2nd – Exercices – Équation de droites


Dans tous les exercices, le plan muni d’un repère orthonormal.

Exercice 1

Déterminer graphiquement une équation de chacune des droites suivantes :
2nd - exos - equations de droites 1

Correction Exercice 1

Pour toutes les droites non parallèles à l’axe des ordonnées, les équations des droites seront de la forme $y=ax+b$.

Pour déterminer le coefficient directeur $a$ on lit les déplacements verticaux et horizontaux permettant sur une droite de se déplacer d’un point de la droite situé sur le quadrillage à un autre point de la droite situé également sur le quadrillage (en tenant compte des signes dans les déplacements). $a = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}$.
L’ordonnée à l’origine $b$ est l’ordonnée du point de la droite appartenant également à l’axe des ordonnées.

Pour $d_1$ : Si on considère les deux points de coordonnées $(0;1)$ et $(2;-1)$ (par exemple). On a $\Delta_y = -2$ et $\Delta_x = 2$ par conséquent $a = \dfrac{-2}{2} =  -1$. De plus $b= 1$.
Par conséquent $d_1 : y= -x + 1$.

$d_2 : y= 2x + 3$

$d_4 : y =3$

$d_5 : y = \dfrac{1}{3}x – 1$ car $\Delta_y = 1$ quand $\Delta_x = 3$

La droite $d_3$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est $x = 2$

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Exercice 2

Représenter graphiquement chacune des droites dont une équation est fournie.

  1. $d_1 : y=-2x +3$
    $\quad$
  2. $d_2 : x=-1$
    $\quad$
  3. $d_3 : y = \dfrac{4}{5}x – 1$
    $\quad$
  4. $d_4 : y= 2$
Correction Exercice 2

Pour représenter une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, on peut procéder de deux manières :

  • On choisit deux abscisses quelconques (suffisamment éloignées pour que le graphique gagne en précision) et on détermine les ordonnées des points de la droite correspondants.
  • On place le point de la droite appartenant également à l’axe des ordonnées et on utilise le coefficient directeur pour tracer à partir de ce point la droite.

Pour $d_1$, on peut choisir, par exemple, $x= -2$ et $x = 4$.
Si $x=-2$ alors $y=-2 \times (-2) + 3 = 7$. La droite passe par le point $A$ de coordonnées $(-2;7)$.
Si $x=3$ alors $y=-2 \times 3 + 3 = -3$. La droite passe par le point $B$ de coordonnées $(3;-3)$.

Pour $d_3$, on place le point $C$ de coordonnées $(0;-1)$ et, à partir en se déplaçant de $5$ unités horizontalement vers la droite , on se déplace de $4$ unités verticalement vers le haut; ce qui nous permet de placer un nouveau point et de tracer la droite.

2nd - exos - equations de droites 2

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Exercice 3

Déterminer dans chacun des cas une équation de la droite $(AB)$ :

