2nd – Exercices – Statistiques 2


Si nécessaire les arrondis se feront au dixième.

Exercice 1 

On a demandé aux élèves d’une classe de seconde combien de livres ils avaient lus pendant l’année.
On a synthétisé les résultats dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de livres lus}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\text{Nombre d’élèves}&2&7&12&6&2&3\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer la médiane de cette série.
    $\quad$
  2. Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.
    $\quad$
  3. Combien de livres un élève de cette classe lit-il en moyenne?
    $\quad$
  4. Déterminer l’étendue de cette série.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Nombre total d’élèves : $2+7+12+6+2+3=32$
    $\dfrac{32}{2}=16$
    La médiane de cette série est la moyenne de la seizième et dix-septième valeur : $\dfrac{3+3}{2}=3$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{32}{4}=8$. Le premier quartile est donc la huitième valeur. Donc $Q_1=2$.
    $\dfrac{32\times 3}{4}=24$. Le troisième quartile est donc la $23$-ième valeur. Donc $Q_3=4$.
    $\quad$
  3. La moyenne est $\dfrac{1\times 2+2\times 7+\ldots+6\times 3}{32}=\dfrac{104}{32}=3,25$.
    Un élève de cette classe lit donc en moyenne $3,25$ livres par an.
    $\quad$
  4. L’étendue est $6-1=5$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans un lycée, les professeurs de mathématiques ont organisé un devoir commun en seconde.
Le tableau suivant fournit les moyennes et effectifs de chacune des classes.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Classe}&\text{seconde }1&\text{seconde }2&\text{seconde }3&\text{seconde }4&\text{seconde }5&\text{seconde }6 \\
\hline
\text{Effectif}&33&34&30&35&30&34\\
\hline
\text{Moyenne}&10,1&11,3&9,5&12,3&10,5&12\\
\hline
\end{array}$$

Un professeur de mathématiques demande à ses élèves de calculer la moyenne de tous les élèves de seconde du lycée à ce devoir commun.
Un élève propose comme réponse $10,95$.

A-t-il raison?

$\quad$

Correction Exercice 2

La moyenne des élèves du lycée est donnée par :

$$\dfrac{33\times 10,1+34\times 11,3+\ldots+34 \times 12}{33+34+\ldots+34}=\dfrac{2~156}{196}=11\neq 10,95$$

L’élève avait donc tort. Il avait fait la moyenne des moyennes de classe!

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$\quad$

Exercice 3

Le directeur commercial d’une entreprise a fixé comme objectif à ses vendeurs de réaliser sur l’année un chiffre d’affaire (CA) mensuel moyen de $28~500$ €.

Voici les résultats obtenus par un vendeur sur les onze premiers mois de l’année :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Mois}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
\hline
\text{CA}&32~000&27~200&26~400&28~500&29~300&32~100&31~000&24~700&26~100&28~600&22~100\\
\hline
\end{array}$$

Quel chiffre d’affaire doit-il réaliser le dernier mois pour atteindre l’objectif fixé?

$\quad$

Correction Exercice 3

Si le vendeur réalise un chiffre d’affaire de $28~500$ € sur $12$ mois cela représente $28~500\times 12=342~000$ € sur l’année.

Sur les onze premiers mois, le chiffre d’affaire est de :

$$32~000+27~000+\ldots+22~100=308~000$$

Le chiffre d’affaire sur le mois de décembre doit donc être de $342~000-308~000=34~000$ €.

