2nd – Exercices – Inéquations et tableaux de signes

Exercice 1

Dans chacun des cas, fournir les tableaux de signes correspondants.

  1. $(2x + 1)(x – 3)$
    $\quad$
  2. $(x – 2)(x – 5)$
    $\quad$
  3. $(3x – 5)(-2 – x)$
    $\quad$
  4. $\dfrac{3x + 1}{x – 1}$
    $\quad$
  5. $\dfrac{2 – 3x}{5 – x}$
    $\quad$
  6. $\dfrac{4x – 1}{2 – x}$

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > -1 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = -1 \Leftrightarrow x =-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    $x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$
    $x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$
    2nd - ineq - ex1.1
  2. $x – 2> 0 \Leftrightarrow x > 2$
    $x – 2= 0 \Leftrightarrow x = 2$
    $\quad$
    $x – 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5$
    $x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$
    2nd - ineq - ex1.2
  3. $3x – 5 > 0 \Leftrightarrow 3x > 5 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{3}$
    $3x – 5 = 0 \Leftrightarrow 3x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}$
    $\quad$
    $-2 – x > 0 \Leftrightarrow -x > 2 \Leftrightarrow x < -2$
    $-2 – x = 0 \Leftrightarrow -x = 2 \Leftrightarrow x = -2$
    2nd - ineq - ex1.3
  4. $3x + 1 > 0 \Leftrightarrow 3x > -1 \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{3}$
    $3x + 1 = 0 \Leftrightarrow 3x = -1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
    $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
    2nd - ineq - ex1.4
  5. $2 – 3x > 0 \Leftrightarrow -3x > -2 \Leftrightarrow x < \dfrac{2}{3}$
    $2 – 3x = 0 \Leftrightarrow -3x = -2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $5 – x > 0 \Leftrightarrow -x > -5 \Leftrightarrow x < 5$
    $5 – x = 0 \Leftrightarrow -x = -5 \Leftrightarrow x = 5$
    2nd - ineq - ex1.5
  6. $4x – 1 > 0 \Leftrightarrow 4x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$
    $4x – 1 = 0 \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$
    $\quad$
    $2 – x > 0 \Leftrightarrow -x > -2 \Leftrightarrow x < 2$
    $2 – x = 0 \Leftrightarrow -x = -2 \Leftrightarrow x = 2$
    2nd - ineq - ex1.61

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $(3x + 1)(2x + 3) > 0$
    $\quad$
  2. $(x – 3)(4 + x) \ge0$
    $\quad$
  3. $(5 – x)(2x + 1) < 0$
    $\quad$
  4. $(-x +7)(x + 3)\ge 0$
    $\quad$
  5. $\dfrac{1 – x}{3 + 2x} > 0$
    $\quad$
  6. $\dfrac{5 + 2x}{4x + 1} \le 0$
    $\quad$
  7.  $\dfrac{2x + 1}{2 – x} \ge 0$


$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $3x + 1 > 0 \Leftrightarrow 3x > – 1\Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{3}$
    $3x + 1 = 0 \Leftrightarrow 3x = – 1\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{3}$
    $\quad$
    $2x + 3 > 0 \Leftrightarrow 2x > – 3 \Leftrightarrow x > – \dfrac{3}{2}$
    $2x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = – 3 \Leftrightarrow x = – \dfrac{3}{2}$
    2nd - ineq - ex2.1

    On cherche à résoudre l’inéquation $(3x + 1)(2x + 3) > 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    $\quad$
  2. $x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$
    $x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$
    $\quad$
    $4+x > 0 \Leftrightarrow x > -4$
    $4+x = 0 \Leftrightarrow x = -4$
    2nd - ineq - ex2.2
    On cherche à résoudre l’inéquation $(x – 3)(4 + x) \ge0$.
    Par conséquent la solution est $]-\infty;-4]\cup[3;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $5 – x > 0 \Leftrightarrow -x > – 5 \Leftrightarrow x < 5$
    $5 – x = 0 \Leftrightarrow -x > – 5 \Leftrightarrow x = 5$
    $\quad$
    $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > – 1 \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = – 1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}$
    2nd - ineq - ex2.3

