2nd – Exercices – Puissances

Puissances

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

  1. $2^5\times 2^6$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4$
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3$
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $2^5\times 2^6 = 2^{5+6}=2^{11}$
    $\quad$
  2. $(-7)^2\times (-7)^4=(-7)^{2+4}=(-7)^6=7^6$ car $6$ est pair
    $\quad$
  3. $(-8)^2\times 8^7=8^2\times 8^7=8^{2+7}=8^9$
    $\quad$
  4. $(-3)^4\times (-5)^4=\left(-3\times (-5)\right)^4=15^4$
    $\quad$
  5. $(-5)^3\times 2^3=(-5\times 2)^3=-10^3$
    $\quad$
  6. $\left((-3)^5\right)^3=(-3)^{5\times (3)}=(-3)^{15}=-3^{15}$ car $-3$ est impair
    $\quad$
  7. $(-3)^4\times (-3)^5=(-3)^{4+5}=(-3)^9=-3^9$
    $\quad$
  8. $(-5)^4\times (-5)=(-5)^{4}\times (-5)^1=(-5)^{4+1}=5^{5}$
    $\quad$
  9. $4^2\times (-4)^3=4^2\times \left(-4^3\right)=-4^2\times 4^3=-4^{2+3}=-4^5$
    $\quad$
  10. $(-2)^4\times 3^4=(-2\times 3)^4=(-6)^4=6^4$
    $\quad$
  11. $(-4)^5\times (-2)^5=\left(-4\times (-2)\right)^5=8^5$
    $\quad$
  12. $\left((-6)^7\right)^4=(-6)^{7\times 4}=(-6)^{28}=6^{28}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Calculer et écrire sous la forme d’une fraction irréductible chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 & &B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \\C=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2&\phantom{123} & D=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$A=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

$B=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3=-\dfrac{3^3}{4^3}=-\dfrac{27}{64}$

$\begin{align*}C&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\times \left(-\dfrac{14}{5}\right)^2 \\
&=\dfrac{3^2}{7^2}\times \dfrac{(-2\times 7)^2}{5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2\times 7^2}{7^2\times 5^2}\\
&=\dfrac{3^2\times 2^2}{5^2}=\dfrac{36}{25}\end{align*}$

$\begin{align*}D&=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times \left(-\dfrac{7}{2}\right)^4 \\
&=\dfrac{4^3}{7^3}\times \dfrac{(-7)^4}{2^4}\\
&=\dfrac{4^3\times 7^4}{7^3\times 2^4} \\
&=\dfrac{\left(2^2\right)^3\times 7}{2^4}\\
&=\dfrac{2^6\times 7}{2^4} \\
&=2^2\times 7\\
&=4\times 7\\
&=28\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Écrire sous la forme $a^n$ ou $-a^n$, où $a$ est un entier naturel et $n$ un entier relatif, chacun des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}} & &B=\dfrac{(-7)^5}{7^3} \\C=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}&\phantom{123} & D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$A=\dfrac{2^{15}}{2^{11}}=2^{15-11}=2^4$

$B=\dfrac{(-7)^5}{7^3}=\dfrac{-7^5}{7^3}=-7^{5-3}=-7^2$

$\begin{align*}C&=\dfrac{-3^2\times (-3)^3 \times 3^5}{3^3\times (-3)^4}\\
&=\dfrac{-3^2\times \left(-3^3\right)\times 3^5}{3^3\times 3^4}\\
&=\dfrac{3^{10}}{3^7}=3^{10-7}\\
&=3^3\end{align*}$

$D=\dfrac{5^8\times \left(5^{13}\right)^2}{5^2\times \left(5^{15}\right)^3}=\dfrac{5^8\times 5^{26}}{5^2\times 5^{45}}=\dfrac{5^{34}}{5^{47}}=5^{34-47}=5^{-13}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire chacun des nombres suivant sous la forme d’une fraction irréductible sans puissance :

$$\begin{array}{lll}
A=4^{-3} & & B=\dfrac{7^9}{7^{11}} \\
C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} & &D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \\
E=\dfrac{5^{-1}}{5^2} && F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}\\
G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}&\phantom{123}& H=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4

$A=4^{-3}=\dfrac{1}{4^3}=\dfrac{1}{64}$

$B=\dfrac{7^9}{7^{11}}=7^{9-11}=7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

$C=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{5}{4}\right)^2~~}=\dfrac{1}{~~\dfrac{25}{16}~~}=\dfrac{16}{25}$

$D=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=-\dfrac{1}{~~\left(\dfrac{2}{3}\right)^3~~}=-\dfrac{1}{~~\dfrac{8}{27}~~}=-\dfrac{27}{8}$

$E=\dfrac{5^{-1}}{5^2}=5^{-1-2}=5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}$

