Vecteurs et coordonnées

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Construire un représentant de chaque vecteur à partir du point indiqué :

$\vec{v_1}(4;-3)$ à partir de $A$.
$\quad$
$\vec{v_2}(2;-5)$ à partir de $B$.
$\quad$
$\vec{v_3}(-6;1)$ à partir de $C$.

$\quad$

Correction Exercice 1

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer graphiquement les coordonnées des différents vecteurs.

$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vec{u}(-3;-2)$, $\vec{v}(4;-1)$, $\vec{w}(2;4)$, $\vec{k}(-3;0)$, $\vec{l}(0;-2)$ et $\vec{m}(-1;4)$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Donner les coordonnées des vecteurs représentés ci-dessous :

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $\vec{u}(2;0)$ , $\vec{v}(0;3)$ , $\vec{w}(-1;2)$ , $\vec{x}(2;3)$ , $\vec{y}(-2;-1)$ et $\vec{z}(3;-2)$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Calculer,dans chacun des cas, les coordonnées et la norme du vecteur $\vect{AB}$ :

$A(1;2)$ et $B(3;5)$
$\quad$
$A(-2;3)$ et $B(-1;-2)$
$\quad$
$A(3;-1)$ et $B(3;1)$
$\quad$

Correction Exercice 4

On utilise la formule du cours suivante $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

On a $\vect{AB}(3-1;5-2)$ soit $\vect{AB}(2;3)$.
Donc $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
$\quad$
On a $\vect{AB}\left(-1-(-2);-2-3\right)$ soit $\vect{AB}(1;-5)$.
Donc $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{26}$
$\quad$
On a $\vect{AB}\left(3-3;1-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(0;2)$
Donc $\left\|\vect{AB}\right\|=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère les points $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ suivants :
$$\begin{array}{lclcl} A(-2;3) &\hspace {3cm}& B(5;1) &\hspace {3cm}& C(-6,5;-2) \\\\
D(-8;-3,2)&\hspace {3cm}&E\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{2}\right)&\hspace {2cm}&F\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{7}{4}\right)\\\\
G\left(11;-\sqrt{3}\right)&\hspace {2cm}&H\left(-4;\sqrt{12}\right)& \hspace {2cm}&
\end{array}$$
Calculer les coordonnées des vecteurs :
$$\vect{AB}; \vect{CD}; \vect{EF}; \vect{GH}; \vect{CB}; \vect{FD}$$
$\quad$

Correction Exercice 5

$\vect{AB}\left(5-(-2);1-3\right)$ donc $\vect{AB}(7;-2)$

$\vect{CD}\left(-8-(-6,5);-3,2-(-2)\right)$ donc $\vect{CD}(-1,5;-1,2)$

$\vect{EF}\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3};-\dfrac{7}{4}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)\right)$ donc $\vect{EF}\left(-\dfrac{11}{12};\dfrac{3}{4}\right)$

$\vect{GH}\left(-4-11;\sqrt{12}-\left(-\sqrt{3}\right)\right)$ donc $\vect{GH}\left(-15;\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)$
or $\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
Donc $\vect{GH}\left(-15;3\sqrt{3}\right)$

$\vect{CB}\left(5-(-6,5);1-(-2)\right)$ donc $\vect{CB}(11,5;3)$

$\vect{FD}\left(-8-\left(-\dfrac{1}{4}\right);-3,2-\left(-\dfrac{7}{4}\right)\right)$ donc $\vect{FD}\left(-\dfrac{31}{4};-\dfrac{29}{20}\right)$

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$\quad$

Exercice 6

On donne $A(1;5)$ et $\vect{AB}(4;-3)$.

Déterminer les coordonnées de $B$.

$\quad$

Correction Exercice 6

On a $\vect{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$

Par conséquent $\begin{cases} x_B-1=4\\y_B-5=-3\end{cases} \ssi \begin{cases} x_B=5\\y_B=2\end{cases}$

Le point $B$ a pour coordonnées $(5;2)$.

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$\quad$

Exercice 7

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1,1)$, $C(3;0)$ et $D(2;4)$.

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du centre $E$ de ce parallélogramme.
$\quad$

Correction Exercice 7

On a $\vect{AB}\left(-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$ et $\vect{DC}\left(3-2;0-4\right)$ soit $\vect{DC}(1;-4)$.
Par conséquent $\vect{AB}=\vect{DC}$
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
$\quad$
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le point $E$ est donc, par exemple, le milieu de la diagonale $[AC]$.
Donc $x_E=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_E=\dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$.
Les coordonnées de $E$ sont donc $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;1)$ et $C(3;0)$.

Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que le quadrilatère $ABDC$ soit un parallélogramme.

$\quad$

Correction Exercice 8

$ABDC$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vect{AB}=\vect{CD}$.
Or $\vect{AB}\left(-1-(-2);1-5\right)$ soit $\vect{AB}(1;-4)$.
Et $\vect{CD}\left(x_D-3;y_D\right)$.

Par conséquent $\begin{cases} x_D-3=1\\y_D=-4\end{cases} \ssi \begin{cases} x_D=4\\y_D=-4\end{cases}$

Le point $D$ a donc pour coordonnées $(4;-4)$.
$\quad$

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$\quad$