2nd – Exercices – Second degré

Exercice 1

Dans chacun des cas, écrire l’expression de $f(x)$ sous sa forme développée $ax^2+bx+c$.

  1. $f(x) = 2(x-3)^2 + 6$
    $\quad$
  2. $f(x) = -5(x+1)^2-2$
    $\quad$
  3. $f(x) = 5(x-8)^2-16$
    $\quad$
  4. $f(x) = -3(x-1)^2+4$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x) & = 2(x-3)^2 + 6 \\\\
    & = 2(x^2 -6x +9) + 6 \\\\
    & = 2x^2 – 12x + 18 + 6 \\\\
    & = 2x^2 – 12x + 24
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x) &= -5(x+1)^2-2 \\\\
    & = -5(x^2 + 2x + 1) – 2 \\\\
    & = -5x^2  -10x – 5 – 2 \\\\
    & = -5x^2 – 10x – 7
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x) &= 5(x-8)^2 – 16 \\\\
    &=5(x^2 – 16x + 64) – 16 \\\\
    & = 5x^2 – 80x  + 320 – 16 \\\\
    & = 5x^2 – 80x + 304
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x) &= -3(x-1)^2+4 \\\\
    & = -3(x^2 – 2x + 1) + 4 \\\\
    & = -3x^2 + 6x – 3 + 4 \\\\
    & = -3x^2 + 6x + 1
    \end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On définit sur $\R$ la fonction $f : x \mapsto 3(x+1)^2-12$. On note $\mathscr{C}_f$ la parabole représentative de la fonction $f$.

  1. Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
  2. En déduire l’équation de l’axe de symétrie de $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
  3. Calculer $f(1)$.
    $\quad$
  4. En déduire l’abscisse du second point d’intersection de la courbe $\mathscr{C}_f$ avec l’axe des abscisses.
    $\quad$
  5. En déduire l’expression factorisée de $f(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a $f(x) = 3\left(x – (-1)^2\right)^2 – 12$.
    Donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-1;-12)$.
    $\quad$
  2. L’axe de symétrie est donc la droite d’équation $x=-1$.
    $\quad$
  3. $f(1) = 3 \times 2^2 – 12 = 12 – 12 = 0$.
    $\quad$
  4. Puisque la droite d’équation $x=-1$ est un axe de symétrie et que $f(1) = 0$ alors l’autre réel $a$ tel que $f(a) = 0$ vérifie $\dfrac{a + 1}{2} = -1$ soit $a = -3$.
    Par conséquent l’abscisse du second d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses est $-3$.
    $\quad$
  5. On cherche donc à écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = a(x – x_0)(x – x_1)$.
    On sait que $f(1)=f(-3) = 0$ donc $f(x) = a(x – 1)(x + 3)$.
    Il reste à trouver la valeur de $a$.
    On sait que $f(-1) = -12$. Or $f(-1) = a(-2) \times 2 = -4a$.
    Par conséquent $-4a = -12$ soit $a = 3$
    Donc $f(x)=3(x-1)(x+3)$.

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ du second degré.

2nd - second degré - ex3

  1. Lire les coordonnées du sommet $S$.
    $\quad$
  2. Lire les solutions de l’équation $f(x)=0$
    $\quad$
  3. En déduire l’expression factorisée de $f(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. On lit $S(-3,5;4,5)$
    $\quad$
  2. On lit que les solutions de $f(x)= 0$ sont $-5$ et $-2$.
    $\quad$
  3. On a ainsi $f(x) = a\left(x -(-5)\right) \left(x -(-2)\right) = a(x+5)(x+2)$.
    On sait que $f(-3,5) = 4,5$. Or $f(-3,5) = a \times 1,5 \times (-1,5)$
    Donc $-2,25a = 4,5$ soit $a = -2$.
    $\quad$
    Par conséquent $f(x) = -2(x + 5)(x + 2)$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= \dfrac{1}{3}(x-2)^2-12$.

