2nd – exercices – fonctions linéaires et affines

Fonctions linéaires

Exercice 1

Existe-t-il une fonction linéaire telle que l’image de $7$ soit $2,8$ et l’image de $10$ soit $3$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Pour qu’une telle fonction linéaire existe il faut qu’on se trouve dans une situation de proportionnalité.

Or $\dfrac{2,8}{7} = 0,4$ et $\dfrac{3}{10} = 0,3$.

Par conséquent il n’existe pas de fonction linéaire telle que l’image de $7$ soit $2,8$ et l’image de $10$ soit $3$.

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$\quad$

Exercice 2

On considère une fonction linéaire $f$ dont $15$ a pour image $5$.

  1. Quels sont les antécédents de $2$ et $-9$?
    $\quad$
  2. Quelles sont les images de $-3$ et $\dfrac{2}{5}$?

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. Déterminons tout d’abord l’expression algébrique de $f$.
    $\dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x) = \dfrac{x}{3}$.
    On cherche ainsi la valeur de $x$ telle que $\dfrac{x}{3} = 2$ soit $x = 6$.
    L’antécédent de $2$ est $6$.
    $\quad$
    On cherche la valeur de $x$ telle que $\dfrac{x}{3} = -9$ soit $x = -27$.
    L’antécédent de $-9$ est $-27$.
    $\quad$
  2. $f(-3) = \dfrac{-3}{3} = -1$. L’image de $-3$ est $-1$.
    $\quad$
    $f\left(\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{\dfrac{2}{5}}{3} = \dfrac{2}{15}$. L’image de $\dfrac{2}{5}$ est $\dfrac{2}{15}$.

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$\quad$

Exercice 3

On sait que l’image de $5$ est $-10$ par une fonction linéaire.

Quelle est l’image de $30$ par cette même fonction?

$\quad$

Correction Exercice 3

$f$ est une fonction linéaire. Il existe donc un nombre réel $a$, le coefficient directeur de la fonction $f$, tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)=ax.

On sait que $f(5)=-10$ donc $5a=-10$ et $a=-\dfrac{10}{5}=-2$.

Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x$.

Donc $f(30)=-2\times 30=-60$.

Remarque : On pouvait également utiliser la proportionnalité.

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$\quad$

Exercice 4

Les employés d’une entreprise ont vu leur salaire augmenter de $2\%$ au $1^{er}$ juillet.

  1. Le salaire d’un employé était de $980$ euros au mois juin. Quel sera son nouveau salaire ?
    $\quad$
  2. On appelle $s$ la fonction qui au salaire $x$ de juin associe le salaire $s(x)$ de juillet.
    Déterminer l’expression de $s(x)$.
    $\quad$
  3. Combien gagnait en juin un employé qui gagnera $1~428$ euros en juillet?

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. Le nouveau salaire sera de $\left(1 + \dfrac{2}{100}\right) \times 980 = 1,02 \times 980 = 999,6$ euros.
    $\quad$
  2. Le salaire est augmenté de $2\%$ par conséquent il est multiplié par $1 + \dfrac{2}{100} = 1,02$.
    Ainsi $s(x) = 1,02x$.
    $\quad$
  3. On cherche la valeur de $x$ telle que $1,02x = 1~428$ soit $x = \dfrac{1~428}{1,02} = 1~400$.
    Son salaire de juin était de $1~400$ euros.

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$\quad$

Fonctions affines

Exercice 5

Tracer dans un même repère les représentations graphiques des fonctions dont les expressions algébriques sont :

$$\begin{array}{L L L L L}
f_1(x) = 2x-1  &  \quad & f_2(x) = -x + 1 & \quad & f_3(x) = x – 2 \\\\
f_4(x) = x – 3 &\quad & f_5 = -x – 1 & \quad &  f_6(x) = 2
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

Une fonction affine est représentée par une droite.

$f_1(-1)=2\times (-1)-1=-3$ et $f_1(3) = 2\times 3 – 1 = 5$.
La droite $\mathscr{C}_1$ passe donc par les points de coordonnées $(-1;-3)$ et $(3;5)$.

$f_2(-3)=3+1=4$ et $f_2(4)=-4-1=-3$.
La droite $\mathscr{C}_2$ passe donc par les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(4;-3)$.

$f_3(-2)=-3-2=-5$ et $f_(5)=5-2=3$.
La droite $\mathscr{C}_3$ passe donc par les points de coordonnées $(-2;-5)$ et $(5;3)$.

$f_4(-1)=-1-3=-4$ et $f_4(6)=6-3=3$.
La droite $\mathscr{C}_4$ passe donc par les points de coordonnées $(-1;-4)$ et $(6;3)$.

$f_5(-3)=3-1=2$ et $f_5(3)=-3-1=-4$.
La droite $\mathscr{C}_5$ passe donc par les points de coordonnées $(-3;2)$ et $(3;-4)$.

