Exercices de recherche – Second degré – 2nd

Exercice 1

Un joueur de foot situé à $25$m du but adverse tente un tir et parvient à marquer.
Son ballon a franchi la ligne de but à une hauteur de $2,20$m passant ainsi tout près de la barre transversale, puis a touché le sol à $1$m derrière la ligne de but.
Sachant que la trajectoire du ballon est une parabole, quelle hauteur maximale le ballon a-t-il atteinte ?

$\quad$

Correction Exercice 1

On peut représenter la situation de la façon suivante.

On considère un repère orthonormé $(O;I,J)$ dont l’origine est le”pied” gauche de la parabole.

La fonction $f$ associée à la trajectoire est une fonction du second degré. Il existe un réel $a$ tel que :
$f(x)=ax(x-26)$
On sait que $f(25)=2,2$
Par conséquent, en remplaçant $x$ par $25$ dans l’expression de $f(x)$ on obtient $-25a=2,2 \ssi a=-\dfrac{2,2}{25}=-0,088$.

Donc $f(x)=-0,088x(x-26)$.
Puisque les points d’abscisses $0$ et $26$ ont la même ordonnée ($0$) cela signifie que le sommet de la parabole est atteint pour $x=\dfrac{0+26}{2}=13$.
Donc la hauteur maximale est $h=f(13)=-0,088\times 13\times (-13)=14,872$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, $[AB]$ est un segment de longueur $4$, $M$ est un point mobile sur le segment $[AB]$. $AMNP$ et $MBQR$ sont deux carrés.
On note $x$ la distance $AM$.

On cherche les positions de $\boldsymbol{M}$ telles que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure à $\boldsymbol{10}$.

À quel intervalle appartient $x$?
$\quad$
Montrer que le problème revient à résoudre l’inéquation $2x^2-8x+6 \pg 0$.
$\quad$
Développer l’expression $(x-3)(x-1)$ et conclure.
$\quad$

Correction Exercice 2

Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et $AB = 4$.
Donc $x\in [0;4]$.
$\quad$
L’aire du carré $AMNP$ est $x^2$.
Puisque $AM=x$ et que $AB=4$ alors $BM=4-x$.
Donc l’aire sur carré $MBQR$ est $(4-x)^2$.
Ainsi l’aire de la figure est :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x)&=x^2+(4-x)^2 \\
&=x^2+16-8x+x^2 \\
&=2x^2-8x+16
\end{align*}$
On veut résoudre :
$\begin{align*} \mathscr{A}(x) \pg 10 &\ssi 2x^2-8x+16 \pg 10 \\
&\ssi 2x^2-8x+6 \pg 0
\end{align*}$
$\quad$
$(x-3)(x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3$.
Donc $2x^2-8x+6=2\left(x^2-4x+3\right)=2(x-3)(x-1)$.
Pour répondre au problème on étudie le signe de $(x-3)(x-1)$.

Ainsi $x$ doit appartenir à $[0;1]\cup[3;4]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Le viaduc de Garabit est encore aujourd’hui l’un des plus remarquables ouvrages d’art jamais construits.
Cet édifice, doté d’une arche monumentale, a été le plus grand ouvrage métallique du monde. Il fut aussi et surtout un véritable laboratoire en vue de la construction de la Tour Eiffel.
Sa portée est de $165$m et sa flèche d’environ $52$m, et l’arche peut être assimilée à une parabole.

Quelle est la hauteur de l’arche à $30$m du bord? On fournira un arrondi à $10^{-2}$m.

source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:France_Cantal_Viaduc_de_Garabit_04.jpg

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

On sait que la portée du viaduc est de $165$m. Cela signifie donc que, dans un repère centré en un des pieds du viaduc, l’abscisse du sommet est $\dfrac{165}{2}=82,5$. Les coordonnées du sommet sont donc $(82,5;52)$.

Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x) = a(x-82,5)^2+52$.
On sait également que $f(165)=0$
Donc $a(165-82,5)^2+52=0 \ssi 82,5^2a=-52 \ssi a=-\dfrac{52}{6~806,25}$

Par conséquent $f(x)=-\dfrac{52}{6~806,25}(x-82,5)^2+52$.

On trouve ainsi $f(30)=-\dfrac{52}{6~806,25}(30-82,5)^2+52 \approx 30,94$m.

