2nd – Exercices – Vecteurs – Colinéarité

Vecteurs et colinéarité

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(-1;4)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=2\times 4-3\times (-1)=8+3=11$
    $\quad$
  2. $\vec{u}(4;-6)$ et $\vec{v}(-8;12)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=4\times 12-(-6)\times (-8)=48-48=0$
    $\quad$
  3. $\vec{u}(-1;-5)$ et $\vec{v}(-3;-8)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-1\times (-8)-(-5)\times (-3)=8-15=-7$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4,2;-6,3)$ et $\vec{w}(5;7,4)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{v} \right)=-2\times (-6,3)-3\times 4,2=12,6-12,6=0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Le déterminant de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ est :
det$\left(\vec{u},\vec{w} \right)=-2\times 5-3\times 7,4=-10-22,4=-32,4 \neq 0$
Par conséquent $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. Représenter les points $A(-1;3)$, $B(1;2)$, $C(-5;1)$ et $D(1;-2)$ dans un repère $\Oij$.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. On obtient le graphique suivant :2nd - exos - vecteurs - coord3cor$\quad$
  2. On a $\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$
    Et $\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$.
    $\quad$
  3. Le déterminant des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ est :
    det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=2\times (-3)-(-1)\times 6=-6+6=0$
    Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On donne les points $M(-2;-1)$, $B(1;0)$ et $F(6;1)$.
Les points $M,B$ et $F$ sont-ils alignés?

$\quad$

Correction Exercice 4

On a $\vect{MB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{MB}(3;1)$
Et $\vect{MF}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{MF}(8;2)$

Le déterminant de ces deux vecteurs est :
det$\left(\vect{MB};\vect{MF}\right)=3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points $M$, $B$ et $F$ ne sont pas alignés.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On se place dans un repère $\Oij$ du plan.
Soient les points $A(1;0)$, $B(0;-2)$, $C(-3;-8)$, $D(4;1)$ et $E\left(2;-\dfrac{4}{3}\right)$.

  1. $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  2. Même question pour $C$, $D$ et $E$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $\vect{AB}(0-1;-2-0)$ soit $\vect{AB}(-1;-2)$
    et $\vect{CD}(-3-1;-8-0)$ soit $\vect{CD}(-4;-8)$
    On constate donc que $\vect{CD}=4\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
    Remarque : On pouvait utiliser le déterminant pour prouver la colinéarité.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\left(4-(-3);1-(-8)\right)$ soit $\vect{CD}(7;9)$
    et $\vect{CE}\left(2-(-3);-\dfrac{4}{3}-(-8)\right)$ soit $\vect{CE}\left(5;-\dfrac{20}{3}\right)$
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{CD};\vect{CE}\right)=7\times \left(-\dfrac{20}{3}\right)-9\times 5=-\dfrac{140}{3}-45=-\dfrac{275}{3}\neq 0$
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points $C$, $D$ et $E$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  3. $\vect{AD}(4-1;1-0)$ donc $\vect{AD}(3;1)$ et $\vect{BE}\left(2-0;-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)$ soit $\vect{BE}\left(2;\dfrac{2}{3}\right)$.
    Le déterminant de ces deux vecteurs est :
    det$\left(\vect{AD};\vect{BE}\right)=3\times \dfrac{2}{3}-1\times 2=2-2=0$
    Les deux vecteurs sont colinéaires donc les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Soit $A(-2;1)$, $B(-1;4)$ et $C(2;3)$ d’un repère $\Oij$.

  1. On appelle $M$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ et $N$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$.
    Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$.
    $\quad$
  2. On considère les points $P$ et $Q$ définis par : $\vect{AP}=-3\vect{AB}$ et $\vect{AQ}=-3\vect{AC}$.
    a. Calculer les coordonnées des points $P$ et $Q$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Par conséquent $B$ est le milieu de $[AM]$.
    Ainsi : $\begin{cases} -1 = \dfrac{-2+x_M}{2}\\\\4=\dfrac{1+y_M}{2}\end{cases}$ $\ssi\begin{cases} -2=-2+x_M\\\\8=1+y_M\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_M=0\\\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(0;7)$.
    $\quad$
    $N$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$. Par conséquent $C$ est le milieu de $[AN]$.
    Ainsi : $\begin{cases} 2=\dfrac{-2+x_N}{2}\\\\3=\dfrac{1+y_N}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}4=-2+x_N\\\\6=1+y_N\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_N=6\\\\y_N=5\end{cases}$.
    Donc $N(6;5)$.
    $\quad$
  2. a. $\overrightarrow{AP}\left(x_P+2;y_P-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}(1;3)$.
    On veut que $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$.
    Donc $\begin{cases} x_P+2=-3\\\\y_P-1=-9 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_P=-5\\\\y_P=-8\end{cases}$.
    $\quad$
    $\overrightarrow{AQ}\left(x_Q+2;y_Q-1\right)$ et $\overrightarrow{AC}(4;2)$.
    On veut que $\overrightarrow{AQ}=-3\overrightarrow{AC}$.
    Donc $\begin{cases} x_Q+2=-12\\\\y_Q-1=-6 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_Q=-14\\\\y_Q=-5\end{cases}$.
    $\quad$
    Par conséquent $P(-5;-8)$ et $Q(-14;-5)$.
    $\quad$
    b. D’une part $\overrightarrow{MN}(6;-2)$
    D’autre part $\overrightarrow{PQ}(-9;3)$
    Ainsi $6 \times 3-(-2)\times (-9) = 18-18 = 0$.
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Donc les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés d’un repère $\Oij$.

  1. Construire les points $E$ et $D$ tels que $\vect{CE}=-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}$ et $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$.
    $\quad$
  2. On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$.
    a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
    $\quad$
    b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles?
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. La figure dépend évidemment de l’emplacement des points $A$, $B$ et $C$.
    2nd - exos - vect - coord -ex8
  2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ on a :
    $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$.
    Ainsi $\vect{AB}(1;0)$, $\vect{AC}(0;1)$ $\vect{CB}(1;-1)$
    D’après la relation de Chasles on a :
    $\begin{align*}\vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\
    &=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\
    &=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}
    \end{align*}$
    Par conséquent $\vect{AE}\left(-0+\dfrac{1}{2}\times 1;-1+\dfrac{1}{2}\times 0\right)$ soit $\vect{AE}(0,5;-1)$.
    Ainsi $E(0,5;-1)$.
    $\quad$
    $\vect{AD}=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB}$
    Par conséquent $\vect{AD}\left(\dfrac{5}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1;\dfrac{5}{2}\times 1+\dfrac{1}{2} \times (-1)\right)$ soit $\vect{AD}(0,5;2)$.
    Ainsi $D(0,5;2)$.
    $\quad$.
    b. D’une part $\vect{DE}(0;-3)$
    D’autre part $\vect{CA}(0;-1)$.
    On constate donc que $\vect{DE}=3\vect{CA}$.
    Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
    $\quad$

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$\quad$