La fonction $f_6$ est constante. La droite $\mathscr{C}_6$ est donc horizontale et passe par le point de coordonnées $(0;2)$.

2nd-fct affine-ex5

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$\quad$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-6;4]$ par $f(x) = -x + 3$.

  1. Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l’équation $f(x) = 0$ sur $[-6;4]$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’antécédent sur $[-6;4]$ de $2$.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. La fonction $f$ est affine; elle est donc représentée par une droite.
    $f(-5)=-(-5)+3=8$ et $f(1)=-1+3=2$.
    Elle passe par les points de coordonnées $(-5;8)$ et $(1;2)$.
    2nd-fct affine-ex6
  2. On recherche l’abscisse du point d’intersection du segment de droite avec l’axe des abscisses. La solution est donc $3$.
    $\quad$
    On résout $-x+ 3 = 0 \Leftrightarrow -x = -3 \Leftrightarrow x = 3$.
    La solution de l’équation est bien $3$.
    $\quad$
  3. On résout l’équation $-x + 3 = 2 \Leftrightarrow -x = 2 – 3 \Leftrightarrow -x = -1 \Leftrightarrow x = 1$.
    L’antécédent de $2$ par la fonction $f$ est $1$.

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$\quad$

Exercice 7

Le tableau de valeurs suivant, auquel il manque certaines valeurs est celui d’une fonction affine

$$f: x \mapsto ax + b$$

$$\begin{array}{|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|}
\hline
x & 0 & 1 & & 4 & 5 & 10 \\\\ \hline
f(x) & & & -3 & 1 & 3 & \\\\\hline
\end{array}$$

  1. Dans un repère, tracer la courbe représentative de $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer les deux nombres $a$ et $b$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est-elle croissante sur $\R$.
    $\quad$
  4. Compléter le tableau de valeur.

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. On trace la droite qui passe par les points de coordonnées $(4;1)$ et $(5;3)$.
    2nd-fct affine-ex7
  2. Le coefficient directeur de cette droite est donné par $a = \dfrac{3 – 1}{5 – 4} = 2$.
    Par conséquent $f(x) = 2x + b$.
    Or $f(4) = 2 \times 4 + b = 1$ $\Leftrightarrow 8 + b = 1$ $\Leftrightarrow b = -7$.
    Donc $f(x) = 2x – 7$.
    On vérifie sur le graphique que ces valeurs sont cohérentes.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{array}{|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|C{1cm}|}
    \hline
    x & 0 & 1 & 2& 4 & 5 & 10 \\\\ \hline
    f(x) &-7 &-5 & -3 & 1 & 3 &13 \\\\\hline
    \end{array}$$
    $f(0) = 2 \times 0 – 7 = -7$
    $f(1) = 2 \times 1 – 7 = 2 – 7 = -5$
    $f(10) = 2 \times 10 – 7 = 20 – 7 = 13$.
    On résout l’équation $2x – 7 = -3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x= 2$

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$\quad$

Exercice 8

Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (2x – 1)^2 – (0,5x + 1)(8x – 7)$ est une fonction affine.

$\quad$

Correction Exercice 8

$f(x) = 4x^2 – 4x + 1 – (4x^2 – 3,5x + 8x – 7)$ $=4x^2 – 4x + 1 – (4x^2 + 4,5 – 7)$ $=-8,5x + 8$
$f$ est donc bien une fonction affine.

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$\quad$

Exercice 9

Un théâtre propose deux tarifs :

Tarif 1 : $10 €$  par représentation.

Tarif 2 : $7,5 €$ par représentation et une carte d’abonnement annuel de $15 €$ .

  1. On désigne par $x$ le nombre de représentations. Définir les deux applications $t_1$ et $t_2$ qui permettent d’obtenir le prix payé en fonction du nombre de représentations.
    $\quad$
  2. Pour combien de représentations la somme déboursée sera-t-elle la même?
    $\quad$
  3. En fonction des valeurs de $x$ indiquer le tarif le plus avantageux.

$\quad$

Correction Exercice 9

  1. $t_1(x) = 10x$
    $t_2(x) = 7,5x + 15$.
    $\quad$
  2. On veut donc résoudre l’équation :
    $10x = 7,5x + 15 \Leftrightarrow 2,5x = 15 \Leftrightarrow x = \dfrac{15}{2,5}$ $\Leftrightarrow x = 6$.
    La somme déboursée sera la même si on voit $6$ représentations.
    $\quad$
  3. $10x < 7,5x + 15 \Leftrightarrow 2,5x < 15 \Leftrightarrow x < 6$.
    Par conséquent, si on voit entre $0$ et $6$ représentations, le tarif 1 est le plus avantageux et à partir de $6$ représentations, c’est le deuxième tarif qui devient plus avantageux.

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