Pour toutes les droites non parallèles à l’axe des ordonnées, les équations des droites seront de la forme $y=ax+b$.

Pour déterminer le coefficient directeur $a$ on lit les déplacements verticaux et horizontaux permettant sur une droite de se déplacer d’un point de la droite situé sur le quadrillage à un autre point de la droite situé également sur le quadrillage (en tenant compte des signes dans les déplacements). $a = \dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}$.
L’ordonnée à l’origine $b$ est l’ordonnée du point de la droite appartenant également à l’axe des ordonnées.

Pour $d_1$ : Si on considère les deux points de coordonnées $(0;1)$ et $(2;-1)$ (par exemple). On a $\Delta_y = -2$ et $\Delta_x = 2$ par conséquent $a = \dfrac{-2}{2} =  -1$. De plus $b= 1$.
Par conséquent $d_1 : y= -x + 1$.

$d_2 : y= 2x + 3$

$d_4 : y =3$

$d_5 : y = \dfrac{1}{3}x – 1$ car $\Delta_y = 1$ quand $\Delta_x = 3$

La droite $d_3$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est $x = 2$
$\quad$

Pour représenter une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, on peut procéder de deux manières :

• On choisit deux abscisses quelconques (suffisamment éloignées pour que le graphique gagne en précision) et on détermine les ordonnées des points de la droite correspondants.
• On place le point de la droite appartenant également à l’axe des ordonnées et on utilise le coefficient directeur pour tracer à partir de ce point la droite.

Pour $d_1$, on peut choisir, par exemple, $x= -2$ et $x = 4$.
Si $x=-2$ alors $y=-2 \times (-2) + 3 = 7$. La droite passe par le point $A$ de coordonnées $(-2;7)$.
Si $x=3$ alors $y=-2 \times 3 + 3 = -3$. La droite passe par le point $B$ de coordonnées $(3;-3)$.

Pour $d_3$, on place le point $C$ de coordonnées $(0;-1)$ et, à partir de lui, en se déplaçant de $5$ unités horizontalement vers la droite, on se déplace de $4$ unités verticalement vers le haut; ce qui nous permet de placer un nouveau point et de tracer la droite.
Remarque : Le point $C$ est purement arbitraire. On peut prendre par exemple le point d’abscisse $5$ (on choisit une abscisse pour laquelle le calcul de l’ordonnée sera simplifié) et on obtient alors $y=3$. La droite passe alors par le point de coordonnées $(5;3)$ et on reproduit le même procédé qu’au-dessus : en se déplaçant de $5$ unités horizontalement vers la droite, on se déplace de $4$ unités verticalement vers le haut; ce qui nous permet de placer un nouveau point et de tracer la droite.
$\quad$

$\quad$

1. $A(2;0)$ et $B(4;1)$
   Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{1-0}{4-2} = \dfrac{1}{2}$.
   Par conséquent l’équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
   Le point $A(2;0)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
   On obtient ainsi : $0 = \dfrac{1}{2} \times 2 + b$ soit $0 = 1 + b$ et $b=-1$.
   L’équation réduite de $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{2}x-1$.
   On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $\dfrac{1}{2}x_B-1 = \dfrac{1}{2} \times 4 – 1 = 2 -1 = 1 = y_B$ 🙂
   $\quad$
2. $A(-2;1)$ et $B(-3;5)$
   Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{5-1}{-3-(-2)} = \dfrac{4}{-1} = -4$.
   Par conséquent l’ équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=-4x+b$.
   Le point $A(-2;1)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
   On obtient ainsi : $1 = -4 \times (-2) + b$ soit $1 = 8 + b$ et $b=-7$.
   L’équation réduite de $(AB)$ est donc $y=-4x-7$.
   On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $-4x_B-7 = -4 \times (-3)-7 = 12-7 = 5 = y_B$ 🙂
   $\quad$
3. $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$ et $B\left(\dfrac{7}{6};-\dfrac{1}{5}\right)$
   Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{-\dfrac{13}{15}}{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{13}{10}$.
   Par conséquent l’équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=-\dfrac{13}{10}x+b$.
   Le point $A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $(AB)$. Ses coordonnées vérifient donc l’équation précédente.
   On obtient ainsi : $\dfrac{2}{3} = -\dfrac{13}{10}\times \dfrac{1}{2}+b$ soit $\dfrac{2}{3} = -\dfrac{13}{20} + b$ et $b=\dfrac{79}{60}$.
   L’ équation réduite de $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{13}{10}x+\dfrac{79}{60}$.
   On vérifie avec les coordonnées de $B$ : $-\dfrac{13}{10}x_B+\dfrac{79}{60} = -\dfrac{13}{10} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{79}{60} = -\dfrac{13}{20} + \dfrac{79}{60} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{1}{5} = y_B$ 🙂
   $\quad$
4. $A(-1;5)$ et $B(-1;2)$
   $A$ et $B$ ont la même abscisse $-1$. Par conséquent l’équation réduite de $(AB)$ est $x=-1$.
   $\quad$