  1. $A(2;0)$ et $B(4;1)$
    $\quad$
  2. $A(-2;1)$ et $B(-3;5)$
    $\quad$
  3. $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$ et $B\left(\dfrac{7}{6};-\dfrac{1}{5}\right)$
    $\quad$
  4. $A(-1;5)$ et $B(-1;2)$
Correction Exercice 3
  1. $A(2;0)$ et $B(4;1)$
    Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{1 – 0}{4 – 2} = \dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent une équation de $(AB)$ est de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
    Le point $A(2;0)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
    On obtient ainsi : $0 = \dfrac{1}{2} \times 2 + b$ soit $0 = 1 + b$ et $b=-1$.
    Une équation de $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
    On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $\dfrac{1}{2}x_B-1 = \dfrac{1}{2} \times 4 – 1 = 2 -1 = 1 = y_B$ 🙂
    $\quad$
  2. $A(-2;1)$ et $B(-3;5)$
    Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{5 – 1}{-3 – (-2)} = \dfrac{4}{-1} = -4$.
    Par conséquent une équation de $(AB)$ est de la forme $y=-4x+b$.
    Le point $A(-2;1)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
    On obtient ainsi : $1 = -4 \times (-2) + b$ soit $1 = 8 + b$ et $b=-7$.
    Une équation de $(AB)$ est donc $y=-4x-7$.
    On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $-4x_B-7 = -4 \times (-3) – 7 = 12 -7 = 5 = y_B$ 🙂
    $\quad$
  3. $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$ et $B\left(\dfrac{7}{6};-\dfrac{1}{5}\right)$
    Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{6} – \dfrac{1}{2}} = \dfrac{-\dfrac{13}{15}}{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{13}{10}$.
    Par conséquent une équation de $(AB)$ est de la forme $y=-\dfrac{13}{10}x+b$.
    Le point $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
    On obtient ainsi : $\dfrac{2}{3} = -\dfrac{13}{10}\times \dfrac{1}{2}+b$ soit $\dfrac{2}{3} = -\dfrac{13}{20} + b$ et $b=\dfrac{79}{60}$.
    Une équation de $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{13}{10}x+\dfrac{79}{60}$.
    On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $-\dfrac{13}{10}x_B+\dfrac{79}{60} = -\dfrac{13}{10} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{79}{60} = -\dfrac{13}{20} + \dfrac{79}{60} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{1}{5} = y_B$ 🙂
    $\quad$
  4. $A(-1;5)$ et $B(-1;2)$
    $A$ et $B$ ont la même abscisse $-1$. Par conséquent une équation de $(AB)$ est $x=-1$.

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Exercice 4

Déterminer une équation des droites dans chacun des cas :

  1. La droite $(d_1)$ passe par le point $A(2;3)$ et a pour coefficient directeur $a=-1$.
    $\quad$
  2. La droite $(d_2)$ passe par le point $B(-1;2)$ et son ordonnée à l’origine est $-3$.
    $\quad$
  3. La droite $(d_3)$ passe par le point $C(2;5)$ et est parallèle à la droite d’équation $y=3x-1$.
Correction Exercice 4

  1. Une équation de $(d_1)$ est donc de la forme $y=-x+b$.
    Le point $A(2;3)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
    $3 = -2 + b$ soit $b = 5$.
    $(d_1)$ a pour équation $y=-x+5$.
    $\quad$
  2. Une équation de $(d_2)$ est donc de la forme $y=ax-3$.
    Le point $B(-1;2)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
    $2 = -a-3$ soit $-a = 5$ et donc $a=-5$.
    $(d_2)$ a pour équation $y=-5x-3 $.
    $\quad$
  3. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Une équation de $(d_3)$ est donc de la forme $y=3x+b$.
    Le point $C(2;5)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
    $5 = 6 + b$ soit $b = -1$.
    $(d_1)$ a pour équation $y=3x-1$.
    $\quad$

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Exercice 5

Indiquer dans chacun des cas si le point appartient à la droite.

  1. $A(-2;3)$ et $d_1: y= -x+1$
    $\quad$
  2. $B\left(\sqrt{2};\sqrt{6}\right)$ et $d_2:y=\sqrt{3}x+\sqrt{6}$
    $\quad$
  3. $C(2;1)$ et $d_3 : y = 2$.
Correction Exercice 5

  1. $-(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$. Donc $A$ appartient à $d_1$.
    $\quad$
  2. $\sqrt{3}\times \sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{6}+\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \ne y_B$. Donc $B$ n’appartient pas à $d_2$.
    $\quad$
  3. L’ordonnée de $C$ n’est pas égale à $2$ donc $C$ n’appartient pas $d_3$.

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Exercice 6

On donne les points $A(6;-1), B(2;7)$ et $C(-4;-3)$.

