2nd – Exercices – Statistiques

Exercice 1

Un prélèvement, par le service des fraudes, de $200$ boîtes de fromage contenant en principe $170$ g de fromage a donné les résultats suivants :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Poids} & 166,5 & 168 & 168,5 & 169 &169,5 & 170 & 170,5 & 171 & 171,5 & 172 \\\\
\hline
\text{Effectifs} & 1 & 6 & 12 & 21 & 36 & 48 & 34 & 18 & 14 & 10 \\\\
\hline
\text{Fréquences} & & & & & & & & & & \\\\
\hline
\text{Fréq. cum. croissantes} & & & & & & & & & & \\\\
\hline
\text{Fréq. cum décroissantes} & & & & & & & & & & \\\\
\hline
\end{array}$$

  1. Compléter le tableau.
    $\quad$
  2. Représenter graphiquement la série des effectifs par un nuage de points.

$\quad$

Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Poids} & 166,5 & 168 & 168,5 & 169 &169,5 & 170 & 170,5 & 171 & 171,5 & 172 \\\\\hline\text{Effectifs} & 1 & 6 & 12 & 21 & 36 & 48 & 34 & 18 & 14 & 10 \\\\\hline
    \text{Fréquences} &0,005 &0,03 &0,06 &0,105 &0,18 &0,24 &0,17 &0,09 &0,07 &0,05 \\\\
    \hline
    \text{FCC} & 0,005&0,035 &0,095 &0,2 &0,38 &0,62 &0,79 &0,88 &0,95 &1 \\\\
    \hline
    \text{FCD} & 1 & 0,995& 0,965& 0,905& 0,8& 0,62& 0,38& 0,21&0,12 &0,05 \\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    2nd-stat-ex1

 

[collapse]

$\quad$

 Exercice 2

Une société de services en informatique fait une analyse des temps d’utilisation devant un ordinateur. Elle réalise une enquête auprès d’un échantillon de $200$ clients et obtient les résultats suivants.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}
\text{Temps de} \\\\ \text{connexion en} \\\\ \text{heures par an}\\\\
\end{array} & \begin{array}{c} \text{Nombre} \\\\\text{d’utilisateurs} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Effectifs} \\\\
\text{cumulés} \\\\
\text{croissants} \end{array} \\\\
\hline
[200;400[ & 15 & \\\\
\hline
[400;600[ & 32 & \\\\
\hline
[600;800[ & 35 & \\\\
\hline
[800;1000[ & 78 & \\\\
\hline
[1000;1200[ & 31 & \\\\
\hline
[1200;1400[ & 9 & \\\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel est le pourcentage d’utilisateurs qui se connectent au moins $1~000$ heures?
    $\quad$
  2. Quel est le temps moyen d’utilisation d’un ordinateur?
    $\quad$
  3. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants.
    $\quad$
  4. Représenter graphiquement cette série des effectifs cumulés.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $ 31 + 9 = 40$.
    $40$ élèves se connectent donc au moins $1~000$ heures.
    $\dfrac{40}{200} = 0,20$.
    $20\%$ des utilisateurs se connectent au moins $1~000$ heures.
    $\quad$
  2. Pour calculer cette moyenne, nous allons utiliser le centre des classes.
    $\dfrac{15 \times 300 + 32 \times 500 + \ldots + 1300 \times 9}{200} = 805$.
    Les utilisateurs sont donc connectés en moyenne environ $805$ heures.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{c}
    \text{Temps de} \\\\ \text{connexion en} \\\\ \text{heures par an}\\\\
    \end{array} & \begin{array}{c} \text{Nombre} \\\\\text{d’utilisateurs} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Effectifs} \\\\
    \text{cumulés} \\\\
    \text{croissants} \end{array} \\\\
    \hline
    [200;400[ & 15 & 15 \\\\
    \hline
    [400;600[ & 32 & 47\\\\
    \hline
    [600;800[ & 35 & 82\\\\
    \hline
    [800;1000[ & 78 & 160\\\\
    \hline
    [1000;1200[ & 31 & 191\\\\
    \hline
    [1200;1400[ & 9 & 200\\\\
    \hline
    \end{array}$$
  4. $\quad$
    2nd - stat - ex2c

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On connait la distribution des fréquences pour $57$ mesures de longueur, en m, réalisées au cours d’une épreuve sportive :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{classe} & [0;2[ & [2;4[ & [4;6[ & [6;8[ & |8;10[ \\\\
\hline
\text{fréquence} & 0,14 & 0,26 & 0,32 & 0,23 & 0,05 \\\\
\hline
\end{array}$$

Établir la répartition en effectif arrondi à l’unité.