1. L’équation réduite de $(d_1)$ est donc de la forme $y=-x+b$.
   Le point $A(2;3)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
   $3 = -2 + b$ soit $b = 5$.
   $(d_1)$ a pour équation réduite $y=-x+5$.
   $\quad$
2. L’équation réduite de $(d_2)$ est donc de la forme $y=ax-3$.
   Le point $B(-1;2)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
   $2 = -a-3$ soit $-a = 5$ et donc $a=-5$.
   $(d_2)$ a pour équation réduite $y=-5x-3 $.
   $\quad$
3. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. L’équation réduite de $(d_3)$ est donc de la forme $y=3x+b$.
   Le point $C(2;5)$ appartient à cette droite, par conséquent ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
   $5 = 6 + b$ soit $b = -1$.
   $(d_1)$ a pour équation réduite $y=3x-1$.
   $\quad$

1. $-(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$. Donc $A$ appartient à $d_1$.
   $\quad$
2. $\sqrt{3}\times \sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{6}+\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \ne y_B$. Donc $B$ n’appartient pas à $d_2$.
   $\quad$
3. L’ordonnée de $C$ n’est pas égale à $2$ donc $C$ n’appartient pas $d_3$.
   $\quad$

1. Une médiane est une droite passant par un sommet d’un triangle et le milieu du côté opposé.
   On détermine les coordonnées du milieu $A’$ de $[BC]$ : $\left(\dfrac{-4 + 2}{2} ; \dfrac{-3 + 7}{2}\right)$ $=(-1;2)$.
   La médiane issue de $A$ passe dont par les points $A(6;-1)$ et $A'(1;2)$.
   Les deux points n’ayant pas la même abscisse, l’équation réduite de cette médiane est de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{2-(-1)}{-1-6} = – \dfrac{3}{7}$
   On obtient ainsi $y = -\dfrac{3}{7}x+b$.
   Les coordonnées de $A$ vérifient cette équation. Donc $-1 = -\dfrac{3}{7} \times 6 + b$ $\Leftrightarrow -1 = -\dfrac{18}{7} + b$.
   Ainsi $b = -1 + \dfrac{18}{7} = \dfrac{11}{7}$
   L’équation réduite de la médiane issue de $A$ est donc $y = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{5}$.
   On n’oublie pas de contrôler que les coordonnées de $A’$ vérifient cette équation.
   $\quad$
   On détermine les coordonnées du milieu $C’$ de $[AB]$ : $\left(\dfrac{6 + 2}{2} ; \dfrac{-1 + 7}{2}\right)$ $=(4;3)$.
   La médiane issue de $C$ passe dont par les points $C(-4;-3)$ et $C'(4;3)$.
   Les deux points n’ayant pas la même abscisse, l’ équation réduite de cette médiane est de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{3 – (-3)}{4 – (-4)} =  \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
   On obtient ainsi $y = \dfrac{3}{4}x+b$.
   Les coordonnées de $C$ vérifient cette équation. Donc $-3 = \dfrac{3}{4} \times (-4) + b$ $\Leftrightarrow -3 = -3 + b$.
   Ainsi $b = 0$.
   L’équation réduite de la médiane issue de $C$ est donc $y = \dfrac{3}{4}x$.
   On n’oublie pas de contrôler que les coordonnées de $A’$ vérifient cette équation.
   $\quad$
2. Le centre de gravité $G$ est le point d’intersection des médianes. Ses coordonnées vérifient donc le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} y = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{4}x = -\dfrac{3}{7}x  + \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{3}{4}x  +\dfrac{3}{7}x  = \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{33}{28}x  = \dfrac{11}{7} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{\dfrac{11}{7}}{\dfrac{33}{28}} \\\\ y = \dfrac{3}{4}x \end{cases} \\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{4}{3} \\\\ y = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} \end{cases} \\\\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} x  = \dfrac{4}{3} \\\\ y = 1 \end{cases}
   \end{align*}$
   Ainsi les coordonnées du centre de gravité sont $\left(\dfrac{4}{3};1\right)$.
   $\quad$

Il n’existe pas, dans cette liste de points, deux abscisses égales. On pourra donc calculer les coefficients directeurs de chacune des droites associées.