    On cherche à résoudre l’inéquation $(5 – x)(2x + 1) < 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup]5;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $-x  + 7 > 0 \Leftrightarrow -x > – 7 \Leftrightarrow x < 7$
    $-x  + 7 = 0 \Leftrightarrow -x = – 7 \Leftrightarrow x = 7$
    $\quad$
    $x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > -3$
    $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$
    2nd - ineq - ex2.4
    On cherche à résoudre l’inéquation $(-x +7)(x + 3)\ge 0$.
    Par conséquent la solution est $[-3;7]$.
    $\quad$
  5. $1 – x > 0 \Leftrightarrow -x > – 1 \Leftrightarrow x < 1$
    $1 – x = 0 \Leftrightarrow -x = – 1 \Leftrightarrow x = 1$
    $\quad$
    $3 + 2x >  0 \Leftrightarrow 2x > -3 \Leftrightarrow x>- \dfrac{3}{2}$
    $3 + 2x =  0 \Leftrightarrow 2x = -3 \Leftrightarrow x=- \dfrac{3}{2}$
    2nd - ineq - ex2.5
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{1 – x}{3 + 2x} > 0$.
    Par conséquent la solution est $\left]-\dfrac{3}{2};1\right[$
    $\quad$
  6. $5 + 2x > 0 \Leftrightarrow 2x > – 5 \Leftrightarrow x > – \dfrac{5}{2}$
    $5 + 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = – 5 \Leftrightarrow x = – \dfrac{5}{2}$
    $\quad$
    $4x + 1 > 0 \Leftrightarrow 4x > – 1\Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{4}$
    $4x + 1 = 0 \Leftrightarrow 4x = – 1\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{4}$
    $\quad$2nd - ineq - ex2.6
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{5 + 2x}{4x + 1} \le 0$.
    Par conséquent la solution est $\left[-\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{4}\right[$.
    $\quad$
  7. $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > -1 \Leftrightarrow x > – \dfrac{1}{2}$
    $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = -1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    $2 – x > 0 \Leftrightarrow -x > -2 \Leftrightarrow x <2$
    $2 – x = 0 \Leftrightarrow -x = -2 \Leftrightarrow x =2$
    2nd - ineq - ex2.7
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{2x + 1}{2 – x} \ge 0$.
    $\quad$
    Par conséquent la solution est $\left[-\dfrac{1}{2}; 2\right[$.

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $x^2 \le 1$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2}{x – 2} < \dfrac{3}{x + 1}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{2x + 1}{x + 2} \ge 3$
    $\quad$
  4. $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x – 1}$

$\quad$

Correction Exercice 3

  1. $x^2 \le 1 \Leftrightarrow x^2 – 1 \le 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) \le 0$.
    $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
    $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
    $\quad$
    $x + 1 >  0 \Leftrightarrow x > -1$
    $x + 1 =  0 \Leftrightarrow x = -1$
    2nd - ineq - ex3.1

    On cherche à résoudre l’inéquation $(x – 1)(x + 1) \le 0$.
    Par conséquent la solution est $[-1;1]$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{2}{x – 2} < \dfrac{3}{x + 1} & \Leftrightarrow \dfrac{2}{x – 2} – \dfrac{3}{x + 1} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2(x + 1)}{(x – 2)(x + 1)} – \dfrac{3(x – 2)}{(x – 2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 2}{(x – 2)(x + 1)} – \dfrac{3x – 6}{(x – 2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-x + 8}{(x – 2)(x + 1)} < 0
    \end{align}$
    $-x + 8 > 0 \Leftrightarrow -x > -8 \Leftrightarrow x < 8$
    $-x + 8 = 0 \Leftrightarrow -x = -8 \Leftrightarrow x = 8$
    $\quad$
    $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$
    $x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
    $\quad$
    $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$
    $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$
    2nd - ineq - ex3.2
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x + 8}{(x – 2)(x + 1)} < 0$
    Par conséquent la solution est $]-1;2[\cup]8;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align}\dfrac{2x + 1}{x + 2} \ge 3 & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – 3 \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – \dfrac{3(x + 2)}{x + 2} \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – \dfrac{3x + 6}{x + 2} \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-x – 5}{x + 2} \ge 0
    \end{align}$
    $-x – 5 > 0 \Leftrightarrow -x > 5 \Leftrightarrow x < -5$
    $-x – 5 = 0 \Leftrightarrow -x > 5 \Leftrightarrow x = -5$
    $\quad$
    $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$
    $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$2nd - ineq - ex3.3
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x – 5}{x + 2} \ge 0 $
    Par conséquent la solution est $[-5;-2[$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x – 1} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{2x – 1} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x(2x – 1)} – \dfrac{x}{x(2x – 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x – 1}{x(2x – 1)} < 0
    \end{align}$
    $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
    $x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
    $\quad$
    $2x – 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$
    $2x – 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    Ne pas oublier de prendre en compte le signe de $x$, dont l’étude est triviale, dans le tableau de signes.
    2nd - ineq - ex3.4
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{x – 1}{x(2x – 1)} < 0$.
    Par conséquent la solution est $]-\infty;0[\cup\left]1;+\infty\right[$.

 

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$\quad$