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$\quad$

Exercice 4

Le tableau suivant fournit le nombre de minutes passées à étudier le soir pour un groupe de lycéens :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Temps}&[0;40[&[40;60[&[60;80[&[80;100[&[100;120[&[120;150[&[150;200[\\
\hline
\text{Nombre de lycéens}&20&30&10&50&45&20&25\\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer le temps moyen de travail de ce groupe.
    $\quad$
  2. Compléter ce tableau en fournissant les effectifs cumulés croissants.
    $\quad$
  3. Déterminer le pourcentage de lycéens étudiant au plus $100$ (non inclus) minutes le soir.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. Pour calculer le taux moyen on va utiliser le centre des classes :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Temps}&[0;40[&[40;60[&[60;80[&[80;100[&[100;120[&[120;150[&[150;200[\\
    \hline
    \text{Centre}&20&50&70&90&110&135&175\\
    \hline
    \text{Nombre de lycéens}&20&30&10&50&45&20&25\\
    \hline
    \end{array}$$
    Une valeur approchée du temps moyen est donc :
    $$\dfrac{20\times 20+50\times 30+\ldots+175\times 25}{20+30+\ldots+25} = \dfrac{19~125}{200}=95,625$$
    $95$min $=1$h$35$min
    $0,625\times 60=37,5$
    Un élève travaille donc en moyenne environ $1$h$35$min$38$s.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Temps}&[0;40[&[40;60[&[60;80[&[80;100[&[100;120[&[120;150[&[150;200[\\
    \hline
    \text{Nombre de lycéens}&20&30&10&50&45&20&25\\
    \hline
    \text{Effectifs cum.croissants}&20&50&60&110&155&175&200\\
    \hline
    \end{array}$$
  3. $110$ élèves sur les $200$ étudient au plus $100$ minutes.
    Cela représente donc $\dfrac{110}{200}=55\%$ des lycéens.

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$\quad$

Exercice 5

On a fait un sondage dans la rue et on a demandé aux passants le nombre de journaux et magazines qu’ils ont achetés sur les sept derniers jours.

On a obtenu les résultats suivants :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de journaux ou magazines achetés}&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\text{Effectif}&5&11&14&6&12&9&1&3\\
\hline
\end{array}$$

  1. Déterminer, en justifiant vos calculs, le nombre moyen de journaux ou magazines achetés, le nombre médian et les deux quartiles.
    $\quad$
  2. Ce même sondage a été effectué dans plusieurs villes et on a obtenu les résultats suivants :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de journaux ou magazines achetés}&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    \text{Fréquence en} \%&8&15&23&17&12&11&9&5\\
    \hline
    \end{array}$$
    On sait qu’au total, $96$ personnes interrogées ont répondu n’avoir acheté aucun journal ou magazine sur les sept derniers jours.
    Combien de personnes ont été interrogées sur l’ensemble des villes.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. Le nombre moyen de journaux ou magazines achetés est :
    $$\dfrac{0\times 5+1\times 11+\ldots+7\times 3}{5+11+\ldots+3}=\dfrac{177}{61}\approx 2,9$$
    $\quad$
    $\dfrac{61}{2}=30,5$ : la médiane est la $31$-ième valeur c’est-à-dire $3$.
    $\quad$
    $\dfrac{61}{4}=15,25$ : le premier quartile est la $16$-ième valeur. Donc $Q_1=1$.
    $\dfrac{61\times 3}{4}=45,75$ : le troisième quartile est la $46$-ième valeur. Donc $Q_3=4$.
    $\quad$
  2. La fréquence d’une valeur est donnée par la formule suivante : $f=\dfrac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
    Donc, si on appelle $N$, le nombre total de personnes interrogées on a :
    $\dfrac{8}{100}=\dfrac{96}{N}$ par conséquent $N=\dfrac{96\times N}{8}=1~200$.
    $1~200$ personnes ont été interrogées lors de ce sondage.

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$\quad$

Exercice 6

On a relevé dans une maternité les tailles (en cm) des nouveaux-nés sur une journée :

$$48\qquad 50,5 \qquad 51,5 \qquad 50 \qquad 52,5 \qquad 50 \qquad 49 \qquad 53 \qquad 50$$

  1. Déterminer l’étendue de cette série.
    $\quad$
  2. Déterminer la taille moyenne de ces nouveaux-nés.
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane et les deux quartiles.
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On va commencer par réordonner la série :
    $$48 \qquad 49 \qquad 50 \qquad 50 \qquad 50 \qquad 50,5 \qquad 51,5 \qquad 52,5 \qquad 53$$
    L’étendue est donc $53-48=5$.
    $\quad$
  2. La taille moyenne est donnée, à partir de la liste triée, par :
    $$\dfrac{48+49+\ldots+53}{9}=\dfrac{406,5}{9}\approx 45,2$$
    $\quad$
  3. $\dfrac{9}{2}=4,5$ : la médiane est donc la cinquième valeur : $50$.
    $\dfrac{9}{4}=2,25$. Le premier quartile est la troisième valeur. Donc $Q_1=50$.
    $\dfrac{9\times 3}{4}=6,75$. Le troisième quartile est la septième valeur. Donc $Q_3=51,5$.

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$\quad$