  1. Donner une équation des médianes issues de $A$ et de $C$ du triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle $ABC$.
Correction Exercice 6

  1. Une médiane est une droite passant par un sommet d’un triangle et le milieu du côté opposé.
    On détermine les coordonnées du milieu $A’$ de $[BC]$ : $\left(\dfrac{-4 + 2}{2} ; \dfrac{-3 + 7}{2}\right)$ $=(-1;2)$.
    La médiane issue de $A$ passe dont par les points $A(6;-1)$ et $A'(1;2)$.
    Les deux points n’ayant pas la même abscisse, une équation de cette médiane est de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{2 – (-1)}{-1 – 6} = – \dfrac{3}{7}$
    On obtient ainsi $y = -\dfrac{3}{7}x+b$.
    Les coordonnées de $A$ vérifient cette équation. Donc $-1 = -\dfrac{3}{7} \times 6 + b$ $\Leftrightarrow -1 = -\dfrac{18}{7} + b$.
    Ainsi $b = -1 + \dfrac{18}{7} = \dfrac{11}{7}$
    Une équation de la médiane issue de $A$ est donc $y = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{5}$.
    On n’oublie pas de contrôler que les coordonnées de $A’$ vérifient cette équation.
    $\quad$
    On détermine les coordonnées du milieu $C’$ de $[AB]$ : $\left(\dfrac{6 + 2}{2} ; \dfrac{-1 + 7}{2}\right)$ $=(4;3)$.
    La médiane issue de $C$ passe dont par les points $C(-4;-3)$ et $C'(4;3)$.
    Les deux points n’ayant pas la même abscisse, une équation de cette médiane est de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{3 – (-3)}{4 – (-4)} =  \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
    On obtient ainsi $y = \dfrac{3}{4}x+b$.
    Les coordonnées de $C$ vérifient cette équation. Donc $-3 = \dfrac{3}{4} \times (-4) + b$ $\Leftrightarrow -3 = -3 + b$.
    Ainsi $b = 0$.
    Une équation de la médiane issue de $C$ est donc $y = \dfrac{3}{4}x$.
    On n’oublie pas de contrôler que les coordonnées de $A’$ vérifient cette équation.
    $\quad$
  2. Le centre de gravité $G$ est le point d’intersection des médianes. Ses coordonnées vérifient donc le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{4}x = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{4}x  +\dfrac{3}{7}x  = \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{33}{28}x  = \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{\dfrac{11}{7}}{\dfrac{33}{28}} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{4}{3} \\\\ y = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} \end{cases} \\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{4}{3} \\\\ y = 1 \end{cases}
    \end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du centre de gravité sont $\left(\dfrac{4}{3};1\right)$.

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Exercice 7

On donne les points suivants
$$A(1;-2) \qquad B(4;0) \qquad C(10;4) \qquad D(-2;2)$$

  1. Les points $A, B, C$ sont-ils alignés?
    $\quad$
  2. Déterminer une équation de la parallèle $(\Delta)$ à $(AD)$ passant par $B$.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $AD$.
    $\quad$
  4. Soit $E$ le point d’intersection de $(\Delta)$ et $(CD)$.
    Déduire des questions précédentes la longueur $BE$.
Correction Exercice 7

Il n’existe pas, dans cette liste de points, deux abscisses égales. On pourra donc calculer les coefficients directeurs de chacune des droites associées.