  1. Déterminer les variations de $f$.
    $\quad$
  2. Résoudre l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signe de $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Puisque $\dfrac{1}{3} > 0$ alors la fonction du second degré $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ et croissante sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(x) = 0 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(x – 2)^2 – 12 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(x – 2)^2 = 12 \\\\
    & \Leftrightarrow (x – 2)^2 = 36 \\\\
    & \Leftrightarrow x – 2 = 6 \text{ ou } x – 2 = -6 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 8 \text{ou } x = -4
    \end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x) = 0$ sont donc $-4$ et $8$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau suivant :
    2nd - second degré - ex 4.1
    Ce qui nous permet de donner le tableau de signes suivant :2nd - second degré - ex 4.2

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Déterminer l’expression algébrique d’une fonction du second degré $f$ sachant que le sommet $S$ de sa courbe représentative a pour coordonnées $(-4;-2)$ et qu’elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;78)$.

$\quad$

Correction Exercice 5

Puisque $S(-4;-2)$, on sait que $f(x)$ va s’écrire sous la forme $f(x) = a(x +4)^2 – 2$.
On sait de plus que $f(0) = 78$
or $f(0) = a \times 4^2 – 2 = 16a – 2$
Par conséquent $16a – 2 = 78 \Leftrightarrow 16a = 80 \Leftrightarrow a = 5$

Donc $f(x) = 5(x + 4)^2 – 2$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Fournir dans chacun des cas la forme canonique de $f(x)$.

  1. $f(x)=4x^2-8x+11$
    $\quad$
  2. $f(x)= -x^2-4x-3$
    $\quad$
  3. $f(x)= 9x^2-18x+7$
    $\quad$
  4. $f(x)= 16x^2-96x+149$
    $\quad$
Correction Exercice 6

Première méthode : en recherchant une identité remarquable

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x) & = 4x^2-8x + 11 \\\\
    & = 4\left(x^2-2x + \dfrac{11}{4} \right) \\\\
    & = 4\left(x^2-2x + 1 – 1 + \dfrac{11}{4} \right) \\\\
    & = 4\left((x-1)^2 + \dfrac{7}{4}\right) \\\\
    & = 4(x-1)^2 + 7
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x) &= -x^2-4x-3 \\\\
    & = -(x^2 + 4x + 3) \\\\
    & = -(x^2 + 4x + 4-4 + 3) \\\\
    & = -\left((x + 2)^2-1\right) \\\\
    & = -(x + 2)^2 + 1
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} f(x) &= 9x^2-18x+7 \\\\
    & = 9\left(x^2-2x + \dfrac{7}{9} \right) \\\\
    & = 9 \left(x^2-2x + 1-1 + \dfrac{7}{9} \right) \\\\
    & = 9\left((x-1)^2-\dfrac{2}{9} \right) \\\\
    & = 9(x-1)^2-2
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} f(x) &= 16x^2-96x+149 \\\\
    & = 16\left(x^2-6x + \dfrac{149}{16} \right) \\\\
    & = 16 \left(x^2-6x + 9-9 + \dfrac{149}{16}\right) \\\\
    & = 16 \left((x-3)^2 + \dfrac{5}{16} \right) \\\\
    & = 16(x-3)^2 + 5
    \end{align*}$

Deuxième méthode : en recherchant les coordonnées du sommet

  1. $f(x)=4x^2-8x+11$
    On a $a=4$, $b=-8$ et $c=11$
    Par conséquent $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{8}=1$
    et $\beta = f(\alpha)=f(1)=4-8+11=7$
    Par conséquent $f(x)=4(x-1)^2+7$
    $\quad$
  2. $f(x)= -x^2-4x-3$
    On a $a=-1$, $b=-4$ et $c=-3$
    Par conséquent $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{-2}=-2$
    et $\beta = f(\alpha)=f(-2)=-(-2)^2-4\times (-2)-3=1$
    Par conséquent $f(x)=-\left((x-(-2)\right)^2+1=-(x+2)^2+1$
    $\quad$
  3. $f(x)= 9x^2-18x+7$
    On a $a=9$, $b=-18$ et $c=7$
    Par conséquent $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-18}{18}=1$
    et $\beta = f(\alpha)=f(1)=9-18+7=2$
    Par conséquent $f(x)=9(x-1)^2+2$
    $\quad$
  4. $f(x)= 16x^2-96x+149$
    On a $a=16$, $b=-96$ et $c=149$
    Par conséquent $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-96}{32}=3$
    et $\beta = f(\alpha)=f(3)=16\times 3^2-96\times 3+149=5$
    Par conséquent $f(x)=16(x-3)^2+5$
    $\quad$

 

[collapse]

$\quad$