2nd – Exercices – Fonction carré

1. On veut résoudre l’équation $x^2 = 1$.
   Cette équation possède deux solutions : $-1$ et $1$.
   Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
   $\quad$
2. On veut résoudre l’équation $x^2 = -16$.
   Un carré ne peut pas être négatif.
   $-16$ n’a donc aucun antécédent.
   $\quad$
3. On veut résoudre l’équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$.
   Cette équation possède deux solutions : $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
   Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
   $\quad$
4. On veut résoudre l’équation $x^2 = 25$.
   Cette équation possède deux solutions : $-5$ et $5$.
   Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$.

1. VRAI : La fonction carré est définie sur $\R$. Par conséquent tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.
   $\quad$
2. VRAI : $-1$ ne possède pas d’antécédent. (on peut choisir n’importe quel réel strictement négatif).
   $\quad$
3. FAUX : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)
   $\quad$
4. VRAI : $4$ possède deux antécédents : $2$ et $-2$. (on peut choisir n’importe quel réel strictement positif)

1. $\quad$
   
2. a. minimum = $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $3^2 = 9$
   $\quad$
   b. minimum = $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ $\quad$ maximum = $(-3)^2 = 9$
   $\quad$
   c. minimum = $0^2 = 0$ $\quad$ maximum = $\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$
   $\quad$

$\begin{align*}  \dfrac{1}{2}\left[f(n+m)-\left(f(n)+f(m)\right)\right] &= \dfrac{1}{2} \left[(n+m)^2 – n^2 – m^2\right] \\\\
& = \dfrac{1}{2}(n^2 + m^2 + 2nm – n^2 – m^2) \\\\
& = \dfrac{1}{2}(2nm) \\\\
& = nm
\end{align*}$

1. $\quad$
   
   La solution est $]-\infty;-4[\cup]4;+\infty[$.
2. $\quad$
   
   La solution est $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.
3. Un carré est toujours positifs donc la solution est $\R$.
   $\quad$
4. Un carré ne peut pas être négatif. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation.
   $\quad$
5. Un carré est toujours positif ou nul et ne s’annule que pour $x = 0$.
   La solution est donc $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$.

1. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et donc en particulier sur $[-5;-2]$.
   Par conséquent $x^2 \in [4;25]$.
   $\quad$
2. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
   On va donc considérer les intervalles $[-5;0]$ et $[0;2]$
   Si $x\in [-5;0]$ alors $x^2 \in [0;25]$
   Si $x\in [0;2]$ alors $x^2 \in [0;4]$
   $\quad$
   Finalement, si $x\in[-5;2]$ alors $x^2\in[0;25]$.
   $\quad$
3. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
   On va donc considérer les intervalles $]-1;0]$ et $[0;3]$
   Si $x\in ]-1;0]$ alors $x^2 \in [0;1[$
   Si $x\in [0;3]$ alors $x^2 \in [0;9]$
   $\quad$
   Finalement, si $x\in]-1;3]$ alors $x^2\in[0;9]$.
   $\quad$
4. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ et donc en particulier sur $[0;16[$.
   Par conséquent $x^2 \in [1;256[$

$\begin{align*} 4x^2 – 16x + 25 – 4x & =4x^2 – 16x + 25 – 4x \\\\\
& = 4x^2 – 20x + 25 \\\\
& = (2x)^2 – 2 \times 5 \times 2x + 5^2 \\\\
& = (2x – 5)^2 \\\\
& \ge 0
\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent $4x^2 – 16x + 25 \ge 4x$.

1. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b < -2$.
   $\begin{align*} f(a) – f(b) & = (a+2)^2 – 4 – \left((b+2)^2 – 4\right) \\\\
   & = (a+2)^2 – 4 – (b+2)^2 + 4 \\\\
   & = (a + 2)^2 – (b + 2)^2 \\\\
   & = \left((a+2) – (b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\\\
   &= (a-b)(a+b+4)
   \end{align*}$
   Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
   Puisque $a<b<-2$ alors $a+b+4 < -2 -2 + 4$ soit $a+b+4<0$.
   $\quad$
   Par conséquent $(a-b)(a+b+4) >0$
   Donc $f(a) – f(b) >0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2[$.
   $\quad$
2. On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-2<a < b $.
   $\begin{align*} f(a) – f(b) & = (a+2)^2 – 4 – \left((b+2)^2 – 4\right) \\\\
   & = (a+2)^2 – 4 – (b+2)^2 + 4 \\\\
   & = (a + 2)^2 – (b + 2)^2 \\\\
   & = \left((a+2) – (b+2)\right) \left((a+2) + (b+2)\right) \\\\
   &= (a-b)(a+b+4)
   \end{align*}$
   Puisque $a<b$ alors $(a-b)<0$.
   Puisque $-2<a<b$ alors $a+b+4 > -2 -2 + 4$ soit $a+b+4>0$.
   $\quad$
   Par conséquent $(a-b)(a+b+4) <0$
   Donc $f(a) – f(b) <0$ et la fonction $f$ est croissante sur $]-2;+\infty[$.
   $\quad$
3. $\quad$
   
4. La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$.