$F=\dfrac{2^3}{2^{-2}}=2^{3-(-2)}=2^5$

$G=\dfrac{-9^4\times 9^{-2}}{9^2}=-\dfrac{9^{4-2}}{9^2}=-\dfrac{9^2}{9^2}=-1$

$\begin{align*}H&=\dfrac{6^5\times (-6)^{-4}\times 6^{-3}}{6^2\times 6^{-5}}\\
&=\dfrac{6^5\times 6^{-4}\times 6^{-3}}{6^{2-5}}\\
&=\dfrac{6^{5-4-3}}{6^{-3}} \\
&=\dfrac{6^{-2}}{6^{-3}}=6^{-2-(-3)}\\
&=6\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$$\begin{array}{ccccc}
A=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} &\phantom{12} &B=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}}&\phantom{12} & C=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} A&=\dfrac{10^9\times 6^3}{25^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{(2\times 5)^9\times (2\times 3)^3}{(5\times 5)^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^9\times 5^9\times 2^3\times 3^3}{5^4\times 5^4\times 3\times 2^{11}} \\
&=\dfrac{2^{12}\times 5^9\times 3^3}{5^8\times 3\times 2^{11}} \\
&=2^{12-11}\times 5^{9-8}\times 3^{3-1}\\
&=2\times 5\times 3^2 \\
&=10\times 9\\
&=90\end{align*}$

$\begin{align*}B&=\dfrac{1}{10^{118}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{118}\times 10}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{10}{10^{119}}-\dfrac{1}{10^{119}} \\
&=\dfrac{9}{10^{119}} \end{align*}$

$\begin{align*}C&=5^{108}\times 2^{106} \times 11 \times \dfrac{1}{10^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{(2\times 5)^{107}} \\
&=\dfrac{5^{108}\times 2^{106}\times 11}{2^{107}\times 5^{107}} \\
&=5^{108-107}\times 2^{106-107}\times 11 \\
&=5\times 2^{-1}\times 11 \\
&=\dfrac{5\times 11}{2} \\
&=\dfrac{55}{2}\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Écrire sous forme décimale les nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=10^{-4} & &B=10^{15}\times 10^{-17} \\
C=3\times 10^6\times 10^{-8} & &D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}} \end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 6

$A=10^{-4} = 0,000~1$

$B=10^{15}\times 10^{-17} = 10^{15-17}=10^{-2}=0,01$

$C=3\times 10^6\times 10^{-8}=3\times 10^{6-8}=3\times 10^{-2}=0,03$

$D=\dfrac{5\times 10^{-7}}{2\times 10^{-1}}=\dfrac{5}{2}\times 10^{-7-(-1)}=2,5\times 10^{-6}=0,000~002~5$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

$$\begin{array}{lll}
A=2~000~000 & & B=0,003~6 \\
C=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 & &D=0,000~003~75\times 5~000  \\
E=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 &\phantom{123} & F=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3}
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 7

$A=2~000~000 = 2\times 10^6$

$B=0,003~6=3,6\times 10^{-3}$

$\begin{align*} C&=0,1^5\times (-0,001)^2\times 0,01^2 \\
&=\left(10^{-1}\right)^5\times \left(-10^{-3}\right)^2\times \left(10^{-2}\right)^2 \\
&=10^{-5}\times 10^{-6}\times 10^{-4} \\
&=1\times 10^{-15} \end{align*}$

$\begin{align*}D&=0,000~003~75\times 5~000  \\
&=3,75\times 10^{-6}\times 5\times 10^3\\
&=18,75\times 10^{-3} \\
&=1,875\times 10\times 10^{-3}\\
&=1,875\times 10^{-2}\end{align*}$

$\begin{align*} E&=10^{-3}\times 0,000~1^3 \times 10~000\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times \left(10^{-4}\right)^3\times 10^4\times 10^2 \\
&=10^{-3}\times 10^{-12}\times 10^6\\
&=1\times 10^{-9}\end{align*}$

$\begin{align*} F&=0,5^3\times 25^2\times (-0,75)^3\times 1,25^{-3} \\
&=\left(5\times 10^{-1}\right)^3\times \left(5^2\right)^2\times \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\times \left(\dfrac{5}{4}\right)^{-3} \\
&=5^3\times 10^{-3}\times 5^4\times \left(-\dfrac{3^3}{4^3}\right)\times \dfrac{4^3}{5^3}\\
&=-5^7\times 10^{-3}\times \dfrac{3^3}{5^3} \\
&=-5^4\times 10^{-3}\times 27\\
&=-625\times 27 \times 10^{-3} \\
&=-16~875\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5\times 10^4\times 10^{-3} \\
&=-1,687~5 \times 10\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$