$\quad$

Correction Exercice 3

Il faut pour cela multiplier chacune des fréquences par $57$, le nombre de mesures.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{classe} & [0;2[ & [2;4[ & [4;6[ & [6;8[ & |8;10[ \\\\
\hline
\text{Effectif} & 8& 15 & 18 & 13 & 3 \\\\
\hline
\end{array}$$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Pour les deux séries suivantes, calculer la moyenne, la médiane, les deux quartiles et l’étendue.

  1.   $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    3&2&3&3&1&5&4&3&1&5\\\\
    \hline
    2&1&4&3&3&0&1&3&3&1\\\\
    \hline
    2&4&2&4&0&0&2&2&3&2\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Note} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\
    \hline
    \text{Effectif} & 12 & 27 & 33 & 18 & 10 \\\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 4
  1. moyenne $= \dfrac{3 + 2 + 3 + \ldots + 2}{30} = 2,4$.
    Pour calculer la médiane et les quartiles, il faut réordonner la série dans l’ordre croissant.
    On obtient ainsi le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    0&0&0&1&1&1&1&1&2&2\\\\
    \hline
    2&2&2&2&2&3&3&3&3&3\\\\
    \hline
    3&3&3&3&4&4&4&4&5&5\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Puisqu’il y a $30$ valeurs, la médiane est la moyenne de la $15$ième et de la $16$ième valeur, soit $\dfrac{2 + 3}{2} = 2,5$
    $\quad$
    $\dfrac{30}{4} = 7,5$. Le premier quartile est donc la $8$ième valeur soit $Q_1 = 1$
    $\quad$
    $\dfrac{30 \times 3}{4} = 22,5$. Le premier quartile est donc la $23$ième valeur soit $Q_3 = 3$
    $\quad$
    L’étendue est $5- 0 = 5$.
    $\quad$
  2. La moyenne est $\dfrac{1 \times 12 + 2 \times 27 + \ldots 5 \times 10}{12 + 27 + \ldots + 10} = 2,87$.
    L’effectif total est de $100$. La médiane est donc la moyenne de la $50$ième et de la $51$ième, soit $\dfrac{3+3}{2} = 3$.
    $\dfrac{100}{4} = 25$ par conséquent $Q_1$ est la $25$ième valeur. Donc $Q_1 = 2$
    $\dfrac{100 \times 3}{4} = 75$ par conséquent $Q_3$ est la $75$ième valeur. Donc $Q_3 = 4$.
    L’étendue est $5- 1 = 4$.

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$\quad$

$\quad$

Exercice 5

Calculer la médiane et l’écart inter-quartile des différentes séries.

  1. $2 ; 3 ; 7 ; 8 ; 11 ; 17 ; 21 ; 22$
    $\quad$
  2. $10 ; 7 ; 24 ; 38 ; 0 ; 41 ; 18 ; 5 ; 22$
    $\quad$
  3. $41 ; 52 ; 61 ; 66 ; 69 ; 73 ; 79 ; 84 ; 87 ; 92 ; 94 ; 101 ; 113 ; 127 ; 130$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. Il y a $8$ valeurs. La médiane est donc $\dfrac{8 + 11}{2} = 9,5$.
    $\dfrac{8}{4} = 2$. Le premier quartile est donc la deuxième valeur. $Q_1 = 3$.
    Le troisième quartile est la sixième valeur. $Q_3 = 17$
    L’écart inter-quartile est $17- 3 = 14$.
    $\quad$
  2. On range la série dans l’ordre croissant : $0;5;7;10;18;22;24;38;41$
    Il y a $9$ valeurs. La médiane est donc la cinquième valeur : $18$.
    $\dfrac{9}{4} = 2,25$. Le premier quartile est la troisième valeur. $Q_1 = 7$.
    $\dfrac{9\times 3}{4} = 6,75$. Le troisième quartile est la septième valeur. $Q_3 = 24$.
    L’écart inter-quartile est $24- 7 = 17$.
    $\quad$
  3. Il y a $15$ valeurs. Donc la médiane est la huitième valeur :$84$
    $\dfrac{15}{4} = 3,75$. Le premier quartile est la quatrième valeur. $Q_1 = 66$.
    $\dfrac{15 \times 3}{4} = 11,25$. Le troisième quartile est la douzième valeur. $Q_3 = 101$.
    L’écart inter-quartile est $101- 66 = 35$.

