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Par conséquent $\sqrt{2a+3}<\sqrt{2b+3}$ c’est-à-dire $g(a)<g(b)$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$

1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
   La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $0<a^3<b^3$.
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
   Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
   La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   $\quad$
2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b<0$.
   La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ donc $a^3<b^3<0$.
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
   Donc $\dfrac{1}{a^3}>\dfrac{1}{b^3}$ c’est-à-dire $h(a)>h(b)$.
   La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0[$.
   $\quad$

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
D’une part, la fonction cube étant strictement croissante on a $a^3<b^3$ et par conséquent $5a^3<5b^3$.
D’autre part, le coefficient directeur de la fonction affine $x\mapsto 2x-4$ est $2>0$. Cette fonction est donc strictement croissante. Ainsi $2a-4<2b-4$.

Ainsi $5a^3+2a-4<5b^3+2a-4<5b^3+2b-4$ donc $k(a)<k(b)$
La fonction $k$ est donc strictement croissante sur $\R$.

Remarque : Il est toujours utile de représenter sur sa calculatrice la fonction étudiée pour avoir une idée de ce qu’on doit montrer.

$\quad$