  1. Pour déterminer si trois points sont alignés on peut :
    • Déterminer une équation de la droite $(AB)$ (par exemple) et regarder si $C$ appartient à cette droite.
    • Comparer les coefficients directeur de deux droites construites à partir des trois points.
    Le coefficient directeur de $(AB)$ est $a_1 = \dfrac{0 – (-2)}{4 – 1} = \dfrac{2}{3}$.
    Le coefficient directeur de $(AC)$ est $a_2 = \dfrac{4 – (-2)}{10 – 1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
    Les deux coefficients directeurs étant égaux, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles. Elles ont le point $A$ en commun. Elles sont donc confondues et les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de $(AD)$ est $a_3 =\dfrac{2 – (-2)}{-2 – 1} = -\dfrac{4}{3}$.
    La droite $(\Delta)$ étant parallèle à $(AD)$ a le même coefficient directeur. Une équation de $(\Delta)$ est alors de la forme $y=-\dfrac{4}{3}x + b$.
    Le point $B$ appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient l’équation de $(\Delta)$.
    $0 = -\dfrac{4}{3} \times 4 + b \Leftrightarrow b = \dfrac{16}{3}$.
    Une équation de $(\Delta)$ est $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3}$
    $\quad$
  3. $A(1;-2)  \qquad D(-2;2)$
    $\begin{align*} AD &= \sqrt{(-2 – 1)^2 + (2 – (-2))^2} \\\\
    &=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\\\
    &= \sqrt{9 + 16} \\\\
    &= \sqrt{25} \\\\
    &= 5
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $C(10;4) \qquad D(-2;2)$
    Une équation de $(CD)$ est de la forme $y=ax+b$.
    Son coefficient directeur est $a=\dfrac{2 – 4}{-2 – 10} = \dfrac{-2}{-12} = \dfrac{1}{6}$.
    L’équation de $(CD)$ est de la forme $y=\dfrac{1}{6}x+b$
    $C$ appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient donc l’équation de cette droite :
    $4 = \dfrac{1}{6} \times 10 + b \Leftrightarrow 4 – \dfrac{5}{3} = b \Leftrightarrow b = \dfrac{7}{3}$.
    Une équation de $(CD)$ est donc $y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3}$.
    On contrôle que les coordonnées de $D$ vérifient cette équation.
    $\quad$
    Les coordonnées du point d’intersection de $(CD)$ et $(\Delta)$ vérifient le système suivant :
    $\begin{align*}
    \begin{cases} y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases} & \Leftrightarrow
    \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
    & \Leftrightarrow
    \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{6}x = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
    & \Leftrightarrow
    \begin{cases} -\dfrac{3}{2}x =-3 \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
    & \Leftrightarrow
    \begin{cases}x =\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2}} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
    & \Leftrightarrow
    \begin{cases}x =2 \\\\ y=-\dfrac{4}{3}\times 2+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
    & \Leftrightarrow
    \begin{cases}x =2 \\\\ y=\dfrac{8}{3} \end{cases}  \\\\
    \end{align*}$
    $E$ a pour coordonnées $\left(2;\dfrac{8}{3}\right)$.
    $\quad$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} BE  &= \sqrt{(2 – 4)^2 + \left(\dfrac{8}{3} – 0\right)^2} \\\\
    & = \sqrt{4 + \dfrac{64}{9}} \\\\
    & = \sqrt{\dfrac{100}{9}} \\\\
    & = \dfrac{10}{3}
    \end{align*}$

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Exercice 8

On donne les points $A(2;3) \qquad B(6;0) \qquad C(0;-4)$.

  1. Démontrer que les points $A,B, C$ forment un triangle.
    $\quad$
  2. Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[BC]$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la droite $(d)$ passant par $B$ et parallèle à la médiane issue de $A$.
    $\quad$
  4. Vérifier les réponses précédentes à l’aide d’un graphique.
Correction Exercice 8

  1. On vérifie donc que les points ne sont pas alignés.
    Le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{0 – 3}{6 – 2} = -\dfrac{3}{4}$.
    $\quad$
    Le coefficient directeur de $(AC)$ est $\dfrac{-4 -3}{0 – 2} = \dfrac{7}{2}$.
    Les coefficients directeurs ne sont pas égaux. Les points $A,B$ et $C$ ne sont donc pas alignés et forment bien un triangle.
    $\quad$
  2. Les coordonnées de $I$ sont $\left(\dfrac{6 + 0}{2};\dfrac{0 – 4}{2}\right) = (3;-2)$.
    $\quad$
  3. La médiane issue de $A$ passe également par $I$.
    $A$ et $I$ n’ont pas la même abscisse; une équation de $(AI)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a = \dfrac{-2 – 3}{3 – 2} = -5$.
    Une équation de $(d)$ est donc de la forme $y=-5x + c$.
    $B$ appartient à cette droite. donc $0 = -5 \times 6 + c \Leftrightarrow b = 30$.
    $(d)$ a pour équation $y=-5x + 30$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    2nd - exos - equations de droites 3

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