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$\quad$

Exercice 6

Avant de rendre les copies à ses élèves, un professeur a fait quelques calculs statistiques à partir de la série de leurs notes :

  •  moyenne : $11$
    $\quad$
  • médiane : $12$
    $\quad$
  • $1^{\text{er}}$ quartile : $9$
    $\quad$
  • $3^{\text{ème}}$ quartile : $13$
    $\quad$
  • note minimale : $4$
    $\quad$
  • note maximale : $15$

On sait de plus qu’il y a $24$ élèves dans la classe.

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes

  1. La moitié des élèves ont une note en dessous de $11$.
    $\quad$
  2. Il y a au moins un élève qui a eu pour note $12$.
    $\quad$
  3. Il y a au moins un élève qui a eu $13$.
    $\quad$
  4. La moitié des notes de la classe se situent entre $9$ et $13$.
    $\quad$
  5. La médiane est la $12^{\text{ème}}$ note dans la série des notes rangées dans l’ordre croissant.

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. Faux : La médiane est de $12$ donc la moitié des élèves ont une note en dessous de $12$.
    $\quad$
  2. Faux : La médiane est la moyenne de la $12$ième et de la $13$ième valeur. Elle n’appartient donc pas nécessairement à la série.
    $\quad$
  3. Vrai : $Q_3 = 13$. Les quartiles appartiennent nécessairement à la série.
    $\quad$
  4. Vrai : $Q_1= 9$ et $Q_3 = 13$. La moitié des valeurs d’une série sont comprises entre $Q_1$ et $Q_3$.
    $\quad$
  5. Faux : La médiane est la moyenne de la $12$ième et de la $13$ième valeur.

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$\quad$

Exercice 7

Le tableau suivant fourni les notes des élèves d’une classe lors d’un devoir de mathématiques :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Notes} & 2 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9& 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 \\\\
\hline
\text{Effectifs} & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 \\\\
\hline
\end{array}$$

 

  1. Quel est le pourcentage (à $0,1\%$ près) d’élèves de cette classe ayant obtenu une note :
    a. comprise entre $8$ et $12$ (valeurs incluses)?
    $\quad$
    b. strictement inférieure à $9$?
    $\quad$
  2. Déterminer l’étendue, la médiane, les quartiles de cette série.
    $\quad$
  3. Déterminer la moyenne de la classe sur ce devoir.
    $\quad$
  4. Dans une autre classe, il y a $20$ filles et $15$ garçons. A un contrôle, la moyenne des filles était de $11,8$ et celle des garçons de $10,2$.
    Quelle était la moyenne de la classe?
    $\quad$
  5. Ce contrôle était commun avec la première classe de $30$ élèves, la moyenne des deux classes était de $10,7$.
    Quelle était la moyenne dans la première classe?

$\quad$

Correction Exercice 7

  1. a. $18$ élèves sur $30$ ont une note comprises entre $8$ et $12$.
    Cela représente donc $\dfrac{18}{30} = 60\%$ des élèves.
    $\quad$
    b. $11$ élèves ont une note strictement inférieure à $9$.
    Cela représente donc $\dfrac{11}{30} \approx 36,7 \%$ des élèves.
    $\quad$
  2. L’étendue est $18- 2 = 16$.
    La médiane est la moyenne de la $15$ième et de la $16$ième valeur soit $\dfrac{9 + 10}{2} = 9,5$.
    $\dfrac{30}{4} = 7,5$. Le premier quartile est donc la huitième valeur soit $Q_1 = 7$.
    $\dfrac{30 \times 3}{4} = 22,5$. Le troisième quartile est donc la $23$ième valeur soit $Q_3 = 11$.
    $\quad$
  3. La moyenne est $\dfrac{2 \times 1 + 4 \times 2 + \ldots + 18 \times 1}{30} = 9,3$.
    $\quad$
  4. La moyenne de la classe est $\dfrac{20 \times 11,8 + 15 \times 10,2}{35} = \dfrac{389}{35} \approx 11,11$
    $\quad$
  5. On appelle $x$ la moyenne cherchée. On a donc $\dfrac{30x + 389}{30 + 35} = 10,7$.
    Ainsi $30x + 389 = 65 \times 10,7$
    D’où $30x + 389 = 695,5$ et $30x = 306,5$.
    Par conséquent $x = \dfrac{306,5}{30} \approx 10,22$.

[collapse]

 

$\quad$