2nd – Exercices – Inéquations et tableaux de signes

Inéquations – Tableaux de signes

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Dans chacun des cas, fournir les tableaux de signes correspondants.

  1. $(2x + 1)(x-3)$
    $\quad$
  2. $(x-2)(x-5)$
    $\quad$
  3. $(3x-5)(-2-x)$
    $\quad$
  4. $(-5x+1)(3-4x)$
    $\quad$
  5. $(4x+7)(5-3x)$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $2x + 1 > 0 \ssi  2x > -1 \ssi x > -\dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \ssi 2x = -1 \ssi x =-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    $x-3 > 0 \ssi x > 3$
    $x-3 = 0 \ssi x = 3$
    2nd - ineq - ex1.1
  2. $x-2> 0 \ssi x > 2$
    $x-2= 0 \ssi x = 2$
    $\quad$
    $x-5 > 0 \ssi x > 5$
    $x-5 = 0 \ssi x = 5$
    2nd - ineq - ex1.2
  3. $3x-5 > 0 \ssi 3x > 5 \ssi x > \dfrac{5}{3}$
    $3x-5 = 0 \ssi 3x = 5 \ssi x = \dfrac{5}{3}$
    $\quad$
    $-2-x > 0 \ssi -x > 2 \ssi x < -2$
    $-2-x = 0 \ssi -x = 2 \ssi x = -2$
    2nd - ineq - ex1.3
  4. $-5x+1>0 \ssi -5x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{5}$
    $-5x+1=0\ssi -5x=-1 \ssi x=\dfrac{1}{5}$
    $\quad$
    $3-4x>0\ssi -4x>-3 \ssi x<\dfrac{3}{4}$
    $3-4x=0 \ssi -4x=-3 \ssi x=\dfrac{3}{4}$
  5. $4x+7>0 \ssi 4x>-7 \ssi x>-\dfrac{7}{4}$
    $4x+7=0 \ssi 4x=-7 \ssi x=-\dfrac{7}{4}$
    $\quad$
    $5-3x>0 \ssi -3x>-5 \ssi x<\dfrac{5}{3}$
    $5-3x=0 \ssi -3x=-5 \ssi x=\dfrac{5}{3}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $(3x + 1)(2x + 3) > 0$
    $\quad$
  2. $(x-3)(4 + x) \pg 0$
    $\quad$
  3. $(5-x)(2x + 1) < 0$
    $\quad$
  4. $(-x +7)(x + 3)\pg 0$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $3x + 1 > 0 \ssi 3x > -1\ssi x > -\dfrac{1}{3}$
    $3x + 1 = 0 \ssi 3x = -1\ssi x = -\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    $2x + 3 > 0 \ssi 2x > -3 \ssi x > -\dfrac{3}{2}$
    $2x + 3 = 0 \ssi 2x = -3 \ssi x = -\dfrac{3}{2}$
    2nd - ineq - ex2.1

    On cherche à résoudre l’inéquation $(3x + 1)(2x + 3) > 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. $x-3 > 0 \ssi x > 3$
    $x-3 = 0 \ssi x = 3$
    $\quad$
    $4+x > 0 \ssi x > -4$
    $4+x = 0 \ssi x = -4$
    2nd - ineq - ex2.2
    On cherche à résoudre l’inéquation $(x-3)(4 + x) \pg 0$.
    Par conséquent la solution est $]-\infty;-4]\cup[3;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $5-x > 0 \ssi -x > -5 \ssi x < 5$
    $5-x = 0 \ssi -x > -5 \ssi x = 5$
    $\quad$
    $2x + 1 > 0 \ssi 2x > -1 \ssi x > -\dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \ssi 2x = -1 \ssi x = -\dfrac{1}{2}$
    2nd - ineq - ex2.3

    On cherche à résoudre l’inéquation $(5-x)(2x + 1) < 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup]5;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $-x  + 7 > 0 \ssi -x > -7 \ssi x < 7$
    $-x  + 7 = 0 \ssi -x = -7 \ssi x = 7$
    $\quad$
    $x + 3 > 0 \ssi x > -3$
    $x + 3 = 0 \ssi x = -3$
    2nd - ineq - ex2.4
    On cherche à résoudre l’inéquation $(-x +7)(x + 3)\pg 0$.
    Par conséquent la solution est $[-3;7]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. $\dfrac{3x + 1}{x-1}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2-3x}{5-x}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{4x-1}{2-x}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{4x+3}{5x+2}$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $3x + 1 > 0 \ssi 3x > -1 \ssi x > -\dfrac{1}{3}$
    $3x + 1 = 0 \ssi 3x = -1 \ssi x = -\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    $x -1 > 0 \ssi x > 1$
    $x -1 = 0 \ssi x = 1$
    2nd - ineq - ex1.4
  2. $2-3x > 0 \ssi -3x > -2 \ssi x < \dfrac{2}{3}$
    $2-3x = 0 \ssi -3x = -2 \ssi x = \dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $5-x > 0 \ssi -x > -5 \ssi x < 5$
    $5-x = 0 \ssi -x = -5 \ssi x = 5$
    2nd - ineq - ex1.5
  3. $4x-1 > 0 \ssi 4x > 1 \ssi x > \dfrac{1}{4}$
    $4x-1 = 0 \ssi 4x = 1 \ssi x = \dfrac{1}{4}$
    $\quad$
    $2-x > 0 \ssi -x > -2 \ssi x < 2$
    $2-x = 0 \ssi -x = -2 \ssi x = 2$
    2nd - ineq - ex1.61
  4. $\dfrac{4x+3}{5x+2}$
    $4x+3>0 \ssi 4x>-3 \ssi x>-\dfrac{3}{4}$
    $4x+3=0 \ssi 4x=-3 \ssi x=-\dfrac{3}{4}$
    $\quad$
    $5x+2>0\ssi 5x>-2 \ssi x>-\dfrac{2}{5}$
    $5x+2=0\ssi 5x=-2 \ssi x=-\dfrac{2}{5}$

