2nd – exercices – fonction affines

Exercice 1

Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ et préciser ,en justifiant, le sens de variation de la fonction.

  1. $f(x)=3x+5$
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$
    $\quad$
Correction Exercice 1

Il s’agit dans tous les cas de fonctions affines.

  1. $f(x)=3x+5$ donc le coefficient directeur est $a=3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=5$.
    Puisque $a=3> 0$ la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f(x)=-2x-7,5$ donc le coefficient directeur est $a=-2$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-7,5$.
    Puisque $a=-2<0$ la fonction $f$ est décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  3. $f(x)= -\dfrac{5}{7}x + 0,9$ donc le coefficient directeur est $a=-\dfrac{5}{7}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=0,9$.
    Puisque $a=-\dfrac{5}{7}<0$ la fonction $f$ est décroissante.
    $\quad$
  4. $f(x)= 2-3x$ donc le coefficient directeur est $a=-3$ et l’ordonnée à l’origine est $b=2$.
    Puisque $a=-3<0$ la fonction $f$ est décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  5. $f(x)= -3+\dfrac{1}{2}x$ donc le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}$ et l’ordonnée à l’origine est $b=-3$.
    Puisque $a=\dfrac{1}{2} > 0$ la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$

[collapse]

 

Exercice 2

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=4-2x \quad \text{et} \quad g(x)= \dfrac{4}{5}x+1$$

  1. Déterminer le sens de variation de chacune de ces fonctions.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction affine. $f(x)=4-2x$ donc son coefficient directeur est $a=-2<0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine. $g(x)=\dfrac{4}{5}x+1$ donc son coefficient directeur est $a=\dfrac{4}{5} >0$ : la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$ et $4-2x > 0 \ssi -2x > -4 \ssi x <2$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex2.1
    $\quad$
    $\dfrac{4}{5}x+1 = 0 \ssi \dfrac{4}{5}x=-1 \ssi x = -\dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{4}{5}x+1 > 0 \ssi \dfrac{4}{5}x > -1 \ssi x > -\dfrac{5}{4}$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :

[collapse]

 

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x+3$.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $f(x)=-2x+3$ donc le coefficient directeur de cette fonction affine est $a=-2<0$. $f$ est par conséquent décroissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est affine; sa représentation graphique est donc une droite.
    Si $x=-1$ alors $f(-1) = -2\times (-1)+3=5$.
    Si $x=3$ alors $f(3) = -2 \times 3 + 3 = -3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-1;5)$ et $(3;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex3
  3. $-2x+3=0 \ssi -2x = -3 \ssi x=\dfrac{3}{2}$ et $-2x+3>0 \ssi -2x > -3 \ssi x < \dfrac{3}{2}$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex3.2

[collapse]

 

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes :

  • $f$ est définie par $f(x)= 4x-5$.
    $\quad$
  • $g$ est définie par $g(x)= 2+\dfrac{1}{2}x$.
    $\quad$
  • $h$ est définie par $h(x)= -\dfrac{1}{5}x+2$.
    $\quad$
  • $i$ est définie par $i(x)= -3$.
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la fonction (toutes les fonctions seront représentées sur un même graphique).
    $\quad$
  3. Déterminer le tableau de signes de la fonction
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $f$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=4>0$. Par conséquent $f$ est croissante sur $\R$.
    $g$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=\dfrac{1}{2}>0$. Par conséquent $g$ est croissante sur $\R$.
    $h$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $a=-\dfrac{1}{5}<0$. Par conséquent $h$ est décroissante sur $\R$.
    $i$ est une fonction constante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $f(1)=4\times 1-5=-1$ et $f(3)=4\times 3-5=7$
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(1;-1)$ et $(3;7)$.
    $\quad$
    $g$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $g(-4)=2+\dfrac{1}{2} \times (-4) = 0$ et $g(2) = 2 + \dfrac{1}{2} \times 2 = 3$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-4;0)$ et $(2;3)$.
    $\quad$
    $h$ est une fonction affine; elle est donc représentée par une droite.
    $h(-5)=-\dfrac{1}{5} \times (-5) + 2 =3$ et $h(5)=-\dfrac{1}{5}\times 5 + 2 = 1$.
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(-5;3)$ et $(5;1)$.
    $\quad$
    La fonction est constante. Elle est représentée par une droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;-3)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex4
  3. $4x-5=0 \ssi 4x=5 \ssi x=\dfrac{5}{4}$ et $4x-5>0 \ssi 4x>5 \ssi x>\dfrac{5}{4}$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.1
    $\quad$
    $2+\dfrac{1}{2}x=0 \ssi \dfrac{1}{2}x=-2 \ssi x=-4$ et $2+\dfrac{1}{2}x > 0 \ssi \dfrac{1}{2}x > -2 \ssi x > -4$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.2
    $\quad$
    $ -\dfrac{1}{5}x+2 = 0 \ssi -\dfrac{1}{5}x=-2 \ssi x = 10$ et $ -\dfrac{1}{5}x+2 > 0 \ssi -\dfrac{1}{5}x > -2 \ssi x< 10$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.3
    $\quad$
    Pour tout réel $x$, on a $h(x)=-3<0$.
    On a ainsi le tableau de signes :
    2nd-exo-fonctions affines - ex4.4

[collapse]

 

Exercice 5

Une maison d’édition veut publier un manuel de mathématiques. Les frais de création s’élèvent à $30~000$ € et l’impression de chaque livre coûte ensuite $3,5$ €.

  1. Déterminer le coût de production, $C(n)$ de $n$ livres.
    $\quad$
  2. Chaque livre est vendu $6,5$ €.
    Calculer la recette, $R(n)$, pour $n$ livres vendus.
    $\quad$
  3. Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions $C$ et $R$ associées.
    $\quad$
  4. Combien de livres la maison d’édition doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice?
    $\quad$
  5. Après une étude de marché plus approfondie, la maison d’édition souhaite commencer à réaliser des bénéfices à partir de $4~000$ livres vendus.
    A quel prix doit-elle alors vendre chaque livre?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Pour tout nombre entier $n$ on a donc :$C(n)=30~000+3,5n$.
    $\quad$
  2. Pour tout nombre entier $n$ on a donc :$R(n)=6,5n$.
    $\quad$
  3. La fonction $C$ définie sur $[0;+\infty[$ par $C(x)=30~000+3,5x$ est affine.
    Elle est donc représentée par une droite.
    $C(1~000)=30~000+3,5\times 1~000 = 33~500$ et $C(12~000)=30~000+3,5\times 12~000 = 72~000$
    La droite passe donc par les points de coordonnées $(1~000;33~500)$ et $(12~000;72~000)$.
    $\quad$
    La fonction $R$ définie sur $[0;+\infty[$ par $R(x)=6,5x$ est linéaire.
    Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine.
    $R(12~000)= 6,5 \times 12~000 = 78~000$.
    Elle passe donc également par le point de coordonnées $(12~000;78~000)$.
    2nd-exo-fonctions affines - ex5
  4. La maison d’édition réalise un bénéfice si $C(x)<R(x)$
    Soit $30~000+3,5x<6,5x \ssi 30~000<3x \ssi 10~000<x$.
    La maison d’édition réalise donc un bénéfice si elle vend plus de $10~000$ livres.
    $\quad$
  5. On appelle $p$ le prix de vente d’un livre.
    La recette pour $n$ livres vendus est donc de $p\times n$.
    La maison d’édition veut réaliser un bénéfice à partir de $4~000$ livres vendus.
    On a donc $30~000+3,5 \times 4~000<4~000p \ssi 44~000<4~000p \ssi 11<p$.
    Chaque livre doit donc être vendu au minimum $11$ € pour que la maison d’édition réalise un bénéfice dès $4~000$ livres vendus.

[collapse]