À $30$m du bord l’arche à une hauteur d’environ $30,94$ m.

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$\quad$

Exercice 4

Un massif de fleurs a la forme d’un rectangle dont l’aire vaut $612$m$^2$.
Ce massif est entouré par une allée de largeur $1,50$m formant avec le massif un autre rectangle. L’aire de l’allée est de $165$m$^2$. Quels sont les dimensions du massif ?

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $L$ et $\ell$ respectivement la longueur et la largeur du massif.
On a donc $L\times \ell =612$.

L’aire de l’allée est $2(L+2\times 1,5)\times 1,5+2\ell\times 1,5=3(L+3)+3\ell$.
Par conséquent $3(L+3)+3\ell=165 \ssi L+3+\ell = 55 \ssi L+\ell =52$.

On doit donc résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} L\times \ell=612 \\L+\ell =52 \end{cases}&\ssi \begin{cases} L\times \ell=612\\\ell=52-L\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ L(52-L)=612\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \ell=52-L\\ -L^2+52L-612=0 \end{cases}
\end{align*}$

On considère la fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-L^2+52L-612$ avec $a=-1$, $b=52$ et $c=-612$.
Son sommet a pour abscisse : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=26$.
Son ordonnée est $\beta=f(\alpha)=f(26)=64$.

On peut donc écrire $f(x)=-(x-26)^2+64$.

On veut résoudre :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -(x-26)^2+64=0 \\
&\ssi (x-26)^2=64 \\
&\ssi x-26=8 \text{ ou }x-26=-8 \\
&\ssi x=34 \text{ ou }x=18
\end{align*}$

Si on reporte ces valeurs dans le système précédent on a :
Si $L=34$ alors $\ell=52-34=18$
Si $L=18$ alors $\ell=52-18=34$.

Le massif mesure donc $34$m de long et $18$m de large.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une personne lance une balle d’une hauteur de $1,50$m.
La balle suit une trajectoire parabolique dont le sommet est atteint $4$m plus loin avec une hauteur de $2,50$m.

À quelle distance de la personne la balle retombe-t-elle au sol?

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $f$ la fonction du second degré associée au problème.
Il existe donc un réel $a$ tel que $f(x)=a(x-4)^2+2,5$
On sait que $f(0)=1,5 \ssi 16a+2,5=1,5 \ssi 16a=-1 \ssi a=-\dfrac{1}{16}$
Par conséquent $f(x)=-\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5$

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi -\dfrac{1}{16}(x-4)^2+2,5=0 \\
&\ssi \dfrac{1}{16}(x-4)^2=2,5 \\
&\ssi (x-4)^2=40 \\
&\ssi x-4=\sqrt{40} \text{ ou } x-4=-\sqrt{40} \\
&\ssi x=4+\sqrt{40} \text{ ou } x=4-\sqrt{40}
\end{align*}$

La balle retombe donc à $4+\sqrt{40}$ m de la personne.

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$\quad$

Exercice 6

Voici le schéma d’une arche de forme parabolique. Elle mesure $40$m de long. Lorsqu’une personne mesurant $1,75$m se tient à $1,40$m d’une extrémité sa tête touche l’arche.

Quelle est alors la hauteur maximale $h$ de cette arche ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$m.

Correction Exercice 6

On appelle $f$ la fonction du second degré dont la parabole est la représentation graphique.

En plaçant un repère au pied gauche de l’arche, on peut repérer les points $A(0;0)$, $B(40;0)$ et $C(1,4;1,75)$.

Il existe ainsi un réel $a$ tel que $f(x)=ax(x-40)$.
Or :
$\begin{align*} f(1,4)=1,75 &\ssi a\times 1,4 \times (-38,6)=1,75 \\
&\ssi a=-\dfrac{1,75}{54,04} \\
&\ssi a=-\dfrac{25}{772}
\end{align*}$

Donc $f(x)=-\dfrac{25}{772}x(x-40)$.

Les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée. Par conséquent l’abscisse du sommet est $x=\dfrac{0+40}{2}=20$.
Son ordonnée est $f(20)=-\dfrac{25}{772}\times 20 \times (-20)=\dfrac{2~500}{193} \approx 12,95$.

Ainsi, l’arche a une hauteur d’environ $12,95$m.

$\quad$

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$\quad$