$\quad$

[collapse]

 

$\quad$

Exercice 4

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $\dfrac{1-x}{3 + 2x} > 0$
    $\quad$
  2. $\dfrac{5 + 2x}{4x + 1} \pp 0$
    $\quad$
  3.  $\dfrac{2x + 1}{2-x} \pg 0$
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $1-x > 0 \ssi -x > -1 \ssi x < 1$
    $1-x = 0 \ssi -x = -1 \ssi x = 1$
    $\quad$
    $3 + 2x >  0 \ssi 2x > -3 \ssi x>- \dfrac{3}{2}$
    $3 + 2x =  0 \ssi 2x = -3 \ssi x=- \dfrac{3}{2}$
    2nd - ineq - ex2.5
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{1-x}{3 + 2x} > 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\dfrac{3}{2};1\right[$
    $\quad$
  2. $5 + 2x > 0 \ssi 2x > -5 \ssi x > -\dfrac{5}{2}$
    $5 + 2x = 0 \ssi 2x = -5 \ssi x = -\dfrac{5}{2}$
    $\quad$
    $4x + 1 > 0 \ssi 4x > -1\ssi x > -\dfrac{1}{4}$
    $4x + 1 = 0 \ssi 4x = -1\ssi x = -\dfrac{1}{4}$
    $\quad$2nd - ineq - ex2.6
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{5 + 2x}{4x + 1} \le 0$.
    Par conséquent la solution est $\left[-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{4}\right[$.
    $\quad$
  3. $2x + 1 > 0 \ssi 2x > -1 \ssi x > -\dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \ssi 2x = -1 \ssi x = -\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    $2-x > 0 \ssi -x > -2 \ssi x <2$
    $2-x = 0 \ssi -x = -2 \ssi x =2$
    2nd - ineq - ex2.7
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{2x + 1}{2-x} \pg 0$.
    $\quad$
    Par conséquent la solution est $\left[-\dfrac{1}{2}; 2\right[$.

[collapse]

$\quad$

 

Exercice 5

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $x^2 \pp 1$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2}{x-2} < \dfrac{3}{x + 1}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{2x + 1}{x + 2} \pg 3$
    $\quad$
  4. $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x-1}$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $x^2 \pp 1 \ssi x^2-1 \pp 0 \ssi (x-1)(x + 1) \pp 0$.
    $x-1 > 0 \ssi x > 1$
    $x-1 = 0 \ssi x = 1$
    $\quad$
    $x + 1 >  0 \ssi x > -1$
    $x + 1 =  0 \ssi x = -1$
    2nd - ineq - ex3.1

    On cherche à résoudre l’inéquation $(x-1)(x + 1) \pp 0$.
    Par conséquent la solution est $[-1;1]$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{2}{x-2} < \dfrac{3}{x + 1} & \ssi \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x + 1} < 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{2(x + 1)}{(x-2)(x + 1)}-\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{2x + 2}{(x-2)(x + 1)}-\dfrac{3x-6}{(x-2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{-x + 8}{(x-2)(x + 1)} < 0
    \end{align}$
    $-x + 8 > 0 \ssi -x > -8 \ssi x < 8$
    $-x + 8 = 0 \ssi -x = -8 \ssi x = 8$
    $\quad$
    $x-2 > 0 \ssi x > 2$
    $x-2 = 0 \ssi x = 2$
    $\quad$
    $x + 1 > 0 \ssi x > -1$
    $x + 1 = 0 \ssi x = -1$
    2nd - ineq - ex3.2
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x + 8}{(x-2)(x + 1)} < 0$
    Par conséquent la solution est $]-1;2[\cup]8;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align}\dfrac{2x + 1}{x + 2} \pg 3 & \ssi \dfrac{2x + 1}{x + 2}-3 \pg 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{2x + 1}{x + 2}-\dfrac{3(x + 2)}{x + 2} \pg 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{2x + 1}{x + 2}-\dfrac{3x + 6}{x + 2} \pg 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{-x-5}{x + 2} \pg 0
    \end{align}$
    $-x-5 > 0 \ssi -x > 5 \ssi x < -5$
    $-x-5 = 0 \ssi-x > 5 \ssi x = -5$
    $\quad$
    $x + 2 > 0 \ssi x > -2$
    $x + 2 = 0 \ssi x = -2$2nd - ineq - ex3.3
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x-5}{x + 2} \pg 0 $
    Par conséquent la solution est $[-5;-2[$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x-1} & \ssi \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x-1} < 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{2x-1}{x(2x-1)}-\dfrac{x}{x(2x-1)} < 0 \\\\
    & \ssi \dfrac{x-1}{x(2x-1)} < 0
    \end{align}$
    $x-1 > 0 \ssi x > 1$
    $x-1 = 0 \ssi x = 1$
    $\quad$
    $2x-1 > 0 \ssi 2x > 1 \ssi x > \dfrac{1}{2}$
    $2x-1 = 0 \ssi 2x = 1 \ssi x = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    Ne pas oublier de prendre en compte le signe de $x$, dont l’étude est triviale, dans le tableau de signes.

    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{x-1}{x(2x-1)} < 0$.
    Par conséquent la solution est $]-\infty;0[\cup\left]\dfrac{1}{2};1\right[$.

 

[collapse]

$\quad$