1. Pour déterminer si trois points sont alignés on peut :
   • Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$ (par exemple) et regarder si $C$ appartient à cette droite.
   • Comparer les coefficients directeur de deux droites construites à partir des trois points.
   Le coefficient directeur de $(AB)$ est $a_1 = \dfrac{0-(-2)}{4-1} = \dfrac{2}{3}$.
   Le coefficient directeur de $(AC)$ est $a_2 = \dfrac{4-(-2)}{10-1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
   Les deux coefficients directeurs étant égaux, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles. Elles ont le point $A$ en commun. Elles sont donc confondues et les points $A, B$ et $C$ sont alignés.
   $\quad$
2. Le coefficient directeur de $(AD)$ est $a_3 =\dfrac{2-(-2)}{-2-1} = -\dfrac{4}{3}$.
   La droite $(\Delta)$ étant parallèle à $(AD)$ a le même coefficient directeur. L’équation réduite de $(\Delta)$ est alors de la forme $y=-\dfrac{4}{3}x + b$.
   Le point $B$ appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient l’équation de $(\Delta)$.
   $0 = -\dfrac{4}{3} \times 4 + b \Leftrightarrow b = \dfrac{16}{3}$.
   Une équation de $(\Delta)$ est $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3}$
   $\quad$
3. $A(1;-2)  \qquad D(-2;2)$
   $\begin{align*} AD &= \sqrt{(-2 – 1)^2 + (2 – (-2))^2} \\\\
   &=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\\\
   &= \sqrt{9 + 16} \\\\
   &= \sqrt{25} \\\\
   &= 5
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $C(10;4) \qquad D(-2;2)$
   L’équation réduite de $(CD)$ est de la forme $y=ax+b$.
   Son coefficient directeur est $a=\dfrac{2 – 4}{-2 – 10} = \dfrac{-2}{-12} = \dfrac{1}{6}$.
   L’équation réduite de $(CD)$ est de la forme $y=\dfrac{1}{6}x+b$
   $C$ appartient à cette droite. Ses coordonnées vérifient donc l’équation de cette droite :
   $4 = \dfrac{1}{6} \times 10 + b \Leftrightarrow 4 – \dfrac{5}{3} = b \Leftrightarrow b = \dfrac{7}{3}$.
   L’équation réduite de $(CD)$ est donc $y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3}$.
   On contrôle que les coordonnées de $D$ vérifient cette équation.
   $\quad$
   Les coordonnées du point d’intersection de $(CD)$ et $(\Delta)$ vérifient le système suivant :
   $\begin{align*}
   \begin{cases} y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases} & \Leftrightarrow
   \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
   & \Leftrightarrow
   \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{6}x = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
   & \Leftrightarrow
   \begin{cases} -\dfrac{3}{2}x =-3 \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
   & \Leftrightarrow
   \begin{cases}x =\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2}} \\\\ y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
   & \Leftrightarrow
   \begin{cases}x =2 \\\\ y=-\dfrac{4}{3}\times 2+\dfrac{16}{3} \end{cases}  \\\\
   & \Leftrightarrow
   \begin{cases}x =2 \\\\ y=\dfrac{8}{3} \end{cases}  \\\\
   \end{align*}$
   $E$ a pour coordonnées $\left(2;\dfrac{8}{3}\right)$.
   $\quad$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} BE  &= \sqrt{(2 – 4)^2 + \left(\dfrac{8}{3} – 0\right)^2} \\\\
   & = \sqrt{4 + \dfrac{64}{9}} \\\\
   & = \sqrt{\dfrac{100}{9}} \\\\
   & = \dfrac{10}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$

1. On vérifie donc que les points ne sont pas alignés.
   Le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{0 – 3}{6 – 2} = -\dfrac{3}{4}$.
   $\quad$
   Le coefficient directeur de $(AC)$ est $\dfrac{-4 -3}{0 – 2} = \dfrac{7}{2}$.
   Les coefficients directeurs ne sont pas égaux. Les points $A,B$ et $C$ ne sont donc pas alignés et forment bien un triangle.
   $\quad$
2. Les coordonnées de $I$ sont $\left(\dfrac{6 + 0}{2};\dfrac{0 – 4}{2}\right) = (3;-2)$.
   $\quad$
3. La médiane issue de $A$ passe également par $I$.
   $A$ et $I$ n’ont pas la même abscisse; l’équation réduite de $(AI)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
   $a = \dfrac{-2 – 3}{3 – 2} = -5$.
   L’équation réduite de $(d)$ est donc de la forme $y=-5x + c$.
   $B$ appartient à cette droite. donc $0 = -5 \times 6 + c \Leftrightarrow b = 30$.
   $(d)$ a pour équation réduite $y=-5x + 30$.
   $\quad$
4. $\quad$
   
   $\quad$