2nd – Exercices – Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

2nd – Exercices corrigés

Dans le(s) cas où il n’est possible de fournir une valeur exacte, fournissez une valeur approchée au dixième.

Exercice 1

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $1$ par la fonction $f$.

fct1

Correction Exercice 1

fct1 cor

$1$ possède donc trois antécédents : $-3$ ; $-1$ et $2$.

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.

fct2

Correction Exercice 2

fct2 cor

Les antécédents de $-2$ sont : $-5$ ; $-0,5$ et $1$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $2$ par la fonction $f$.

fct3

Correction Exercice 3

fct3 cor

On constate que $2$ possède deux antécédents qui sont environ : $-2,2$ et $2,2$.

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$\quad$

Exercice 4

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.

Vous fournirez, si nécessaire, des valeurs approchées au dixième.

 

ex2

  1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(1)$ et  de $f(0)$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $0,5$, de $2$ et de $-1$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
Correction Exercice 4

  1. $f(1) = 0$ et $f(0) \approx 1,2$
    ex2 cor1
  2. Les antécédents de $0,5$ sont (environ) : $-1,9$ ; $0,4$ ; $1,7$ et $2,8$
    $\quad$
    Les antécédents de $2$ sont (environ) : $-1,7$ et $-0,4$.
    $\quad$
    $-1$ n’a pas d’antécédent par $f$.
    ex2 cor2 (2)
  3. La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+5$

  1. Déterminer les images de $-1$ et de $3$.
    $\quad$
  2. Calculer $f(2)$ et $f(-3)$.
    $\quad$
  3. Déterminer le ou les antécédent(s) de $4$ et de $0$.
Correction Exercice 5

  1. On veut donc calculer :
    $f(-1) = -2 + 5 = 3$ $\qquad$ $f(3) = 6 + 5 = 11$
    $\quad$
  2. $f(2) = 4 + 5 = 9$ $\qquad$ $f(-3) = -6 + 5 = -1$
    $\quad$
  3. On cherche la ou les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 4$ soit $2x+5 = 4$ d’où $2x=-1$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $4$ est $-\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    On cherche maintenant les valeurs de $x$ telles que $f(x) = 0$ soit $2x+5 = 0$ d’où $x= – \dfrac{5}{2}$

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$\quad$

Exercice 6

On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, donnant la hauteur d’eau dans un bassin naturel d’eau de mer en fonction des heures de la journée.

 

  1. Déterminer graphiquement l’intervalle $I$.
    $\quad$
  2. Que lit-on sur l’axe des abscisses?
    $\quad$
  3. Que lit-on sur l’axe des ordonnées ?
    $\quad$
  4. Utiliser le graphique pour compléter le tableau ci-dessous :

Source : Académie de Clermont-Ferrand

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $I=[0;24]$
    $\quad$
  2. On lit les heures de la journée sur l’axes des abscisses.
    $\quad$
  3. On lit la hauteur de l’eau sur l’axe des ordonnées.
    $\quad$
  4. $\quad$


$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{2x-3}{x-1}$.

  1. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ n’est-elle pas définie?
    $\quad$
  2. Déterminer $f(0), $f(-1) et $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $0$; $1$; $-2$ et $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. La fonction $f$ est définie pour toutes valeurs de $x$ telles que $x-1\neq 0$.
    Or $x-1=0 \ssi x=1$.
    La fonction $f$ est par conséquent définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(0)=\dfrac{-3}{-1}=3$
    $f(-1)=\dfrac{2\times (-1)-3}{-1-1}=\dfrac{5}{2}$
    $f\left(-\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{2\times \left(-\dfrac{1}{2} \right)-3}{-\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{4}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{8}{3}$
    $\quad$
  3. Pour déterminer les antécédents de $0$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=0 \\
    &\ssi 2x-3=0 \\
    &\ssi 2x=3\\
    &\ssi x=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
    On a bien $\dfrac{3}{2}\neq 1$.
    L’antécédent de $0$ est $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=1 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=1 \\
    &\ssi 2x-3=x-1 \\
    &\ssi 2x-x=-1+3\\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    On a bien $2\neq 1$.
    L’antécédent de $1$ est $2$
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $-2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=-2 \\
    &\ssi 2x-3=-2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=-2x+2 \\
    &\ssi 2x+2x=2+3\\
    &\ssi 4x=5 \\
    &\ssi x=\dfrac{5}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{5}{3}\neq 1$.
    L’antécédent de $-2$ est $\dfrac{5}{3}$.
    $\quad$
    Pour déterminer les antécédents de $2$ on résout, sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$,  l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=2 &\ssi \dfrac{2x-3}{x-1}=2 \\
    &\ssi 2x-3=2(x-1) \\
    &\ssi 2x-3=2x-2\\
    &\ssi 2x-2x=-2+3\\
    &\ssi 0=1\end{align*}$
    Le nombre $2$ ne possède donc pas d’antécédent.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = – \dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.

Compléter le tableau de valeurs de suivant.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 8

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0~ & 1~ & 2~ & 3~ \\
\hline
f(x) & -7& -\dfrac{7}{2} &-1 & \dfrac{1}{2} & 1  & \dfrac{1}{2} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 9

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x) = \dfrac{x^2}{x+5}$.
Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$?

$O(0;0)$ ; $A\left(1;\dfrac{1}{6} \right)$ ; $B\left(3;\dfrac{1}{4} \right)$ ; $C\left(-2;\dfrac{4}{7} \right)$ ; $D\left(-3;\dfrac{9}{2} \right)$

$\quad$

Correction Exercice 9

Pour chaque point $M(x;y)$ on va regarder si $y=f(x)$

$f(0) = \dfrac{0^2}{0+5} = 0$ donc $O$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$f(1) = \dfrac{1}{1+5} = \dfrac{1}{6}$ donc $A$ appartient à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

$\dfrac{9}{3 + 5} = \dfrac{9}{8} \ne \dfrac{1}{4}$ donc $B$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On pouvait également dire que $3$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction $f$; on ne pouvait donc pas parler de $f(3)$.
$\quad$

$f(-2) = \dfrac{4}{-2 + 5} = \dfrac{4}{3} \ne \dfrac{4}{7}$ donc $C$ n’appartient pas à la courbe représentative de $f$.
$\quad$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-2;2]$. L’abscisse du point $D$ étant $-3$, celui-ci ne peut pas appartenir à la courbe représentative de $f$.
Remarque : On a pourtant $\dfrac{(-3)^2}{-3+5}=\dfrac{9}{2}$.
$\quad$

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$\quad$